Кольцо множеств

Кольцо множеств — непустая система множеств ${\displaystyle R}$, замкнутая относительно пересечения и симметрической разности конечного числа элементов. Это значит, что для любых элементов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ из кольца элементы ${\displaystyle A\cap B}$ и ${\displaystyle A\triangle B}$ тоже будут лежать в кольце.

С точки зрения общей алгебры кольцо множеств — ассоциативное коммутативное кольцо с операцией симметрической разности в роли сложения и пересечения в роли умножения. В роли нейтрального элемента по сложению выступает, очевидно, пустое множество. Нейтрального элемента по умножению в кольце множеств может и не быть. Например, не имеет нейтрального элемента по умножению кольцо всех ограниченных подмножеств числовой прямой[1].

Некоторые свойства:

• пустое множество принадлежит любому кольцу (так как ${\displaystyle \varnothing =A\triangle A}$);
• объединение конечного числа элементов кольца принадлежит кольцу, так как ${\displaystyle A\cup B=(A\triangle B)\triangle (A\cap B)}$;
• разность элементов кольца также принадлежит кольцу, так как ${\displaystyle A\backslash B=A\triangle (A\cap B)}$.