Равностепенная непрерывность

Равностепенная непрерывность — свойство семейства непрерывных функций, заключающееся в том, что всё семейство функций изменяется некоторым контролируемым образом. Применяется, чтобы выбрать равномерно сходящуюся последовательность из некоторого семейства функций: теорема Арцела — Асколи позволяет это сделать для равностепенно непрерывного и равномерно ограниченного семейства на, например, компактном метрическом пространстве.

Определение

Точное определение равностепенной непрерывности зависит от контекста. В простейшем варианте пусть  — семейство вещественнозначных непрерывных функций на отрезке , а  — некоторое его подсемейство. Это подсемейство называется равностепенно непрерывным, если для любого существует такое , что для любой функции и любых точек из условия следует условие . Как видно, условие равностепенной непрерывности семейства функций отличается от условия равномерной непрерывности всех функции по отдельности перенесением фрагмента «для любой » под пару кванторов на эпсилон и дельту.

Это определение можно дословно обобщить на случай компактных метрических пространств и и подсемейства семейства непрерывных отображений из в : подсемейство называется равностепенно непрерывным, если для любого существует такое , что для любой функции и любых точек из условия следует условие .

Путём замены --формализма на формализм открытых подмножеств получается более общее определение для топологических пространств и и подсемейства семейства непрерывных отображений из в : подсемейство называется равностепенно непрерывным в точке и точке , если для любой окрестности существует такая окрестность , что любая функция переводит в . Отображение называется равностепенно непрерывным, если условие выше выполнено для всех пар . Если и  — топологические векторные пространства, а отображения между ними не только непрерывны, но и линейны, то достаточно проверять это условие в паре точек .

Теорема Арцела — Асколи

Теорема Арцела — Асколи утверждает, что для компактных метрических пространств равностепенная непрерывность равносильна относительной компактности , снабжённом метрикой

.

Литература

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
  • Эдвардс Р., Функциональный анализ, пер. с англ., IT., 1969.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.