Алгебра множеств

Семейство ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subset 2^{X}}$ подмножеств множества ${\displaystyle X}$ (здесь ${\displaystyle 2^{X}}$ — булеан) называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

1. ${\displaystyle \varnothing \in {\mathfrak {A}}.}$
2. Если множество ${\displaystyle A\in {\mathfrak {A}}}$, то и его дополнение ${\displaystyle X\setminus A\in {\mathfrak {A}}.}$
3. Объединение двух множеств ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {A}}}$ также принадлежит ${\displaystyle {\mathfrak {A}}.}$

• По определению, если алгебра содержит множество ${\displaystyle A}$, то она содержит и его дополнение. Объединением ${\displaystyle A}$ с его дополнением является исходное множество ${\displaystyle X}$. Дополнением к множеству ${\displaystyle X}$ является пустое множество. Это означает, что множество ${\displaystyle X}$ и пустое множество содержится в алгебре по определению.
• В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности.
• Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
• Если исходное множество ${\displaystyle X}$ является пространством элементарных событий, то алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ называется алгеброй событий — ключевое понятие теории вероятностей и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.

Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий ${\displaystyle \Omega }$, элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств, алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых с конечным количеством множеств. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно теоретико-множественных операций, производимых со счётным количеством множеств, называется сигма-алгеброй событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

• алгебра конечных подмножеств ${\displaystyle \Omega }$;
• сигма-алгебра счётных подмножеств ${\displaystyle \Omega }$;
• алгебра подмножеств ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$, образованная конечными объединениями интервалов;
• сигма-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства ${\displaystyle \Omega }$, то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества ${\displaystyle \Omega }$;
• алгебра цилиндров в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.

Событие ${\displaystyle A+B}$ или ${\displaystyle A\cup B}$, заключающееся в том, что из двух событий ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ происходит по крайней мере одно, называется суммой событий ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$.

Вероятностное пространство — это алгебра событий с заданной функцией вероятности ${\displaystyle \mathbb {P} }$, то есть сигма-аддитивной конечной мерой, областью определения которой является алгебра событий, где ${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega )=1}$.

Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определённой на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.

• Сигма-алгебра
• Кольцо множеств
• Аксиоматика Колмогорова
• Элементарное событие
• Событие (теория вероятностей)

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.