Универсальное множество

Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно.

\mathbb {U} ~~~=~~~\varnothing ^{\complement }

A^{\complement }~~~=~~~\mathbb {U} \setminus A

Универсальное множество обычно обозначается $\mathbb {U}$ (от англ. universe, universal set), реже $\mathbb {E}$ .

В аксиоматике Цермело — Френкеля парадокс Рассела со схемой выделения и парадокс Кантора показывают, что предположение о существовании такого множества ведёт к противоречию.

В аксиоматике фон Неймана — Бернайса — Гёделя существует универсальный класс — класс всех множеств, но множеством он не является. Класс всех множеств является классом объектов категории Set.

В некоторых аксиоматиках существует универсальное множество, но при этом схема выделения не выполняется. Примером является теория New Foundations У. В. О. Куайна.

Также универсальным множеством называют множество объектов, рассматриваемых в каком-либо разделе математики. Для элементарной арифметики универсальным множеством является множество целых чисел, для аналитической геометрии плоскости универсальным множеством является множество всех упорядоченных пар действительных чисел[1].

На диаграммах Венна универсальное множество (в обоих значениях) изображается множеством точек некоторого прямоугольника; подмножества его точек изображают подмножества универсального множества[1].

В дальнейшем речь идёт о первом значении термина. Нижеприведённые формулы (за исключением $\mathbb {U} \in \mathbb {U}$ ) верны и для второго значения, если через $a$ и $A$ обозначены соответственно любой элемент и любое подмножество множества $\mathbb {U}$ .

Свойства универсального множества

Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.
$\forall a\colon a\in \mathbb {U}$
В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.
$\mathbb {U} \in \mathbb {U}$
Любое множество является подмножеством универсального множества.
$\forall A\colon A\subseteq \mathbb {U}$
В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.
$\mathbb {U} \subseteq \mathbb {U}$
Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.
$\forall A\colon \mathbb {U} \cup A=\mathbb {U}$
В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
$\mathbb {U} \cup \mathbb {U} =\mathbb {U}$
Объединение любого множества с его дополнением равно универсальному множеству.
$A\cup A^{\complement }=\mathbb {U}$
Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.
$\forall A\colon \mathbb {U} \cap A=A$
В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
$\mathbb {U} \cap \mathbb {U} =\mathbb {U}$
Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.
$\forall A\colon A\setminus \mathbb {U} =\varnothing$
В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.
$\mathbb {U} \setminus \mathbb {U} =\varnothing$
Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.
$\forall A\colon \mathbb {U} \setminus A=A^{\complement }$
Дополнение универсального множества есть пустое множество.
$\mathbb {U} ^{\complement }=\varnothing$
Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.
$\forall A\colon \mathbb {U} \triangle A=A^{\complement }$
В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.
$\mathbb {U} \triangle \mathbb {U} =\varnothing$

Виды

Дизъюнктивно-универсальное множество (ДУМ) G [2] порядка n и ранга p — это множество функций алгебры логики (ФАЛ) такое, что для любой $g\in P_{2}(n)$ существует набор функций $g_{1},\ldots ,g_{p}\in G$ такой, что:

$g=g_{1}\lor \ldots \lor g_{p}$

См. также

Примечания

Столл, 1968, с. 25.
С. А. Ложкин. Лекции по основам кибернетики, 2008 г. (PDF)

Литература

Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Мир, 1968. — 231 с.
Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. — М.: МАИ, 1992. — 264 с. — ISBN 5-7035-0157-X.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_ddbd703159b37c1c-1] Столл, 1968, с. 25.

[2] С. А. Ложкин. Лекции по основам кибернетики, 2008 г. (PDF)