Подмодуль
Подмодуль ― подмножество модуля, являющееся подгруппой его аддитивной группы и замкнутое относительно умножения на элементы основного кольца. В частности, левый (правый) идеал кольца является подмодулем левого (правого) -модуля .
Связанные определения
- Подмодуль, отличный от всего модуля, называется собственным.
- Подмодуль называется больши́м (или существенным), если он имеет ненулевое пересечение с любым другим ненулевым подмодулем.
- Например, целые числа образуют большой подмодуль группы рациональных чисел.
- Каждый модуль является большим подмодулем своей инъективной оболочки.
- Подмодуль модуля называется малым (или косущественным), если для любого подмодуля равенство влечет .
- Малым оказывается, например, всякий собственный подмодуль цепного модуля.
Свойства
- Множество подмодулей данного модуля, упорядоченное по включению, является полной дедекиндовой решёткой.
- Сумма всех малых подмодулей совпадает с пересечением всех максимальных подмодулей.
- Левый идеал принадлежит радикалу Джекобсона тогда и только тогда, когда мал в для всякого конечно порождённого левого модуля .
- Элементы малого подмодуля являются необразующими, то есть любая система образующих модуля остается таковой после удаления любого из этих элементов (это, конечно, не означает, что их можно удалить все сразу!).
- Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов модуля совпадает с множеством эндоморфизмов, имеющих малый образ.
- Если ― гомоморфизм модуля в модуль , то множество
оказывается подмодулем модуля и называется ядром гомоморфизма .- Каждый подмодуль служит ядром некоторого гомоморфизма.
Литература
- Каш Ф. Модули и кольца, — пер. с нем., М., 1981;
- Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, — пер. с англ., т. 1—2, М., 1977—79.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.