Разреженная матрица

Существует несколько способов хранения (представления) разреженных матриц, отличающиеся:

• удобством изменения структуры матрицы (активно используется косвенная адресация) - это структуры в виде списков и словарей.
• скоростью доступа к элементам и возможной оптимизацией матричных вычислений (чаще используются плотные блоки - массивы, увеличивая локальность доступа к памяти).

Словарь по ключам (DOK - Dictionary of Keys) строится как словарь, где ключ это пара (строка, столбец), а значение это соответствующий строке и столбцу элемент матрицы.

Список списков (LIL - List of Lists) строится как список строк, где строка это список узлов вида (столбец, значение).

Список координат (COO - Coordinate list) хранится список из элементов вида (строка, столбец, значение).

Сжатое хранение строкой (CSR - compressed sparse row, CRS - compressed row storage, Йельский формат)

Мы представляем исходную матрицу ${\displaystyle M^{n\times m}}$, cодержащую ${\displaystyle N_{NZ}}$ ненулевых значений в виде трёх массивов:

• массив значений - массив размера ${\displaystyle N_{NZ}}$, в котором хранятся ненулевые значения взятые подряд из первой непустой строки, затем идут значения из следующей непустой строки и т.д.
• массив индексов столбцов - массив размера ${\displaystyle N_{NZ}}$ и хранит номера столбцов, соответствующих элементов из массива значений.
• массив индексации строк - массив размера ${\displaystyle n+1}$ (кол_во_строк + 1), для индекса ${\displaystyle i}$ хранит количество ненулевых элементов в строках с первой до ${\displaystyle i-1}$ строки включительно, стоит отметить что последний элемент массива индексации строк совпадает с ${\displaystyle N_{NZ}}$, а первый всегда равен ${\displaystyle 0}$.

Примеры:

Пусть ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&2&0\\0&4&0\\0&2&6\end{pmatrix}}}$, тогда

массив_значений          = {1, 2, 4, 2, 6}
массив_индексов_столбцов = {0, 1, 1, 1, 2}
массив_индексации_строк  = {0, 2, 3, 5} -- в начале хранится 0, как запирающий элемент

Пусть ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&2&0&3\\0&0&4&0\\0&1&0&11\end{pmatrix}}}$, тогда

массив_значений          = {1, 2, 3, 4, 1, 11}
массив_индексов_столбцов = {0, 1, 3, 2, 1,  3}
массив_индексации_строк  = {0, 3, 4, 6} -- в начале хранится 0, как запирающий элемент

Для того, чтобы восстановить исходную матрицу нужно взять некоторое значение ${\displaystyle v}$ в первом массиве и соответствующий индекс ${\displaystyle i_{v}:Arr_{values}[i_{v}]=v}$, тогда номер столбца ${\displaystyle n_{c}=Arr_{cols}[i_{v}]}$, а номер строки ${\displaystyle n_{r}}$ находится, как наименьшее ${\displaystyle n_{r}}$, для которого ${\displaystyle Arr_{rows}[n_{r}+1]\geq i_{v}+1}$, это удобно например при матричном умножении на плотный вектор

void smdv(const crsm *A, double *b, const double *v) // b += Av
{
    // crsm это структура {int n, int m, int nnz, double aval[], double aicol[], double airow[]};
	for(int row = 0; row < n; ++row)
		for(int i = A->airow[row]; i < A->airow[row+1]; ++i)
			b[row] += A->aval[i] * v[A->aicol[i]];
}

Сжатое хранение столбцом(CSС - compressed sparse column, CСS - compressed column storage)

То же самое что и CRS, только строки и столбцы меняются ролями - значения храним по столбцам, по второму массиву можем определить строку, после подсчётов с третьим массивом - узнаём столбцы.

Для вычислений с разрежёнными матрицами создан ряд библиотек для различных языков программирования, среди них:

• SparseLib++ (C++)[2]
• uBLAS (C++, в составе Boost)[3]
• SPARSPAK (Фортран)[4]
• CSparse (Си)[5]
• Модуль Sparse из библиотеки SciPy (Python)[6][7].

• Reginald P. Tewarson. Sparse Matrices. — Academic Press, 1973. — 160 с. — ISBN 0126856508. перевод: Тьюарсон Р. Разрежённые матрицы = Sparse Matrices. — М.: Мир, 1977. — 191 с.
• Писсанецки С. Технология разрежённых матриц = Sparse Matrix Technology. — М.: Мир, 1988. — 410 с. — ISBN 5-03-000960-4.
• Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разрежённых систем уравнений = Computer Solution of Large Sparse Positive Definite Systems. — М.: Мир, 1984. — 333 с.