Список групп малого порядка

Следующий список содержит конечные группы малого порядка с точностью до изоморфизма групп.

Число

Общее число неизоморфных групп по величине порядка от 0 до 95[1]
01234567891011121314151617181920212223
0 0111212152215121141515221
24 1522541415112114122141614221
48 522515115213221131242671415141
72 501234161521521151211211014221

Словарь

Каждая группа в списке обозначается при помощи её индекса в библиотеке малых групп как Goi, где o — порядок группы, а i — её индекс среди групп этого порядка.

Также используются общепринятые названия групп:

Обозначения Zn и Dihn предпочтительнее, поскольку имеются обозначения Cn и Dn для точечных групп в трёхмерном пространстве.

Обозначение G × H употребляется для прямого произведения двух групп. Gn обозначает прямое произведение группы самой на себя n раз. GH обозначает полупрямое произведение, где H действует на G.

Перечислены абелевы и простые группы. (Для групп порядка n < 60 простые группы — это в точности циклические группы Zn для простых n.) Знак равенства («=») означает изоморфизм.

Нейтральный элемент в графе циклов представлен чёрным кружком. Граф циклов определяет группу однозначно только для групп, порядок которых меньше 16.

В списках подгрупп тривиальная группа и сама группа не перечислены. Если имеется несколько изоморфных подгрупп, их число указано в скобках.

Список малых абелевых групп

Конечные абелевы группы являются либо циклическими группами, либо их прямым произведением, см. статью Абелева группа.

Число неизоморфных абелевых групп по величине их порядка[2]
01234567891011121314151617181920212223
0 011121113211211151212111
24 321321117111411131112211
48 5221213131112112111112111
72 611221115511211131212111
Список всех абелевых групп до 30-го порядка
Порядок Goi Группа Подгруппы Граф
циклов
Свойства
1[3] G11 Z1[4] = S1 = A2 - Тривиальная группа. Циклическая, знакопеременная, симметрическая группа. Элементарная группа.
2[5] G21 Z2[6] = S2 = Dih1 - Простая, наименьшая нетривиальная группа. Симметрическая группа. Циклическая. Элементарная.
3[7] G31 Z3[8] = A3 - Простая. Знакопеременная группа. Циклическая. Элементарная.
4[9] G41 Z4[10] = Dic1 Z2 Циклическая.
G42 Z22 = K4[11] = Dih2 Z2 (3) Четверная группа Клейна, наименьшая нециклическая группа. Элементарная. Произведение.
5[12] G51 Z5[13] - Простая. Циклическая. Элементарная.
6[14] G62 Z6[15] = Z3 × Z2 Z3, Z2 Циклическая. Произведение.
7[16] G71 Z7[17] - Простая. Циклическая. Элементарная.
8[18] G81 Z8[19] Z4, Z2 Циклическая.
G82 Z4 × Z2[20] Z22, Z4 (2), Z2 (3) Произведение.
G85 Z23[21] Z22 (7), Z2 (7) Элементы, не являющиеся нейтральными, соответствуют точкам плоскости Фано, Z2 × Z2 подгруппы — прямым. Произведение Z2 × K4. Элементарная E8.
9[22] G91 Z9[23] Z3 Циклическая.
G92 Z32[24] Z3 (4) Элементарная. Произведение.
10[25] G102 Z10[26] = Z5 × Z2 Z5, Z2 Циклическая. Произведение.
11 G111 Z11[27] - Простая. Циклическая. Элементарная.
12[28] G122 Z12[29] = Z4 × Z3 Z6, Z4, Z3, Z2 Циклическая. Произведение.
G125 Z6 × Z2[30] = Z3 × K4 Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z22 Произведение.
13 G131 Z13[31] - Простая. Циклическая. Элементарная.
14[32] G142 Z14[33] = Z7 × Z2 Z7, Z2 Циклическая. Произведение.
15[34] G151 Z15[35] = Z5 × Z3 Z5, Z3 Циклическая. Произведение.
16[36] G161 Z16[37] Z8, Z4, Z2 Циклическая.
G162 Z42[38] Z2 (3), Z4 (6), Z22, Z4 × Z2 (3) Произведение.
G165 Z8 × Z2[39] Z2 (3), Z4 (2), Z22, Z8 (2), Z4 × Z2 Произведение.
G1610 Z4 × K4[40] Z2 (7), Z4 (4), Z22 (7), Z23, Z4 × Z2 (6) Произведение.
G1614 Z24[20] = K42 Z2 (15), Z22 (35), Z23 (15) Произведение. Элементарная.
17 G171 Z17[41] - Простая. Циклическая. Элементарная.
18[42] G182 Z18[43] = Z9 × Z2 Z9, Z6, Z3, Z2 Циклическая. Произведение.
G185 Z6 × Z3[44] = Z32 × Z2Z2, Z3 (4), Z6 (4), Z32Произведение.
19 G191 Z19[45] - Простая. Циклическая. Элементарная.
20[46] G202 Z20[47] = Z5 × Z4 Z20, Z10, Z5, Z4, Z2 Циклическая. Произведение.
G205 Z10 × Z2[48] = Z5 × Z22Z2 (3), K4, Z5, Z10 (3) Произведение.
21 G212 Z21[49] = Z7 × Z3 Z7, Z3 Циклическая. Произведение.
22 G222 Z22[50] = Z11 × Z2 Z11, Z2 Циклическая. Произведение.
23 G231 Z23[51] - Простая. Циклическая. Элементарная.
24[52] G242 Z24[53] = Z8 × Z3 Z12, Z8, Z6, Z4, Z3, Z2 Циклическая. Произведение.
G249 Z12 × Z2[54] = Z6 × Z4
= Z4 × Z3 × Z2
Z12, Z6, Z4, Z3, Z2 Произведение.
G2415 Z6 × Z22 = (Z3 × Z2) × K4 [40] Z6, Z3, Z2, K4, E8. Произведение.
25 G251 Z25 Z5 Циклическая.
G252 Z52 Z5 Произведение. Элементарная.
26 G261 Z26 = Z13 × Z2 Z13, Z2 Циклическая. Произведение.
27[55] G271 Z27Z9, Z3 Циклическая.
G272 Z9×Z3 Z9, Z3 Произведение.
G27 Z33Z3Произведение. Элементарная.
28 G282 Z28 = Z7 × Z4Z14, Z7, Z4, Z2Циклическая. Произведение.
G284 Z14 × Z2 = Z7 × Z22Z14, Z7, Z4, Z2 Произведение.
29 G291 Z29 - Простая. Циклическая. Элементарная.
30[56] G304 Z30 = Z15 × Z2 = Z10 × Z3
= Z6 × Z5 = Z5 × Z3 × Z2
Z15, Z10, Z6, Z5, Z3, Z2 Циклическая. Произведение.

Список неабелевых групп малого порядка

Число неизоморфных неабелевых групп по величине порядка[57]
01234567891011121314151617181920212223
0 000000102010301090303110
24 1201220304401010011110502010
48 470303012110110110122560303030
72 4401120504710101301090802110
Список неизоморфных неабелевых групп до 30 порядка
Порядок Goi Группа Подгруппы Граф
циклов
Свойства
6[14] G61 Dih3 = S3 Z3, Z2 (3) Диэдрическая группа, наименьшая неабелева группа, симметрическая группа, Группа Фробениуса
8[18] G83 Dih4 Z4, Z22 (2), Z2 (5) Диэдрическая группа. Особая специальная группа. Нильпотентная.
G84 Q8 = Dic2 = <2,2,2> Z4 (3), Z2 Группа кватернионов, Гамильтонова группа. Все подгруппы являются нормальными, несмотря на то, что сама группа абелевой не является. Наименьшая группа G, демонстрирующая, что для нормальной подгруппы H факторгруппа G/H не обязательно изоморфна подгруппе G. Особая специальная группа. Бинарная диэдрическая группа. Нильпотентная.
10[25] G101 Dih5 Z5, Z2 (5) Диэдрическая группа, Группа Фробениуса
12[28] G121 Q12 = Dic3 = <3,2,2>
= Z3 ⋊ Z4
Z2, Z3, Z4 (3), Z6 Бинарная диэдрическая группа
G123 A4 = K4 ⋊ Z3
= (Z2 × Z2) ⋊ Z3
Z22, Z3 (4), Z2 (3) Знакопеременная группа. Не имеет подгруппы шестого порядка, хотя 6 делит порядок группы. Группа Фробениуса
G124 Dih6 = Dih3 × Z2 Z6, Dih3 (2), Z22 (3), Z3, Z2 (7) Диэдрическая группа, Произведение
14[32] G141 Dih7 Z7, Z2 (7) Диэдрическая группа, Группа Фробениуса
16[36][58] G163 G4,4 = K4 ⋊ Z4
(Z4×Z2) ⋊ Z2
Имеет такое же количество элементов каждого порядка, что и группа Паули. Нильпотентная.
G164 Z4 ⋊ Z4 Квадраты элементов не образуют подгруппу. Имеет такое же количество элементов каждого порядка, что и группа Q8 × Z2. Нильпотентная.
G166 Z8 ⋊ Z2 Иногда называется модулярной группой порядка 16, хотя это вводит в заблуждение, поскольку абелевы группы и Q8 × Z2 тоже модулярны. Нильпотентная.
G167 Dih8 Z8, Dih4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9) Диэдрическая группа. Нильпотентная.
G168 QD16 Квазидиэдрическая группа порядка 16. Нильпотентная.
G169 Q16 = Dic4 = <4,2,2> Обобщённая группа кватернионов, Бинарная диэдрическая группа. Нильпотентная.
G1611 Dih4 × Z2 Dih4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (11), Z4 (2), Z2 (11) Произведение. Нильпотентная.
G1612 Q8 × Z2 Гамильтонова, Произведение. Нильпотентная.
G1613 (Z4 × Z2) ⋊ Z2 Группа Паули, образованная матрицами Паули. Нильпотентная.
18[42] G181 Dih9Z9, Dih3 (3), Z3, Z2 (9) Диэдрическая группа, Группа Фробениуса
G183 Z3⋊Z6 = Dih3×Z3 = S3×Z3 Z32, Dih3, Z6 (3), Z3 (4), Z2 (3) Произведение
G184 (Z3×Z3)⋊Z2 Z32, Dih3 (12), Z3 (4), Z2 (9) Группа Фробениуса
20[46] G201 Q20 = Dic5 = <5,2,2>Бинарная диэдрическая группа
G203 Z5 ⋊ Z4Группа Фробениуса
G204 Dih10 = Dih5 × Z2Диэдрическая группа, Произведение
21 G211 Z7 ⋊ Z3Наименьшая неабелева группа нечётного порядка. Группа Фробениуса
22 G221 Dih11Диэдрическая группа, Группа Фробениуса
24[52] G241 Z3 ⋊ Z8Z12, Z8 (3), Z6, Z4, Z3, Z2Центральное расширение группы S3
G243 SL(2,3) = 2T = Q8 ⋊ Z3Бинарная группа тетраэдра
G244 Q24 = Dic6 = <6,2,2> = Z3 ⋊ Q8Бинарная диэдрическая
G245 Z4 × S3Произведение
G246 Dih12Диэдрическая группа
G247 Dic3 × Z2 = Z2 × (Z3 × Z4)Произведение
G248 (Z6 × Z2)⋊ Z2 = Z3 ⋊ Dih4Двойное покрытие диэдрической группы
G2410 Dih4 × Z3Произведение. Нильпотентная.
G2411 Q8 × Z3Произведение. Нильпотентная.
G2412 S4A4, Dih4 (3), S3 (4), K4 (4), Z4 (3), Z3 (4), Z2 (6)[59] Симметрическая группа. Не содержит нормальной силовской подгруппы.
G2413 A4 × Z2Произведение
G2414 D12× Z2Произведение
26 G261 Dih13Диэдрическая группа, Группа Фробениуса
27[55] G273 Z32 ⋊ Z3Все нетривиальные элементы имеют порядок 3. Особая специальная группа. Нильпотентная.
G274 Z9 ⋊ Z3Особая специальная группа. Нильпотентная.
28 G281 Z7 ⋊ Z4Бинарная диэдрическая группа
G283 Dih14Диэдрическая группа, Произведение
30[56] G301 Z5 × S3Произведение
G303 Dih15Диэдрическая группа, группа Фробениуса
G304 Z3 × Dih5Произведение

Классификация групп малого порядка

Группы с малым порядком, равным степени простого числа pn:

  • Порядок p: все такие группы циклические.
  • Порядок p2: имеется две группы, обе абелевы.
  • Порядок p3: имеется три абелевы группы и две неабелевы. Одна из неабелевых групп является полупрямым произведением нормальной циклической подгруппы порядка p2 на циклическую группу порядка p. Другой группой является группа кватернионов для p=2 и группа Гейзенберга по модулю p для p'>2.
  • Порядок p4: классификация групп сложна и становится всё сложнее с ростом p.

Большинство групп с малым порядком имеет силовскую p-подгруппу P с нормальным p-дополнением N для некоторого простого p, делящего порядок, так что могут быть классифицированы в терминах возможных простых чисел p, p-групп P, групп N и действий P на N. В некотором смысле это сводит классификацию таких групп к классификации p-групп. Группы малого порядка, не имеющие нормального p-дополнения, включают:

  • Порядок 24: симметрическая группа S4
  • Порядок 48: бинарная октаэдральная группа и произведение S4 × Z/2Z
  • Порядок 60: знакопеременная группа A5.

Библиотека малых групп

Система компьютерной алгебры GAP содержит «Библиотеку малых групп», которая предоставляет описания групп малого порядка. Группы перечислены с точностью до изоморфизма. В настоящее время библиотека содержит следующие группы:[60]

  • группы, порядок которых не превосходит 2000, за исключением порядка 1024 (423 164 062 групп в библиотеке. Группы порядка 1024 пропущены, поскольку имеется 49 487 365 422 неизоморфных 2-групп порядка 1024.);
  • группы, порядок которых не делится на куб, с порядком до 50000 (395 703 групп);
  • группы, порядок которых не делится на квадрат;
  • группы порядка pn для n не больше 6 и простым p;
  • группы порядка p7 для p = 3, 5, 7, 11 (907,489 группы);
  • группы порядка qn × p, где qn делит 28, 36, 55 или 74 и p — произвольное простое число, отличное от q;
  • группы, порядок которых является произведением не более чем трёх простых чисел.

См. также

Примечания

  1. последовательность A000001 в OEIS
  2. последовательность A000688 в OEIS
  3. Группы порядка 1
  4. Z1
  5. Группы порядка 2
  6. Z2
  7. Группы порядка 3
  8. Z3
  9. Группы порядка 4
  10. Z4
  11. Klein group
  12. Группы порядка 5
  13. Z5
  14. Группы порядка 6
  15. Z6
  16. Группы порядка 7
  17. Z7
  18. Группы порядка 8
  19. Z8
  20. Z4×Z2
  21. Элементарная абелева группа: E8
  22. Группы порядка 9
  23. Z9
  24. Z3×Z3 (недоступная ссылка)
  25. Группы порядка 10
  26. Z10
  27. Z11 (недоступная ссылка)
  28. Группы порядка 12
  29. Z12
  30. Z6×Z2
  31. Z13 (недоступная ссылка)
  32. Группы порядка 14
  33. Z14 (недоступная ссылка)
  34. Группы порядка 15
  35. Z15 (недоступная ссылка)
  36. Группы порядка 16
  37. Z16
  38. Z4×Z4
  39. Z8×Z2
  40. Z4×Z2×Z2 (недоступная ссылка)
  41. Z17 (недоступная ссылка)
  42. Группы порядка 18
  43. Z18
  44. Z6×Z3
  45. Z19 (недоступная ссылка)
  46. Группы порядка 20
  47. Z20
  48. Z10×Z2
  49. Z21 (недоступная ссылка)
  50. Z22 (недоступная ссылка)
  51. Z23 (недоступная ссылка)
  52. Группы порядка 24
  53. Z24
  54. Z12×Z2 (недоступная ссылка)
  55. Группы порядка 27
  56. Группы порядка 30
  57. последовательность A060689 в OEIS
  58. Wild, Marcel. «The Groups of Order Sixteen Made Easy Архивировано 23 сентября 2006 года.», American Mathematical Monthly, Jan 2005
  59. https://en.wikiversity.org/wiki/Symmetric_group_S4.
  60. Hans Ulrich Besche The Small Groups library Архивировано 5 марта 2012 года.

Литература

  • H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09212-9., Таблица 1, Неабелевы группы порядка <32.
  • Marshall Hall Jr., James K. Senior. The Groups of Order 2n (n ≤ 6). — Macmillan, 1964.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.