Дициклическая группа

В теории групп дициклическая группа Dicn— это некоммутативная группа порядка 4n (где n>=2), являющаяся расширением циклической группы порядка 2n. Эта группа также называется обобщённой группой кватернионов и обозначается Q4n.

Имеет место точная последовательность:

которая означает, что Dicn содержит нормальную подгруппу H, изоморфную C2n. Факторгруппа Dicn/H изоморфна C2.

Определение

Дициклическая группа может быть задана как группа, порождённая элементами a и b соотношениями

  • a2n=1,
  • b2 = an,
  • b-1 a b = a-1.

Из этих соотношений следует, что каждый элемент Dicn может быть единственным образом записан, как akbj, где 0 ≤ k < 2n, j = 0 или 1. Поэтому порядок группы равен 4n.

Свойства

Центр дициклической группы Z(Dicn) состоит из двух элементов аn и 1. Её коммутантом является подгруппа, порождённая элементом a2 и изоморфная Cn.

Дициклическая группа и группа диэдра

Существует сходство между дициклической группой и группой диэдра Dih2n . В этих группах имеется циклическая подгруппа A = <a>=C2n и внутренний автоморфизм, который действует на C2n как "отражение": intb(a) = a-1.

Замена соотношения b2 = 1 (для группы диэдра) на b2 = an приводит к ряду отличий. Все элементы, не принадлежащие подгруппе <a>, имеют порядок 2 в группе диэдра и порядок 4 в дициклической группе. В отличие от группы диэдра дициклическая группа Dicn не является полупрямым произведением А и <b>, так как пересечение A ∩ <b> не является тривиальным.

Дициклическая группа имеет ровно один элемент порядка 2, а именно x = b2 = аn. Этот элемент принадлежит центру группы Dicn. Если мы добавим соотношение b2 = 1, то получим группу диэдра Dihn. Таким образом факторгруппа Dicn/<b2> изоморфна группе диэдра Dihn, содержащей 2n элементов.

Наименование группы

В математической энциклопедии, группа кватернионов — это частный случай, когда порядок группы равен степени 2. В этом случае группа является нильпотентной.

Случай 2-группы

В обобщённой кватернионной группе любая абелева подгруппа является циклической[1]. Можно показать, что конечная p-группа c этим свойством (любая абелева подгруппа является циклической) является либо циклической, либо обобщённой кватернионной группой[2]. Если же конечная p-группа имеет единственную подгруппу порядка p, то она либо циклическая, либо является обобщённой кватернионной группой (с порядком, равным степени двойки)[3]. В частности, для конечного поля F нечётной характеристики 2-силовская подгруппа SL2(F) не абелева и имеет только одну подгруппу порядка 2, так что эта 2-силовская подгруппа должна быть обобщенной группой кватернионов[4]. Если pr — порядок F, где p простое, то порядок 2-силовской подгруппы SL2(F) равен 2n, где n = ord2(p2 - 1) + ord2(r).

См. также

Примечания
  1. Brown, 1982, с. 101, упражнение 1.
  2. Cartan, Eilenberg, 1999, с. 262, теорема 11.6.
  3. Brown, 1982, с. 99, теорема 4.3.
  4. Gorenstein, 1980, с. 42.

Литература
  • Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп, Изд-во «Наука», 1972.
  • Kenneth S. Brown. Cohomology of groups. — Springer-Verlag, 1982. — ISBN 978-0-387-90688-1.
  • Henri Cartan, Samuel Eilenberg. Homological Algebra. — Princeton University Press, 1999. — ISBN 978-0-691-04991-5.
  • D. Gorenstein. Finite Groups. — New York: Chelsea, 1980. — ISBN 978-0-8284-0301-6.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.