Парадокс Кантора

Предположим, что множество всех множеств ${\displaystyle V=\{x\mid x=x\}}$ существует. В этом случае справедливо ${\displaystyle \forall x\forall T(x\in T\rightarrow x\in V)}$, то есть всякое множество ${\displaystyle T}$ является подмножеством ${\displaystyle V}$. Но из этого следует ${\displaystyle \forall T\;|T|\leqslant |V|}$ — мощность любого множества не превосходит мощности ${\displaystyle V}$.

Но в силу аксиомы множества всех подмножеств, для ${\displaystyle V}$, как и любого множества, существует множество всех подмножеств ${\displaystyle {\mathcal {P}}(V)}$, и по теореме Кантора ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(V)|=2^{|V|}>|V|}$, что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, ${\displaystyle V}$ не может существовать, что вступает в противоречие с «наивной» гипотезой о том, что любое синтаксически корректное логическое условие определяет множество, то есть что ${\displaystyle \exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow A)}$ для любой формулы ${\displaystyle A}$, не содержащей ${\displaystyle y}$ свободно.

Не существует максимального кардинального числа. В самом деле: пусть оно существует и равно ${\displaystyle \mu }$. Тогда по теореме Кантора ${\displaystyle 2^{\mu }>\mu }$.

Этот парадокс, открытый Кантором около 1899 года, обнаружил необходимость пересмотра «наивной теории множеств» (парадокс Рассела был открыт несколько позднее, около 1901 года) и стимулировал разработку строгой аксиоматики теории множеств. Схема аксиом ${\displaystyle \exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow A)}$ отвергнута как противоречивая, вместо этого была разработана система ограничений на вид условия, задаваемого формулой ${\displaystyle A}$.

• Парадокс Бурали-Форти
• Парадокс всемогущества
• Парадокс Рассела