Теорема Асколи — Арцела

Семейство ${\displaystyle F}$ называется равномерно ограниченным, если существует единая для всех элементов семейства постоянная ${\displaystyle K}$, которой ограничены все функции семейства:

${\displaystyle \forall f\in F\quad \forall x\in [a,b]\quad |f(x)|<K}$.

Семейство ${\displaystyle F}$ называется равностепенно непрерывным, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle \delta >0}$ такая, что для всякого элемента ${\displaystyle f\in F}$ и для любых точек ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ таких, что ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$, выполняется строгое неравенство ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$.

Итак, пусть семейство ${\displaystyle F}$ — вполне ограниченное.

Фиксируем ${\displaystyle \varepsilon >0}$ и построим конечную ${\displaystyle (\varepsilon /3)}$-сеть вида: ${\displaystyle \{\varphi _{i}\}_{i=1}^{n}}$.

Поскольку каждая функция данной системы непрерывна и, следовательно, ограничена, то для каждой такой функции существует своя константа ${\displaystyle K_{i}}$ такая что, ${\displaystyle |\varphi _{i}(x)|<K_{i}}$ для всякого ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Поскольку таких функций конечное множество, то можно взять ${\displaystyle K=\max _{i}K_{i}+\varepsilon /3}$.

Теперь, если взять произвольную функцию ${\displaystyle f\in F}$, то для этой функции существует такой элемент ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle (\varepsilon /3)}$-сети, что ${\displaystyle |f(x)-\varphi _{i}(x)|<\varepsilon /3}$ для всякого ${\displaystyle x\in [a,b]}$. Очевидно, что в этом случае функция ${\displaystyle f}$ будет ограничена константой ${\displaystyle K}$.

Тем самым показано, что семейство ${\displaystyle F}$ является равномерно ограниченным.

Опять же, в силу непрерывности каждого элемента ${\displaystyle (\varepsilon /3)}$-сети, этот элемент оказывается также и равномерно непрерывным и, следовательно, по ${\displaystyle (\varepsilon /3)}$ можно подобрать такое ${\displaystyle \delta _{i}}$ такое, что ${\displaystyle |\varphi _{i}(x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|<\varepsilon /3}$ для любых точек ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b]}$ таких, что ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta _{i}}$.

Положим ${\displaystyle \delta =\min _{i}\delta _{i}}$.

Если теперь рассмотреть произвольную функцию ${\displaystyle f\in F}$, то для заданного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ будет иметь место строгое неравенство ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$ для любых точек ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b]}$ таких, что ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$.

Действительно, ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant |f(x_{1})-\varphi _{i}(x_{1})|+|\varphi _{i}(x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|+|\varphi _{i}(x_{2})-f(x_{2})|<\varepsilon /3+\varepsilon /3+\varepsilon /3=\varepsilon }$, где ${\displaystyle \varphi _{i}}$ — подходящий элемент ${\displaystyle (\varepsilon /3)}$-сети.

Тем самым показано, что семейство ${\displaystyle F}$ является равностепенно непрерывным.

Другими словами, вполнеограниченность влечёт равномерную ограниченность и равностепенную непрерывность.

Теперь необходимо доказать, что равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность семейства ${\displaystyle F}$ влечёт существование конечной ${\displaystyle \varepsilon }$-сети для всякого конечного ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Фиксируем ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Пусть ${\displaystyle K}$ — это константа, которая фигурирует в определении равномерной ограниченности.

Выберем такое ${\displaystyle \delta >0}$, которое фигурирует в определении равномерной непрерывности и соответствует величине ${\displaystyle \varepsilon /5}$.

Рассмотрим прямоугольник ${\displaystyle [a,b]\times [-K,K]}$ и разобьём его вертикальными и горизонтальными прямыми на прямоугольные ячейки размером меньше чем ${\displaystyle \delta }$ по горизонтали и ${\displaystyle \varepsilon /5}$ по вертикали. Пусть ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle \dots }$ , ${\displaystyle x_{N}}$ — узлы этой решётки (по оси абсцисс).

Если теперь рассмотреть произвольную функцию ${\displaystyle f\in F}$, то для каждого узла ${\displaystyle x_{i}}$ решётки обязательно найдётся такая точка ${\displaystyle (x_{i},y_{j})}$ решётки, что ${\displaystyle |f(x_{i})-y_{j}|<\varepsilon /5}$. Если теперь рассмотреть ломаную функцию ${\displaystyle \varphi }$, которая в узлах принимает соответствующие значения, уклоняющиеся от функции не более чем на ${\displaystyle \varepsilon /5}$, то в силу того что сама функция уклоняется на каждом отрезке не более чем на ${\displaystyle \varepsilon /5}$, ломаная на каждом таком отрезке уклоняется не более чем на ${\displaystyle 3\varepsilon /5}$.

Поскольку каждая точка ${\displaystyle x}$ отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ оказывается на одном из таких отрезков, скажем, ${\displaystyle [x_{k},x_{k}+1]}$, то получается что уклонение функции от построенной таким образом ломанной не превосходит ${\displaystyle \varepsilon }$:

${\displaystyle |f(x)-\varphi (x)|\leqslant |f(x)-f(x_{k})|+|f(x_{k})-\varphi (x_{k})|+|\varphi (x_{k})-\varphi (x)|<\varepsilon /5+\varepsilon /5+3\varepsilon /5=\varepsilon }$.

Тем самым показано, что конечная (!) система ломанных функций указанного вида является ${\displaystyle \varepsilon }$-сетью для заданного ${\displaystyle \varepsilon >0}$.