Бинарная группа икосаэдра

Бинарная группа икосаэдра, обозначаемая 2I, является универсальным совершенным центральным расширением группы икосаэдра и поэтому квазипростой — это совершенное центральное расширение простой группы.

Конкретно, группа вписывается в короткую точную последовательность

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to 2I\to I\to 1.}$

Последовательность не является расщепляющей, то есть 2I не является полупрямым произведением { ±1 } на I. Фактически не существует подгруппы группы 2I, изоморфной I.

Центром группы 2I является подгруппа { ±1 }, так что группа внутренних автоморфизмов изоморфна I. Полная группа автоморфизмов изоморфна S₅ (симметрической группе перестановок 5 букв), точно так же, как ${\displaystyle I\cong A_{5}}$ — любой автоморфизм 2I фиксирует нетривиальный элемент центра (${\displaystyle -1}$), а потому сводится к автоморфизму I, и обратно, любой автоморфизм I поднимается к автоморфизму 2I.

Бинарная группа икосаэдра является совершенной группой, то есть она совпадает со своим коммутантом. Фактически 2I является единственной совершенной группой порядка 120. Отсюда следует, что 2I является неразрешимой.

Более того, бинарная группа икосаэдра является сверхсовершенной, что означает, что её две первые группы гомологий нулевые — ${\displaystyle H_{1}(2I;\mathbf {Z} )\cong H_{2}(2I;\mathbf {Z} )\cong 0.}$ Это означает, что её абелизация тривиальна (группа не имеет нетривиальных абелевых частных) и что её множитель Шура тривиален (группа не имеет нетривиальных совершенных центральных расширений). Фактически бинарная группа икосаэдра является наименьшей (нетривиальной) сверхсовершенной группой.

Бинарная группа икосаэдра, однако, не является ациклической, поскольку H_n(2I,Z) является циклической порядка 120 для n = 4k+3 и тривиальной для других n > 0[2].

Бинарная группа икосаэдра является подгруппой Spin(3) и накрывает группу икосаэдра, которая является подгруппой SO(3). Группа икосаэдра изоморфна группе симметрий 4-мерного симплекса, которая является подгруппой SO(4), а бинарная группа икосаэдра изоморфна двойному накрытию её в Spin(4). Заметим, что симметрическая группа ${\displaystyle S_{5}}$ имеет 4-мерное представление (это обычно наименьшее по размерности неприводимое представление полных симметрий ${\displaystyle (n-1)}$-мерного симплекса), а потому полный набор симметрий 4-мерного симплекса равен ${\displaystyle S_{5},}$ но это не полная группа икосаэдра (это две различные группы порядка 120).

Бинарную группу икосаэдра можно рассматривать как двойное накрытие альтернирующей группы ${\displaystyle A_{5},}$, ${\displaystyle 2\cdot A_{5}\cong 2I}$. Этот изоморфизм накрывает изоморфизм группы икосаэдра с альтернирующей группой ${\displaystyle A_{5}\cong I}$ и может рассматриваться как подгруппы Spin(4) и SO(4) (а также подгруппы симметрической группы ${\displaystyle S_{5}}$ и любого из её двойных покрытий ${\displaystyle 2\cdot S_{5}^{\pm }}$, которые, в свою очередь, являются подгруппами и пин-группы, и ортогональной группы ${\displaystyle \operatorname {Pin} ^{\pm }(4)\to \operatorname {O} (4)}$).

В отличие от икосаэдральной группы, которая является исключительной в трёхмерном пространстве, эти тетраэдральные и альтернирующие группы (и их двойные покрытия) существуют во всех размерностях.

Можно показать, что икосаэдральная группа изоморфна специальной линейной группе SL(2,5) — группе всех 2×2 матриц над конечным полем F₅ с единичным определителем.

Группа 2I имеет задание

${\displaystyle \langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{5}=rst\rangle }$

что эквивалентно

${\displaystyle \langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{5}\rangle .}$

Генераторы этого соотношения задаются формулой

${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(\varphi +\varphi ^{-1}i+j).}$

Единственной нормальной подгруппой группы 2I является центр { ±1 }.

По третьей теореме об изоморфизме существует соответствие Галуа между подгруппами 2I и подгруппами I, где оператором замыкания на подгруппах 2I является умножение на { ±1 }.

Элемент ${\displaystyle -1}$ является единственным элементом порядка 2, а потому содержится во всех подгруппах чётного порядка — любая подгруппа группы 2I либо имеет нечётный порядок, либо является прообразом подгруппы группы I. Кроме циклических групп, образованных различными элементами (которые могут иметь нечётный порядок), другими подгруппами группы 2I (с точностью до сопряжения) могут быть только:

• Бинарные диэдральные группы порядков 12 и 20 (покрывающие диэдральные группы D₃ и D₅ в I).
• Группа кватернионов, состоящая из 8 единиц Липшица, образует подгруппу с индексом 15, которая также является дициклической группой Dic₂. Эта подгруппа покрывает стабилизатор ребра.
• 24 кватерниона Гурвица образуют подгруппу с индексом 5, бинарную группа тетраэдра. Эта подгруппа накрывает хиральную тетраэдральную группу. Последняя является самонормализованной, так что её класс сопряжённости имеет 5 элементов (это даёт отображение ${\displaystyle 2I\to S_{5}}$, образ которого — ${\displaystyle A_{5}}$).