Колчан (теория графов)

Колчан ${\displaystyle \Gamma }$ состоит из:

• Множество ${\displaystyle V}$ вершин графа ${\displaystyle \Gamma }$
• Множество ${\displaystyle E}$ ребер графа ${\displaystyle \Gamma }$
• Две функции: ${\displaystyle s:E\to V}$, задающие начало или источник ребра, и еще одна функция, ${\displaystyle t:E\to V}$, задающая конец ребра.

Это определение идентично определению мультиграфа.

Морфизм колчанов определяется следующим образом. Если ${\displaystyle {\displaystyle \Gamma =(V,E,s,t)}}$ и ${\displaystyle {\displaystyle \Gamma '=(V',E',s',t')}}$ — два колчана, морфизм ${\displaystyle m=(m_{v},m_{e})}$ колчанов состоит из двух функций ${\displaystyle m_{v}:V\to V'}$ и ${\displaystyle m_{e}:E\to E'}$, так что следующие диаграммы коммутируют:

${\displaystyle m_{v}\circ s=s'\circ m_{e}}$

${\displaystyle m_{v}\circ t=t'\circ m_{e}}$

Приведенное выше определение основано на теории множеств. Категориально-теоретическое определение обобщает это в функтор от свободного колчана до категории множеств.

Свободный колчан (также называемый колчаном Кронекера, колчаном 2-Кронекера или категорией Кронекера) ${\displaystyle Q}$ — это категория с двумя объектами и четырьмя морфизмами: объекты ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle E}$. Четыре морфизма ${\displaystyle s:E\to V}$, ${\displaystyle t:E\to V}$ и морфизмы тождества ${\displaystyle id_{V}:V\to V}$и ${\displaystyle id_{E}:E\to E}$. То есть свободный колчан

${\displaystyle {\displaystyle E\;{\begin{matrix}s\\[-6pt]\rightrightarrows \\[-4pt]t\end{matrix}}\;V}}$

Тогда колчан является функтором ${\displaystyle \Gamma :Q\to Set}$.

В более общем смысле колчан в категории ${\displaystyle C}$ — это функтор ${\displaystyle \Gamma :Q\to C}$. Категория ${\displaystyle Quiv(C)}$ колчанов в ${\displaystyle C}$ — это категория функторов, где:

• объекты являются функторами ${\displaystyle \Gamma :Q\to C}$,
• морфизмы — это естественные преобразования между функторами.

Обратите внимание, что ${\displaystyle Quiv}$ — это категория предпучков в противоположной категории ${\displaystyle Q^{op}}$.

Если ${\displaystyle \Gamma }$ — колчан, то путь в ${\displaystyle \Gamma }$ — это последовательность стрел ${\displaystyle a_{n}a_{n-1}\dots a_{3}a_{2}a_{1}}$такая, что начало ${\displaystyle a_{i+1}}$ является концом ${\displaystyle a_{i}}$ при ${\displaystyle i=1,\dots ,n-1}$, по соглашению о том, что сцеплении путей происходит справа налево.

Если ${\displaystyle K}$ — поле, то алгебра колчана или алгебра пути ${\displaystyle K\Gamma }$ определяется как векторное пространство, имеющее все пути (длиной ≥ 0) в колчане в качестве базиса (включая для каждой вершины ${\displaystyle i}$ колчана ${\displaystyle \Gamma }$ тривиальный путь ${\displaystyle e_{i}}$ длиной 0; эти пути не предполагаются равными для разных ${\displaystyle i}$), а умножение задается путем конкатенации путей. Если два пути не могут быть объединены, потому что конечная вершина первого не равна начальной вершине второго, их произведение определяется равным нулю. Это определяет ассоциативную алгебру над ${\displaystyle K}$. Эта алгебра имеет единичный элемент тогда и только тогда, когда колчан имеет только конечное число вершин. В этом случае модули над ${\displaystyle K\Gamma }$ естественно отождествляются с представлениями ${\displaystyle \Gamma }$. Если колчан имеет бесконечно много вершин, то ${\displaystyle K\Gamma }$ имеет приблизительную идентичность, заданную ${\displaystyle {\displaystyle e_{E}:=\sum _{v\ inE}1_{v}}}$, где ${\displaystyle E}$ пробегает конечные подмножества множества вершин графа ${\displaystyle \Gamma }$.

Если колчан имеет конечное число вершин и стрелок, а конечная вершина и начальная вершина любого пути всегда различны (то есть ${\displaystyle Q}$ не имеет ориентированных циклов), то ${\displaystyle K\Gamma }$ является конечномерной наследственной алгеброй над ${\displaystyle K}$. Наоборот, если ${\displaystyle K}$ алгебраически замкнутый, то любая конечномерная наследственная ассоциативная алгебра над ${\displaystyle K}$ является Морито эквивалентной алгебре путей ее ${\displaystyle Ext}$ колчана (то есть они имеют эквивалентные модульные категории).

Представление колчана ${\displaystyle Q}$ — это ассоциация ${\displaystyle R}$-модуля с каждой вершиной ${\displaystyle Q}$ и морфизм между каждым модулем для каждой стрелки.

Представление ${\displaystyle V}$ колчана ${\displaystyle Q}$ называется тривиальным, если ${\displaystyle V(x)=0}$ для всех вершин ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle Q}$.

Морфизм ${\displaystyle f:V\to V'}$ между представлениями колчана ${\displaystyle Q}$ представляет собой набор линейных отображений ${\displaystyle {\displaystyle f(x):V(x)\rightarrow V'(x)}}$ такой, что для каждой стрелки ${\displaystyle a}$ в ${\displaystyle Q}$ от ${\displaystyle x}$ до ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\displaystyle V'(a)f(x)=f(y)V(a)}}$, то есть квадраты, которые образуют ${\displaystyle f}$ формы со стрелками ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle V'}$, все коммутируют. Морфизм ${\displaystyle f}$ является изоморфизмом, если ${\displaystyle f(x)}$ обратим для всех вершин ${\displaystyle x}$ колчана. Этими определениями представление колчана формирует категорию.

Если ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$ являются представлениями колчана ${\displaystyle Q}$, то прямая сумма этих представлений, ${\displaystyle {\displaystyle V\oplus W}}$, определяется как ${\displaystyle {\displaystyle (V\oplus W)(x)=V(x)\oplus W(x)}}$ для всех вершин ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle {\displaystyle (V\oplus W)(a)}}$ — прямая сумма линейных отображений ${\displaystyle V(a)}$ и ${\displaystyle W(a)}$.

Представление называется разложимым, если оно изоморфно прямой сумме ненулевых представлений.

Также может быть дано категориальное определение представления колчана. Сам колчан можно считать категорией, где вершины — это объекты, а пути — морфизмы. Тогда представление ${\displaystyle Q}$ является просто ковариантным функтором из этой категории в категорию конечномерных векторных пространств. Морфизмы представлений ${\displaystyle Q}$ — это естественные преобразования между соответствующими функторами.

Для конечного колчана ${\displaystyle \Gamma }$ (колчан с конечным числом вершин и ребер) пусть ${\displaystyle K\Gamma }$ — это его алгебра путей. Обозначим через ${\displaystyle e_{i}}$ тривиальный путь в вершине ${\displaystyle i}$. Тогда мы можем связать с вершиной ${\displaystyle i}$ проективный ${\displaystyle K\Gamma }$-модуль ${\displaystyle K\Gamma e_{i}}$, состоящий из линейных комбинаций путей, имеющих начальную вершину ${\displaystyle i}$. Это соответствует представлению ${\displaystyle \Gamma }$, полученному путем помещения копии ${\displaystyle K}$ в каждую вершину, которая лежит на пути, начинающемся в ${\displaystyle i}$, и 0 в каждой другой вершине. Каждому ребру, соединяющему две копии ${\displaystyle K}$, мы сопоставляем карту тождеств.

Для обеспечения коммутативности некоторых квадратов внутри колчана, пользуются обобщением понятия колчанов с отношениями (также называемых связанными колчанами). Отношение в колчане ${\displaystyle Q}$ является ${\displaystyle {\displaystyle K}}$ линейной комбинацией путей из ${\displaystyle Q}$. Колчан с отношением — это пара {${\displaystyle {\displaystyle (Q,I)}}$ с ${\displaystyle Q}$ колчаном и ${\displaystyle {\displaystyle I\subseteq K\Gamma }}$, является идеалом алгебры путей. Частное ${\displaystyle {\displaystyle K\Gamma /I}}$ является алгеброй путей ${\displaystyle {\displaystyle (Q,I)}}$.

Колчан имеет конечный тип, если он имеет только конечное число классов изоморфизмов неразложимых представлений. Габриэль (1972) классифицировал все колчаны конечного типа, а также их неразложимые представления. Точнее, теорема Габриэля гласит:

1. (Связанный) колчан имеет конечный тип тогда и только тогда, когда его основной граф (направления стрелок в котором игнорируются) является одной из ADE диаграмм Дынкина: ${\displaystyle {\displaystyle A_{n}},{\displaystyle D_{n}},{\displaystyle E_{6}},{\displaystyle E_{7}},{\displaystyle E_{8}}}$.
2. Неразложимые представления находятся в взаимно однозначном соответствии с положительными корнями системы корней диаграммы Дынкина.

Dlab & Ringel (1973) нашли обобщение теоремы Габриэля, в которой встречаются все диаграммы Дынкина конечномерных полупростых алгебр Ли.

• ADE-классификация
• Адгезивная категория
• Алгебра графов
• Групповое кольцо
• Алгебра инцидентности
• Колчанная диаграмма
• Полуинвариант колчана
• Торическое многообразие
• Производная некоммутативная алгебраическая геометрия

• Derksen, Harm & Weyman, Jerzy (February 2005), Quiver Representations, Notices of the American Mathematical Society Т. 52 (2), <http://www.ams.org/notices/200502/fea-weyman.pdf>
• Dlab, Vlastimil & Ringel, Claus Michael (1973), On algebras of finite representation type, vol. 2, Carleton Mathematical Lecture Notes, Department of Mathematics, Carleton Univ., Ottawa, Ont., <https://books.google.com/books?id=_JrnAAAAMAAJ>
• Crawley-Boevey, William (1992), Notes on Quiver Representations, Oxford University, <http://www.amsta.leeds.ac.uk/~pmtwc/quivlecs.pdf>
• Gabriel, Peter (1972), Unzerlegbare Darstellungen. I, Manuscripta Mathematica Т. 6 (1): 71–103, ISSN 0025-2611, DOI 10.1007/BF01298413. Errata.
• King, Alastair (1994), Moduli of representations of finite-dimensional algebras, Quart. J. Math. Т. 45 (180): 515–530
• Savage, Alistair (2006), Finite-dimensional algebras and quivers, in Francoise, J.-P.; Naber, G. L. & Tsou, S.T., Encyclopedia of Mathematical Physics, vol. 2, Elsevier, с. 313–320
• Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej & Assem, Ibrahim (2007), Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88218-7
• Bernšteĭn, I. N.; Gelʹfand, I. M.; Ponomarev, V. A., «Coxeter functors, and Gabriel’s theorem» (Russian), Uspekhi Mat. Nauk 28 (1973), no. 2(170), 19-33. Translation on Bernstein’s website.
• Quiver in nLab