Терм (логика)

Терм — выражение формального языка (системы) специального вида. По аналогии с естественным языком, где именная группа ссылается на объект, а целое предложение ссылается на факт, в математической логике терм обозначает математический объект, а формула обозначает математический факт. В частности, термы появляются как компоненты формулы.

Терм первого порядка рекурсивно определяется из символов постоянных, переменных и функций. Выражение, полученное путём применения предикатного символа к соответствующему количеству термов, называется логическим атомом, значение которого в двузначной логике на основе логической интерпретации оценивается как «истина» или «ложь». Например, ${\displaystyle (x+1)*(x+1)}$ — это терм, построенный из константы 1, переменной x и символов двоичной функции ${\displaystyle +}$ и ${\displaystyle *}$; это часть атомарной формулы ${\displaystyle (x+1)*(x+1)\geq 0}$, которая принимает значение «истина» для любого вещественного x.

Помимо логики, термы играют важную роль в универсальной алгебре и системах переписывания.

Множество ${\displaystyle T(\Sigma )}$ термов сигнатуры ${\textstyle \Sigma =<R,F,\mu >}$, где ${\displaystyle R}$ — множество предикатов, ${\displaystyle F}$ — множество функций, а ${\displaystyle \mu }$ — отображение арности для ${\displaystyle \Sigma }$, определяется индуктивно:

1. переменные ${\displaystyle x\in V}$ являются термами сигнатуры ${\displaystyle \Sigma }$
2. если ${\displaystyle t_{1},...,t_{n}}$ терм сигнатуры ${\displaystyle \Sigma }$, ${\displaystyle f\in F}$ и ${\displaystyle \mu (f)=n}$, то ${\displaystyle f(t_{1},...,t_{n})}$ — терм сигнатуры ${\displaystyle \Sigma }$.

Запись ${\displaystyle \Theta (\tau _{1},...,\tau _{n})}$ при ${\displaystyle n=0}$ обозначает ${\displaystyle \Theta }$. В частности, из пункта 2 получаем, что символ ${\displaystyle c\in F}$ константы сигнатуры ${\displaystyle \Sigma }$ является термом сигнатуры ${\displaystyle \Sigma }$[1].