Равностепенная непрерывность

Точное определение равностепенной непрерывности зависит от контекста. В простейшем варианте пусть ${\displaystyle C(a,b)}$ — семейство вещественнозначных непрерывных функций на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, а ${\displaystyle D\subset C(a,b)}$ — некоторое его подсемейство. Это подсемейство называется равностепенно непрерывным, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такое ${\displaystyle \delta >0}$, что для любой функции ${\displaystyle f\in D}$ и любых точек ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b]}$ из условия ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$ следует условие ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$. Как видно, условие равностепенной непрерывности семейства функций отличается от условия равномерной непрерывности всех функции по отдельности перенесением фрагмента «для любой ${\displaystyle f\in D}$» под пару кванторов на эпсилон и дельту.

Это определение можно дословно обобщить на случай компактных метрических пространств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ и подсемейства ${\displaystyle D\subset C(X,Y)}$ семейства непрерывных отображений из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$: подсемейство ${\displaystyle D}$ называется равностепенно непрерывным, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такое ${\displaystyle \delta >0}$, что для любой функции ${\displaystyle f\in D}$ и любых точек ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ из условия ${\displaystyle d_{X}(x_{1},\;x_{2})<\delta }$ следует условие ${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),\;f(x_{2}))<\varepsilon }$.

Путём замены ${\displaystyle \varepsilon }$-${\displaystyle \delta }$-формализма на формализм открытых подмножеств получается более общее определение для топологических пространств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ и подсемейства ${\displaystyle D\subset C(X,Y)}$ семейства непрерывных отображений из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$: подсемейство ${\displaystyle D}$ называется равностепенно непрерывным в точке ${\displaystyle x\in X}$ и точке ${\displaystyle y\in Y}$, если для любой окрестности ${\displaystyle W\ni y}$ существует такая окрестность ${\displaystyle V\ni x}$, что любая функция ${\displaystyle f\in D}$ переводит ${\displaystyle V}$ в ${\displaystyle W}$. Отображение называется равностепенно непрерывным, если условие выше выполнено для всех пар ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$. Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — топологические векторные пространства, а отображения между ними не только непрерывны, но и линейны, то достаточно проверять это условие в паре точек ${\displaystyle (0_{X},0_{Y})}$.

Теорема Арцела — Асколи утверждает, что для компактных метрических пространств равностепенная непрерывность ${\displaystyle D}$ равносильна относительной компактности ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle C(X,\;Y)}$, снабжённом метрикой

${\displaystyle \rho (f,\;g)=\max _{x\in X}d_{Y}(f(x),\;g(x))}$.

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
• Эдвардс Р., Функциональный анализ, пер. с англ., IT., 1969.