ADE-классификация

В терминах комплексных полупростых алгебр Ли:

• ${\displaystyle A_{n}}$ соответствует ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ),}$ специальной линейной алгебре Ли операторов с нулевым следом,
• ${\displaystyle D_{n}}$ соответствует ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ),}$ чётной специальной ортогональной алгебре Ли кососимметрических операторов
• ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$ являются тремя из пяти исключительных алгебр Ли.

В терминах компактных алгебр Ли и соответствующих однониточных групп Ли:

• ${\displaystyle A_{n}}$ соответствует ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{n+1},}$ алгебре специальной унитарной группы ${\displaystyle SU(n+1)}$;
• ${\displaystyle D_{n}}$ соответствует ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {R} ),}$ алгебре чётной проективной ортогональной группы ${\displaystyle PSO(2n)}$,
• ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$ являются тремя из пяти исключительных компактных алгебр Ли.

Та же самая классификация подходит для дискретных подгрупп ${\displaystyle SU(2)}$, бинарной полиэдральной группы. По сути, бинарные полиэдральные группы соответствуют однониточным аффинным диаграммам Дынкина ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k}}$, и задания этих групп можно понять в терминах этих диаграмм. Эта связь известна как соответствие Маккея (в честь Джона Маккея). Связь с правильными многогранниками описана в книге Диксона «Algebraic Theories» [2]. Соответствие использует построение графов Маккея.

При этом ${\displaystyle ADE}$-соответствие не является соответствием правильных многогранников их группам отражений. Например, в ${\displaystyle ADE}$-соответствии тетраэдр, куб/октаэдр и додекаэдр/икосаэдр соответствуют ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$, в то время как группы отражений тетраэдра, куба и октаэдра, додекаэдра и икосаэдра являются заданиями групп Коксетера ${\displaystyle A_{3},BC_{3}}$ и ${\displaystyle H_{3}.}$

Орбиобразие ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$, построенное с помощью всех дискретных подгрупп, приводит к сингулярности типа ${\displaystyle ADE}$ в начале координат, которая называется дювалевской особенностью.

Соответствие Маккея можно распространить и на многониточные диаграммы Дынкина при использовании пары бинарных полиэдральных групп. Это соответствие известно как соответствие Слодови (по имени немецкого математика Петера Слодови)[3].

${\displaystyle ADE}$-графы и расширенные (аффинные) ${\displaystyle ADE}$-графы можно описать в терминах маркировки некоторыми свойствами[4], которые можно сформулировать в терминах дискретных операторов Лапласа [5] или матриц Картана. Доказательства в терминах матриц Картана можно найти в книге Каца «Infinite dimensional Lie algebras» [6].

Аффинные ${\displaystyle ADE}$-графы — это графы, допускающие позитивную маркировку (когда вершины помечаются положительными вещественными числами) со следующими свойствами:

Любая метка является полусуммой смежных вершин.

То есть существуют принимающие лишь положительные значения функции с собственным значением 1 дискретного лапласиана (сумма смежных вершин минус значение в вершине) — положительное решение однородного уравнения:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi }$.

Эквивалентно, положительные функции в ядре ${\displaystyle \Delta -I}$. Результирующая нумерация является единственной с точностью до постоянного множителя, а с нормализацией, при которой минимальное число равно 1, состоит из малых целых чисел — от 1 до 6, которые зависят от графа.

Обычные ${\displaystyle ADE}$-графы — это только графы, допускающие положительную маркировку со следующими свойствами:

Любая метка равна полусумме смежных вершин плюс единица.

В терминах лапласианов это положительное решение однородного уравнения:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi -2}$.

Результирующая нумерация является единственной (с точностью до постоянного множителя, значение которого определяется числом «2») и состоит из целых чисел. Для ${\displaystyle E_{8}}$ эти числа лежат в пределах от 58 до 270[7].

Элементарные катастрофы также классифицируются с помощью ${\displaystyle ADE}$-классификации.

Диаграммы ${\displaystyle ADE}$ являются в точности колчанами конечного типа вследствие теоремы Габриэля.

Существует также связь с обобщёнными четырёхугольниками, так как три невырожденных обобщённых четырёхугольника с тремя точками на каждой прямой соответствуют исключительным корням систем ${\displaystyle E_{6}}$, ${\displaystyle E_{7}}$ и ${\displaystyle E_{8}}$=[8]. Классы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle D}$ соответствуют вырожденным случаям, где множество прямых пусто или все прямые проходят через одну точку, соответственно[9].

Существует глубокая связь между этими объектами, скрытыми за этой классификацией, и некоторые из этих связей можно понять через теорию струн и квантовую механику^{[уточнить]}.

Арнольд предложил много других связей под рубрикой «математические троицы»[10][11], а Маккей расширил эти соответствия. Арнольд использовал термин «троицы» с намёком на религию и предположил, что (в настоящее время) эти параллели скорее ближе к вере, чем к строгим доказательствам, хотя некоторые параллели хорошо проработаны. Далее троицы были подхвачены и другими авторами[12][13][14]. Троицы Арнольда начинаются с ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} }$ (вещественные числа, комплексные числа и кватернионы), которые, как он заметил, «все знают», и продолжены другими троицами, такими как «комплесизация» и «кватернизация» классических (вещественных) математических объектов по аналогии с поисками симплектических аналогий римановой геометрии, которые он предложил до этого в 1970-х годах. Кроме примеров из дифференциальной топологии (таких как характеристические классы), Арнольд рассматривает три симметрии правильных многогранников (тетраэдральная, октаэдральная, икосаэдральная) как соответствующие вещественным числам, комплексным числам и кватернионам, которые связаны с дальнейшими алгебраическими соответствиями Маккея.

Проще всего поддаются описанию соответствия Маккея. Во-первых, расширенные диаграммы Дынкина ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}}$ (соответствующие тетраэдральной, октаэдральной и икосаэдральной симметрий) имеют группы симметрии ${\displaystyle S_{3},S_{2},S_{1}}$, соответственно, и ассоциированные свёртки — диаграммы ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}}$ (при менее аккуратной записи признак расширения — тильда — часто опускается). Что более существенно, Маккей предположил соответствие между вершинами ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$ диаграмм и некоторыми классами смежности монстра, что известно как замечание Маккея о ${\displaystyle E_{8}}$[15][16]. Маккей далее соотносит вершины ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$ с классами смежности в ${\displaystyle 2.B}$ (раширение порядка 2 группы Бэби-Монстр), а вершины ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$ с классами смежности в ${\displaystyle 3.Fi_{24}'}$ (расширение порядка 3 группы Фишера)[16]. Это три самые большие спорадические группы, притом порядок расширения соответствует симметриям диаграммы.

Если перейти от больших простых групп к малым, группы, соответствующие правильным многогранникам, ${\displaystyle A_{4},S_{4}}$ и ${\displaystyle A_{5}}$ имеют связь с проективными специальными группами ${\displaystyle PSL(2,5)}$, ${\displaystyle PSL(2,7)}$ и ${\displaystyle PSL(2,11)}$ (порядка 60, 168 и 660)[17][13]. Эти группы являются единственными (простыми) группами со значением ${\displaystyle p}$, таким, что ${\displaystyle PSL(2,p)}$ действует нетривиально на ${\displaystyle p}$ точек, факт, который восходит к работам Эвариста Галуа 1830-х годов. Фактически, группы разлагаются на произведение множеств (но не произведение групп) следующим образом: ${\displaystyle A_{4}\times Z_{5},}$ ${\displaystyle S_{4}\times Z_{7}}$ и ${\displaystyle A_{5}\times Z_{11}.}$ Эти группы связаны также с различными геометриями (начиная с работ Феликса Клейна 1870-х годов)[18]. Ассоциированные геометрии (мозаики на римановых поверхностях), в которых можно видеть действие на ${\displaystyle p}$ точек, следующие: ${\displaystyle PSL(2,5)}$ является группой симметрий икосаэдра (род 0) на соединении пяти тетраэдров как 5-элементном множестве, ${\displaystyle PSL(2,7)}$ является группой симметрий квартики Клейна (род 3) на вложенной плоскости Фано как 7-элементном множестве (двойная плоскость порядка 2) и ${\displaystyle PSL(2,11)}$ является группой симметрий поверхности бакминстерфуллерена (род 70) на вложенной двойной плоскости Палея как 11-элементном множестве (двойная плоскость порядка 3)[19]. Из перечисленных икосаэдры известны ещё с древности, квартики Клейна были введены Клейном в 1870-х годах, а бакибо́л-поверхности введены Пабло Мартином и Сигерманом в 2008 году.

Маккей связывает также ${\displaystyle E_{6}}$, ${\displaystyle E_{7}}$ и ${\displaystyle E_{8}}$ соответственно с 27 прямыми на кубической поверхности, 28 двойными касательными квартики и 120 трижды касательными плоскостями канонической кривой шестого порядка с родом 4[20][21].

• Эллиптическая поверхность

• Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. — Москва: «Мир», 1972. — (Элементы математики).
• Vladimir Arnold. Mathematical developments arising from Hilbert problems / Felix E. Browder. — American Mathematical Society, 1976. — Т. 28. — (Proceedings of symposia in pure mathematics). (Problem VIII. The A-D-E classifications).
• Leonard E. Dickson. XIII: Groups of the Regular Solids; Quintic Equations // Algebraic Theories. — New York: Dover Publications, 1959.
• P.J. Cameron, J.M. Goethals, J.J. Seidel, E. E. Shult. Line graphs, root systems and elliptic geometry // Journal of Algebra. — 1976. — Вып. 43.
• Pablo Martin, David Singerman. From Biplanes to the Klein quartic and the Buckyball. — 17/04/2008.
• John F. Duncan. Groups and symmetries: from Neolithic Scots to John McKay / John Harnad, Pavel Winternitz. — Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2009. — Т. 47. — (CRM Proceedings & lecture notes). — ISBN 978-08218-4481-6.
• Bertram Kostant. The Graph of the Truncated Icosahedron and the Last Letter of Galois. — Notices Amer. Math. Soc.. — 1995. — Т. 42. См. The Embedding of PSl(2, 5) into PSl(2, 11) and Galois’ Letter to Chevalier.
• Lieven le Bruyn. Galois’ last letter. — 2008. Архивировано 15 августа 2010 года.
• Michiel Hazewinkel, Hesseling, JD. Siersma, F. Veldkamp. The ubiquity of Coxeter Dynkin diagrams. (An introduction of the A-D-E problem) // Nieuw Archief v. Wiskunde. — 1977. — Т. 35, вып. 3. — С. 257–307.
• John McKay. Graphs, singularities and finite groups // Proc. Symp. Pure Math.. — Amer. Math. Soc., 1980. — Т. 37. — С. 183-,265-.
• John McKay. The Geometric Vein, Coxeter Festschrift. — Berlin, 1982. — С. 549–.
• Victor G. Kac. Infinite-Dimensional Lie Algebras. — 3rd. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990. — ISBN 0-521-46693-8.
• John McKay. A Rapid Introduction to ADE Theory. — 01/01/2001.
• R. A. Proctor. Two Amusing Dynkin Diagram Graph Classifications // The American Mathematical Monthly. — 1993. — Т. 100, вып. 10. — ISSN 0002-9890. — doi:10.2307/2324217. — .
• J. McKay, Abdellah Sebbar. Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry, II. — Springer, 2007. — doi:10.1007/978-3-540-30308-4_10.
• R. Stekolshchik. Notes on Coxeter Transformations and the McKay Correspondence. — 2008. — (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-540-77398-6. — doi:10.1007/978-3-540-77398-3.
• Godsil Chris, Gordon Royle. Algebraic Graph Theory. — New York: Springer, 2001. — Т. 207. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-95241-1. Chapter 12
• Lieven le Bruyn. Arnold’s trinities. — 2008—2.
• Lieven le Bruyn. Arnold’s trinities version 2.0. — 2008—3.
• Lieven le Bruyn. the monster graph and McKay’s observation. — 2009. Архивировано 14 августа 2010 года.
• Joris van Hoboken. Platonic solids, binary polyhedral groups, Kleinian singularities and Lie algebras of type A,D,E. — 2002. Архивировано 26 апреля 2012 года.

• John Baez, This Week’s Finds in Mathematical Physics: Week 62, Week 63, Week 64, Week 65, August 28, 1995 through October 3, 1995, and Week 230, May 4, 2006
• The McKay Correspondence, Tony Smith