Основная теорема аффинной геометрии

Пусть ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над телом ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle V'}$ — векторное пространство над телом ${\displaystyle K'}$. Определим полулинейное отображение как отображение ${\displaystyle f:V\rightarrow V'}$, удовлетворяющее свойству ${\displaystyle f(\lambda x+\mu y)=\phi (\lambda )f(x)+\phi (\mu )f(y)\ \forall x,y\in V\ \forall \lambda ,\mu \in K}$, где ${\displaystyle \phi }$ — изоморфизм тел ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle K'}$. Пусть ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle S'}$ — аффинные пространства, ассоциированные с ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle V'}$ соответственно. Определим полуаффинное отображение как отображение ${\displaystyle F:S\rightarrow S'}$, удовлетворяющее свойству ${\displaystyle F(A)-F(B)=f(A-B)\ \forall A,B\in S}$, где ${\displaystyle f:V\rightarrow V'}$ — полулинейное отображение.

Основная теорема аффинной геометрии: пусть некоторое отображение ${\displaystyle F:S\rightarrow S'}$ удовлетворяет следующим условиям:

• ${\displaystyle \operatorname {dim} {{\texttt {<}}F(S){\texttt {>}}}\geq 2}$
• Если ${\displaystyle K,K'\neq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, то образ любой прямой прямая или точка
• Если ${\displaystyle K=K'=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, то образ любой плоскости плоскость, прямая или точка

Тогда ${\displaystyle F}$ — полуаффинное отображение.[2]

Лемма 1. Пусть ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle S'}$ аффинные пространства ассоциированные с ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle V'}$ над телами ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle K'}$ соответственно, ${\displaystyle \operatorname {dim} {S}\geq 2}$, ${\displaystyle F:S\rightarrow S'}$ — инъективное отображение, переводящее прямые в прямые и сохраняющее параллельность. Тогда ${\displaystyle F}$ — полуаффинное отображение.[3]

Доказательство.

1). Корректность определения ${\displaystyle f}$

Чтобы ${\displaystyle F}$ было полуаффинным, нужно, чтобы отображение ${\displaystyle f:V\rightarrow V'}$, определённое как ${\displaystyle f({\overrightarrow {AB}})=F(B)-F(A)\ \forall A,B\in S}$, было полулинейным. Для начала необходимо доказать корректность этого определения. Для этого нужно доказать, что равные закреплённые векторы переходят в равные закреплённые векторы.
Отметим, что вследствие инъективности, разные прямые переходят в разные прямые.
Пусть ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CD}}\neq {\overrightarrow {0}}}$. Тогда ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BD}}+{\overrightarrow {DC}}={\overrightarrow {AC}}\Rightarrow {\overrightarrow {BD}}={\overrightarrow {AC}}}$
Пусть ${\displaystyle F(A)=A',...,F(D)=D'}$. Если ${\displaystyle A,B,C,D}$ не лежат на одной прямой, то ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ переходят в различные параллельные прямые, ${\displaystyle BD}$ и ${\displaystyle AC}$ переходят в различные параллельные прямые. Пусть ${\displaystyle {\overrightarrow {C'D'}}=\lambda {\overrightarrow {A'B'}}}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {B'D'}}=\mu {\overrightarrow {A'C'}}}$. Тогда ${\displaystyle {\overrightarrow {0}}={\overrightarrow {A'B'}}+{\overrightarrow {B'D'}}+{\overrightarrow {D'C'}}+{\overrightarrow {C'A'}}={\overrightarrow {A'B'}}+\mu {\overrightarrow {A'C'}}-\lambda {\overrightarrow {A'B'}}-{\overrightarrow {A'C'}}=(1-\lambda ){\overrightarrow {A'B'}}+(\mu -1){\overrightarrow {A'C'}}}$. Но ${\displaystyle A',B',C'}$ не лежат на одной прямой ${\displaystyle \Rightarrow {\overrightarrow {A'B'}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {A'C'}}}$ — неколлинеарны ${\displaystyle \Rightarrow \lambda =1\Rightarrow {\overrightarrow {C'D'}}={\overrightarrow {A'B'}}}$
Если ${\displaystyle A,B,C,D}$ лежат на одной прямой, то возьмём некоторую точку ${\displaystyle G\in S\backslash {\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}}$ и ${\displaystyle H=G+{\overrightarrow {AB}}}$. Тогда ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {GH}}={\overrightarrow {CD}}}$ и ${\displaystyle f}$ — корректно определено.

2). Аддитивность ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f({\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}})=f({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}})=f({\overrightarrow {AC}})=F(C)-F(A)=F(C)-F(B)+F(B)-F(A)=f({\overrightarrow {AB}})+f({\overrightarrow {BC}})=f({\overrightarrow {u}})+f({\overrightarrow {v}})}$

3). Корректность определения ${\displaystyle \phi }$

Определим ${\displaystyle \phi :K\rightarrow K'}$ как такое отображение, для которого ${\displaystyle f(\lambda {\overrightarrow {u}})=\phi (\lambda )f({\overrightarrow {u}})\ \forall \lambda \in K\forall {\overrightarrow {u}}\in V}$ и докажем корректность его определения.

Пусть ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}\in V}$ ненулевой вектор, ${\displaystyle \lambda \in K}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {u}},C=A+\lambda {\overrightarrow {u}}}$. Тогда ${\displaystyle A,B,C}$ — лежат на одной прямой ${\displaystyle F(A),F(B),F(C)}$ — тоже лежат на одной прямой ${\displaystyle f(\lambda {\overrightarrow {u}})=\alpha f({\overrightarrow {u}})}$. Осталось доказать, что ${\displaystyle \alpha }$ зависит только от ${\displaystyle \lambda }$.

Возьмём два ненулевых вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$. Пусть ${\displaystyle f(\lambda {\overrightarrow {u}})=\alpha f({\overrightarrow {u}}),f(\lambda {\overrightarrow {v}})=\beta f({\overrightarrow {b}})}$. Если ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ — неколлинеарны, то их образы при ${\displaystyle f}$ тоже неколлинеарны (иначе образы двух несовпадающих прямых, проходящих через ${\displaystyle A}$ с направляющими ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ совпали бы, что невозможно в силу инъективности ${\displaystyle F}$). Пусть ${\displaystyle f(\lambda ({\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}))=\gamma f({\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}})}$. Тогда ${\displaystyle f(\lambda ({\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}))=\alpha f({\overrightarrow {u}})+\beta f({\overrightarrow {v}})=\gamma f({\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}})=\gamma f({\overrightarrow {u}})+\gamma f({\overrightarrow {v}}))\Rightarrow \alpha =\gamma =\beta }$.
Если ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ — коллинеарны, то выберем вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {w}}}$ линейно независимый с ними. Пусть ${\displaystyle f(\lambda {\overrightarrow {w}})=\gamma f({\overrightarrow {w}})}$. Тогда по предыдущему утверждению ${\displaystyle \alpha =\gamma =\beta }$ и отображение ${\displaystyle \phi }$ корректно определено.

4). ${\displaystyle \phi }$ — изоморфизм тел

Пусть ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ — ненулевой вектор. Тогда ${\displaystyle f((\lambda +\mu ){\overrightarrow {u}})=\phi (\lambda +\mu )f({\overrightarrow {u}})=f(\lambda {\overrightarrow {u}})+f(\mu {\overrightarrow {u}})=(\phi (\lambda )+\phi (\mu ))f({\overrightarrow {u}})}$. Образ ненулевого вектора при ${\displaystyle f}$ ненулевой, а значит, ${\displaystyle \phi (\lambda +\mu )=\phi (\lambda )+\phi (\mu )}$.

${\displaystyle f((\lambda \mu ){\overrightarrow {u}})=\phi (\lambda \mu )f({\overrightarrow {u}})=\phi (\lambda )f(\mu {\overrightarrow {u}})=\phi (\lambda )\phi (\mu )f({\overrightarrow {u}})}$ и ${\displaystyle \phi (\lambda \mu )=\phi (\lambda )+phi(\mu )}$ так как образ ненулевого вектора ненулевой.

Пусть ${\displaystyle g(\lambda )=A+\lambda {\overrightarrow {u}}}$ — биекция ${\displaystyle K}$ на ${\displaystyle D=A+{\overrightarrow {u}}}$, ограничение ${\displaystyle F}$ на ${\displaystyle D}$ — биекция в ${\displaystyle F(D)}$. Тогда ${\displaystyle F(g(\lambda ))=F(A)+\phi (\lambda )f({\overrightarrow {u}})}$ — биекция ${\displaystyle K}$ на ${\displaystyle F(D)}$, из чего следует, что ${\displaystyle \phi }$ — биекция.

Лемма 2 (геометрическая характеризация аффинных подпространств). Пусть ${\displaystyle K}$ имеет не менее трёх элементов. Если подмножество ${\displaystyle S}$ аффинного пространства ${\displaystyle S'}$ ассоциированного с векторным пространством ${\displaystyle V}$ над ${\displaystyle K}$ вместе с любыми двумя точками ${\displaystyle A,B}$ включает в себя ${\displaystyle {\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}}$, то это подмножество — аффинное подпространство в ${\displaystyle S}$.

Доказательство. Для доказательства этой леммы необходимо доказать, что ${\displaystyle E=\{{\overrightarrow {AB}}|A,B\in S\}}$ — подпространство в ${\displaystyle V}$.

${\displaystyle {\overrightarrow {v}}\in E\Rightarrow \exists A,B\in S:{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {AB}}\Rightarrow {\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}\subset S\Rightarrow A+\lambda {\overrightarrow {AB}}=C\in S\Rightarrow {\overrightarrow {AC}}=\lambda {\overrightarrow {AB}}=\lambda {\overrightarrow {v}}\in E}$

Докажем, что ${\displaystyle \forall A,B,C\in S:A+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\in S}$. Возьмём ${\displaystyle k\in K\backslash \{0,1\}}$. Так как ${\displaystyle {\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}\subset S,{\texttt {<}}A,C{\texttt {>}}\subset S}$, то ${\displaystyle B'=A+k^{-1}{\overrightarrow {AB}}\in S,C'=A+(1-k)^{-1}{\overrightarrow {AC}}\in S}$. Тогда ${\displaystyle C'+k{\overrightarrow {C'B'}}=A+{\overrightarrow {AC'}}+k{\overrightarrow {C'B'}}=A+(1-k)^{-1}{\overrightarrow {AC}}+kk^{-1}{\overrightarrow {AB}}-k(1-k)^{-1}{\overrightarrow {AC}}=A+{\overrightarrow {AB}}+(1-k)^{-1}(1-k){\overrightarrow {AC}}=A+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\in S}$.

Пусть ${\displaystyle {\overrightarrow {v}},{\overrightarrow {u}}\in E\Rightarrow \exists A,B,C,D\in S:{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {CD}}}$. Тогда ${\displaystyle G=C+{\overrightarrow {CD}}+{\overrightarrow {CA}}\in S,H=A+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AG}}\in S}$. ${\displaystyle {\overrightarrow {AH}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AG}}={\overrightarrow {AB}}+C+{\overrightarrow {CD}}+{\overrightarrow {CA}}-A={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CD}}\in E\Rightarrow E}$ — подпространство в ${\displaystyle V}$.

Лемма 2 для ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$ Если подмножество аффинного пространства ${\displaystyle S}$ ассоциированного с векторным пространством ${\displaystyle V}$ над ${\displaystyle K}$ вместе с любыми трёмя точками ${\displaystyle A,B,C}$ включает в себя ${\displaystyle {\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}}$, то это подмножество — аффинное подпространство в ${\displaystyle S}$.[4]

Доказательство.

${\displaystyle {\overrightarrow {v}}\in E\Rightarrow 0{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {0}}\in E,1{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {v}}\in E}$

Пусть ${\displaystyle \forall A,B,C\in S\Rightarrow A+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\in {\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}\subset S\Rightarrow {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\in E}$. Далее аналогично предыдущему доказательству.

Доказательство основной теоремы аффинной геометрии.

Основная идея доказательства теоремы для общего случая — факторизация отображения ${\displaystyle F}$ в композицию инъективной и сюръективной составляющих и доказательство полуаффинности каждой в отдельности. Далее везде образы точек ${\displaystyle A,B,C,...}$ при ${\displaystyle F}$ соответственно ${\displaystyle A',B',C',...}$.

Для ${\displaystyle K\neq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

1). Образ подпространства ${\displaystyle R}$ в ${\displaystyle S}$ при ${\displaystyle F}$ — подпространство в ${\displaystyle S'}$

Пусть ${\displaystyle F(R)=R'}$. Возьмём произвольные две точки ${\displaystyle A',B'\in R'}$ и их прообразы ${\displaystyle A,B\in R}$. Тогда ${\displaystyle {\texttt {<}}A',B'{\texttt {>}}\subset F({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})\subset R'\Rightarrow }$ по лемме 2 ${\displaystyle R'}$ — подпространство в ${\displaystyle R}$.

2). ${\displaystyle \forall A,B\in S\ F({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',B'{\texttt {>}}}$

Если ${\displaystyle A=B}$, то ${\displaystyle A'=B'}$ и ${\displaystyle F({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})=F(A)=A'=F(B)=B'={\texttt {<}}A',B'{\texttt {>}}}$
Если ${\displaystyle A\neq B}$ и ${\displaystyle A'\neq B'}$, то ${\displaystyle {\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}}$ — прямая, и образом должна быть прямая, проходящая через ${\displaystyle A',B'}$, то есть ${\displaystyle {\texttt {<}}A',B'{\texttt {>}}}$
Если ${\displaystyle A\neq B}$ и ${\displaystyle A'=B'}$, то предположим, что есть точка ${\displaystyle C\in {\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}}$ такая, что ${\displaystyle C'\neq A'}$. Так как ${\displaystyle \operatorname {dim} {F(S)}\geq 2}$ можно построить паралеллограмм ${\displaystyle A'C'H'G'}$. ${\displaystyle F({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',C'{\texttt {>}}\Rightarrow G\notin {\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}}$ (${\displaystyle G}$ любой прообраз ${\displaystyle G'}$). По (1) подпространства переходят в подпространства ${\displaystyle {\texttt {<}}A',C',G'{\texttt {>}}\subset F({\texttt {<}}A,C,G{\texttt {>}})\Rightarrow }$ в ${\displaystyle {\texttt {<}}A',C',G'{\texttt {>}}}$ есть прообраз ${\displaystyle H'}$ (обозначим его ${\displaystyle }$). Тогда ${\displaystyle CH\parallel AG\parallel BG}$, так как если бы эти прямые пересекались, то у одной точки было бы 2 образа. Но ${\displaystyle AG}$ и ${\displaystyle BG}$ пересекаются в точке ${\displaystyle G}$, а значит, не могут быть параллельными. Противоречие. Значит все точки ${\displaystyle {\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}}$ переходят в одну и ${\displaystyle F({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})=F(A)=A'=F(B)=B'={\texttt {<}}A',B'{\texttt {>}}}$

3). Прообраз подпространства ${\displaystyle R'}$ в ${\displaystyle S'}$ при ${\displaystyle F}$ — подпространство в ${\displaystyle S}$ или пустое множество.

Пусть ${\displaystyle R=F^{-1}(R')}$ непусто, ${\displaystyle A,B\in R}$. По (2) ${\displaystyle F({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',B'{\texttt {>}}\subset R'}$, так как ${\displaystyle R'}$ — подпространство ${\displaystyle S'}$. Тогда ${\displaystyle {\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}\subset R\Rightarrow R}$ — подпространство по лемме 2.

Для ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

1). Образ подпространства ${\displaystyle R}$ в ${\displaystyle S}$ при ${\displaystyle F}$ — подпространство в ${\displaystyle S'}$

Пусть ${\displaystyle F(R)=R'}$. Возьмём произвольные три точки ${\displaystyle A',B',C'\in R'}$ и их прообразы ${\displaystyle A,B\in R}$. Тогда ${\displaystyle {\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}\subset F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})\subset R'\Rightarrow }$ по лемме 2 ${\displaystyle R'}$ — подпространство в ${\displaystyle R}$.

2). ${\displaystyle \forall A,B,C\in S\ F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}}$

Если ${\displaystyle A=B=C}$, то ${\displaystyle A'=B'=C'}$ и ${\displaystyle F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})=F(A)=A'=F(B)=B'=F(C)=C'={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}}$
Если ${\displaystyle A=B\neq C}$, то ${\displaystyle {\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}}$ — прямая ${\displaystyle \Rightarrow {\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}=\{A,C\}\Rightarrow F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})=\{A',C'\}={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}}$
Если ${\displaystyle A\neq B\neq C}$ и ${\displaystyle A'\neq B'\neq C'}$, то ${\displaystyle {\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}}$ переходит в плоскость, проходящую через ${\displaystyle A',B',C'}$, то есть ${\displaystyle F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}}$
Если ${\displaystyle A\neq B\neq C}$ и ${\displaystyle A'=B'\neq C'}$, то ${\displaystyle {\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}}$ переходит в прямую, проходящую через ${\displaystyle A',B',C'}$, то есть ${\displaystyle F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}}$
Если ${\displaystyle A\neq B\neq C}$ и ${\displaystyle A'=B'=C'}$, то ${\displaystyle {\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}}$ переходит в прямую или точку. Предположим, что в прямую, то есть для ${\displaystyle D=A+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\ F(D)=D'\neq A'}$. Так как ${\displaystyle \operatorname {dim} {F(S)}\geq 2}$ выберем точку ${\displaystyle G'}$ так, чтобы она не совпадала ни с ${\displaystyle A',D'}$. Возьмём её прообраз ${\displaystyle G}$. В плоскости ${\displaystyle ABG}$ есть ещё одна точка. Назовём её ${\displaystyle H}$. Плоскость ${\displaystyle ABG}$ переходит в плоскость, из-за чего ${\displaystyle H'}$ это новая точка. Плоскость ${\displaystyle ABC}$ состоит из двух параллельных ${\displaystyle GH}$ прямых, одна из которых переходит в точку ${\displaystyle A'}$, а другая в прямую. Возьмём ту, которая переходит в точку. Тогда вместе с ${\displaystyle GH}$ они образуют плоскость, которая переходит в множество из трёх точек. Противоречие. Значит ${\displaystyle {\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}}$ переходит в точку и ${\displaystyle F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})=F(A)=A'=F(B)=B'=F(C)=C'={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}}$.

3). Прообраз подпространства ${\displaystyle R'}$ в ${\displaystyle S'}$ при ${\displaystyle F}$ — подпространство в ${\displaystyle S}$ или пустое множество.

Пусть ${\displaystyle R=F^{-1}(R')}$ непусто, ${\displaystyle A,B,C\in R}$. По (2) ${\displaystyle F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}\subset R'}$, так как ${\displaystyle R'}$ — подпространство ${\displaystyle S'}$. Тогда ${\displaystyle {\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}\subset R\Rightarrow R}$ — подпространство по лемме 2.

Для любого тела

4). ${\displaystyle X}$ — подмножество ${\displaystyle S}$. Тогда ${\displaystyle F({\texttt {<}}X{\texttt {>}})={\texttt {<}}F(X){\texttt {>}}}$

${\displaystyle X\subset {\texttt {<}}X{\texttt {>}}\Rightarrow F(X)\subset F({\texttt {<}}X{\texttt {>}}).}$ Но по (1) ${\displaystyle F({\texttt {<}}X{\texttt {>}})}$ — аффинное подпространство ${\displaystyle \Rightarrow {\texttt {<}}F(x){\texttt {>}}\subset F({\texttt {<}}X{\texttt {>}})}$.

${\displaystyle F(X)\subset {\texttt {<}}F(X){\texttt {>}}\Rightarrow X\subset F^{-1}({\texttt {<}}F(X){\texttt {>}})}$. По (3) ${\displaystyle F^{-1}({\texttt {<}}F(X){\texttt {>}})}$ — аффинное подпространство ${\displaystyle \Rightarrow {\texttt {<}}X{\texttt {>}}\subset F^{-1}({\texttt {<}}F(X){\texttt {>}})\Rightarrow F({\texttt {<}}X{\texttt {>}})\subset {\texttt {<}}F(X){\texttt {>}}}$

5). Образы параллельных прямых либо совпадают, либо не пересекаются

Обозначим эти прямые как ${\displaystyle L_{1},L_{2}}$, их образы ${\displaystyle L_{1}',L_{2}'}$. Пусть ${\displaystyle L_{1}'}$ и ${\displaystyle L_{2}'}$ пересекаются. Тогда на каждой из прямой ${\displaystyle L_{1}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$ есть точка ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$ соответственно такие, что их образ есть эта точка пересечения. Выберем на ${\displaystyle L_{1}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$ по ещё одной точке ${\displaystyle B_{1}}$ и ${\displaystyle B_{2}}$ соответственно. Тогда ${\displaystyle L_{1}'=F(L_{1})=F({\texttt {<}}A_{1},B_{1}{\texttt {>}})={\texttt {<}}A_{1}',B_{1}'{\texttt {>}}={\texttt {<}}A_{1}',A_{2}',B_{1}'{\texttt {>}}=F({\texttt {<}}A_{1},A_{2},B_{1}{\texttt {>}})=F({\texttt {<}}A_{1},A_{2},B_{1},B_{2}{\texttt {>}})=F({\texttt {<}}A_{1},A_{2},B_{2}{\texttt {>}})={\texttt {<}}A_{1}',A_{2}',B_{2}'{\texttt {>}}={\texttt {<}}A_{2}',B_{2}'{\texttt {>}}=F({\texttt {<}}A_{2},B_{2}{\texttt {>}})=F(L_{2})=L_{2}'}$

6). Пусть образы параллельных прямых не имеют общих точек. Тогда это либо параллельные прямые, либо точки

Возьмём две различные точки ${\displaystyle A,B\in L_{1}}$ и точку ${\displaystyle C\in L_{2}}$. Тогда ${\displaystyle F({\texttt {<}}L_{1},L_{2}{\texttt {>}})=F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})={\texttt {<}}L_{1}',L_{2}'{\texttt {>}}={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}\Rightarrow L_{1}'}$ и ${\displaystyle L_{2}'}$ лежат в одной плоскости.
Пусть ${\displaystyle L_{1}'}$ — прямая, тогда ${\displaystyle {\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}}$ имеет размерность ${\displaystyle 2}$. Пусть ${\displaystyle L_{2}'}$ — точка, тогда возьмём ещё одну точку ${\displaystyle D\neq C}$ на прямой ${\displaystyle L_{2}}$ и ${\displaystyle {\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}=F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})=F({\texttt {<}}A,C,D{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',C',D'{\texttt {>}}={\texttt {<}}A',C'{\texttt {>}}}$, то есть размерность ${\displaystyle {\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}}$ меньше ${\displaystyle 2}$. Противоречие. Значит ${\displaystyle L_{1}',L_{2}'}$ либо оба прямые, либо оба точки, причём если это прямые, то параллельные, так как они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

7). Все непустые прообразы точек имеют одно и то же направляющее подпространство

Пусть ${\displaystyle A',B'}$ разные точки ${\displaystyle S'}$ с непустым прообразом. Обозначим эти прообразы ${\displaystyle A^{*},B^{*}}$. По (3) это аффинные подпространства, а значит, у них есть направляющие подпространства (обозначим ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle W}$ соответственно). Пусть ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}\in E}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}\neq {\overrightarrow {0}}}$. Возьмём некоторую точку ${\displaystyle A_{1}\in A^{*}}$ и ${\displaystyle A_{2}=A_{1}+{\overrightarrow {v}}}$. Так же возьмём ${\displaystyle B_{1}\in B^{*}}$ и ${\displaystyle B_{2}=B_{1}+{\overrightarrow {v}}}$. ${\displaystyle A_{2}\in A^{*}\Rightarrow {\texttt {<}}A_{1},A_{2}{\texttt {>}}\subset A^{*}\Rightarrow F({\texttt {<}}A_{1},A_{2}{\texttt {>}})=\{A\}}$. Прямая ${\displaystyle {\texttt {<}}A_{1},A_{2}{\texttt {>}}}$ параллельна ${\displaystyle {\texttt {<}}B_{1},B_{2}{\texttt {>}}\Rightarrow F({\texttt {<}}B_{1},B_{2}{\texttt {>}})=\{B\}\Rightarrow {\texttt {<}}B_{1},B_{2}{\texttt {>}}\subset B^{*}\Rightarrow {\overrightarrow {v}}\in W\Rightarrow E\subset W}$. Поменяв местами ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle W}$ получаем ${\displaystyle W\subset E}$, а значит ${\displaystyle E=W}$.

8). Сюръективная составляющая F — аффинное отображение

Разложим ${\displaystyle F}$ на инъективную и сюръективную составляющие ${\displaystyle F=h\circ g}$. По определению сюръективной составляющей ${\displaystyle g:S\rightarrow S/\sim }$, где ${\displaystyle \sim }$ отношение эквивалентности, определённое как ${\displaystyle A\sim B\Leftrightarrow F(A)=F(B)}$, ${\displaystyle g}$ — проекция множества в фактормножество. Обозначим за ${\displaystyle W}$ направляющее подпространство непустых прообразов при ${\displaystyle F}$ точек. Тогда ${\displaystyle A\sim B\Leftrightarrow F(A)=F(B)\Leftrightarrow A\in F^{-1}(F(B))\Leftrightarrow A\in B+W\Leftrightarrow A-B\in W}$, что совпадает с определением отношения эквивалентности при построение факторпространства аффинного пространства, а значит, ${\displaystyle S/\sim =S/W}$ и проекция ${\displaystyle g}$ является аффинным отображением.

9). Инъективная составляющая F — полуаффинное отображение

Пусть ${\displaystyle L}$ — некоторая прямая в ${\displaystyle S/W}$. Так как ${\displaystyle g}$ — аффинно, то её прообраз ${\displaystyle L^{*}}$ при ${\displaystyle g}$ подпространство в ${\displaystyle S}$. Возьмём две различные точки ${\displaystyle A,B\in L}$ и некоторые точки ${\displaystyle A'',B''}$ из их прообразов. Тогда ${\displaystyle g({\texttt {<}}A'',B''{\texttt {>}})={\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}}$. В свою очередь ${\displaystyle F({\texttt {<}}A'',B''{\texttt {>}})=h(g({\texttt {<}}A'',B''{\texttt {>}}))=h({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})}$ либо прямая, либо точка. Но если бы это была точка, это бы противоречило инъективности ${\displaystyle h}$, а значит, это прямая.

Пусть ${\displaystyle L_{1},L_{2}}$ — некоторые параллельные прямые в ${\displaystyle S/W}$. Аналогично предыдущим выкладкам берём точки ${\displaystyle A_{1}'',B_{1}'',A_{2}'',B_{2}''\in S}$ такие, что ${\displaystyle g({\texttt {<}}A_{1}'',B_{1}''{\texttt {>}})=L_{1},g({\texttt {<}}A_{2}'',B_{2}''{\texttt {>}})=L_{2}}$. Но ${\displaystyle F({\texttt {<}}A_{i}'',B_{i}''{\texttt {>}})=h(g({\texttt {<}}A_{i}'',B_{i}''{\texttt {>}}))=h(L_{i})}$ либо совпадают, либо параллельны, либо точки. Первый и третий случай противоречат инъективности ${\displaystyle h}$, что означает, что они параллельны.

Если ${\displaystyle S/W}$ одна точка, то тогда ${\displaystyle F(S)=h(g(S))=h(S/W)}$ одна точка. Если ${\displaystyle S/W}$ — прямая, то ${\displaystyle F(S)=h(g(S))=h(S/W)}$ прямая, так как ${\displaystyle h}$ переводит прямые в прямые. Значит, ${\displaystyle \operatorname {dim} {S/W}\geq 2}$.

Все условия леммы 1 выполнены, а значит, ${\displaystyle h}$ — полуаффинное отображение.

10). Основная теорема аффинной геометрии

Любое аффинное отображение полуаффинное, следовательно, ${\displaystyle g}$ — полуаффинно. Композиция полуаффинных отображений полуаффинно, а значит, ${\displaystyle F=h\circ g}$ — полуаффинно.

• Классической основной теоремой аффинной геометрии называют следствие приведённой выше теоремы для евклидовых пространств. Она формулируется так:

Биективное отображение евклидова пространства размерности не менее 2 в себя, переводящее прямые в прямые, является аффинным преобразованием.[5]

Этот факт следует из того, что полуаффинные отображения между пространствами над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ являются аффинными, так как на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ есть только тривиальный автоморфизм.

• Более общий случай: если тела, над которыми определены пространства, имеют только тривиальный автоморфизм, то везде в формулировке можно заменить термин полуаффинное отображение на аффинное отображение.
• Теорема верна и в обратную сторону, доказательство этого сводится к свойству полулинейных отображений, гласящему, что подпространства переходят в подпространство. Таким образом, теорема устанавливает эквивалентность двух определений полуаффинного отображения.
• Если в формулировке дополнительно потребовать сюръективность ${\displaystyle F}$, конечномерность ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle S'}$, а так же совпадение их размерностей, то в случае ${\displaystyle K,K'\neq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ условие того, что образ прямой прямая или точка, можно ослабить до 3 коллинеарные точки переходят в 3 коллинеарные точки.[1]

Лемма. Любая точка конечномерного аффинного пространства над телом отличным от ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ лежит на некоторой прямой, проходящей через не общие точки любых пересекающихся прямой и гиперплоскости (либо это и есть эта точка пересечения). 

Основная теорема аффинной геометрии позволяет определить полуаффинные отображения на основе чисто геометрических свойств. Такое определение часто используется в аксиоматических теориях, а определение данное в начале статьи доказывается как свойство. Однако такое определение сопряжено с некоторыми трудностями, начиная со сложности доказательства эквивалентности двух разных определений и заканчивая невозможностью определить таким образом полуаффинные отображения с прямой или точкой в качестве образа.

• Полуаффинное отображение
• Полулинейное отображение

• Берже М.  Геометрия / И. Х. Сабитов; пер. с франц. Ю. Н. Сударёв, А. В. Пажитнов, С. В. Чмутов. — М., 1984. — Т. 1. — 560 с.
• Лелон-Ферран Ж.  Основания геометрии / пер. с франц. В. В. Рыжков. — М., 1989. — 312 с. — ISBN 5-03-001008-4.
• Прасолов В. В., Тихомиров В. М.  Геометрия. — 2-е изд. — М., 2007. — 328 с. — ISBN 978-5-94057-267-1.