Пара (математика)

Пусть ${\displaystyle \mathbf {T} }$ и ${\displaystyle \mathbf {U} }$ — термы и ${\displaystyle \complement }$ — субстантивный знак веса 2, тогда знакосочетание ${\displaystyle \complement TU}$ также является термом и обозначается ${\displaystyle (\mathbf {TU} )}$. Подробнее: соотношение ${\displaystyle (\exists x)(\exists y)(z=(x,\;y))}$ обозначают словами «${\displaystyle z}$ есть пара».

Имеет место так называемая аксиома пары.

Число элементов множества ${\displaystyle A}$ равно 1, или ${\displaystyle A}$ состоит из одного элемента ${\displaystyle a}$, тогда и только тогда, когда при вычитании из него множества ${\displaystyle \{a\}}$ получается пустое множество: ${\displaystyle A\setminus \{a\}=\varnothing }$.

Непустое множество ${\displaystyle A}$ называется множеством из двух элементов, или парой: ${\displaystyle A=\{a,\;b\}}$, если после вычитания из него множества, состоящего только из одного элемента ${\displaystyle a\in A}$, останется множество, которое состоит также из одного элемента ${\displaystyle b\in A}$. При таком определении пары (как и вообще множества, состоящего из любого числа элементов) не зависит от выбора и порядка следования указанного элемента ${\displaystyle a\in A}$[1].

Если задана пара ${\displaystyle \{a,\;b\}}$, то множество ${\displaystyle \{\{a\},\{a,\;b\}\}}$ называется упорядоченной парой и обозначается ${\displaystyle (a,\;b)}$. При этом элемент ${\displaystyle a}$ называется первым элементом, а элемент ${\displaystyle b}$ — вторым элементом пары[2].

В формальной математике первый элемент упорядоченной пары ${\displaystyle A=(a,\;b)}$ называется также первой координатой или первой проекцией и обозначается ${\displaystyle \mathrm {pr} _{1}A}$. Аналогично второй элемент пары ${\displaystyle A}$ называется второй координатой или второй проекцией и обозначается ${\displaystyle \mathrm {pr} _{2}A}$[3].