Мультиграф

Формально, мультиграфом G называется упорядоченная пара G:=(V, E), в которой

• V — множество вершин,
• E — мультимножество неупорядоченных пар вершин. Элементы этого множества называются рёбрами.

Мультиграфы можно использовать для представления возможных воздушных путей самолёта. В этом случае мультиграф становится ориентированным и пара ориентированных параллельных рёбер, связывающая города, показывает, что можно лететь в обоих направлениях — из города или в город.

Некоторые авторы позволяют мультиграфам иметь петли, то есть рёбра, соединяющие вершину с ней же[2], в то время как другие называют такие графы псевдографами, оставляя термин мультиграф для графов без петель[3].

Мультиорграф — это ориентированный граф, в котором разрешены кратные дуги, то есть дуги, имеющие те же начальные и конечные вершины.

Мультиорграфом G называется упорядоченная пара G:=(V,A), в которой

• V — множество вершин,
• A — мультимножество упорядоченных пар вершин. Элементы этого множества называются дугами.

Смешанный мультиграф G:=(V,E, A) можно определить тем же образом, что и смешанный граф.

Мультиорграфом (или колчаном) G называется упорядоченная четвёрка G:=(V, A, s, t), в которой

• V — множество вершин,
• A — множество дуг,
• ${\displaystyle s:A\rightarrow V}$ назначает каждой дуге начальную вершину,
• ${\displaystyle t:A\rightarrow V}$ назначает каждой дуге конечную вершину.

В теории категорий небольшие категории могут быть определены как мультиорграфы (с дугами, имеющими собственную идентификацию), оснащённые законом построения и петлями для каждой вершины, служащими левой и правой идентификацией для построения. По этим причинам в теории категорий под термином граф обычно понимается «мультиорграф», и лежащий в основе мультиорграф категории называется базовым орграфом.

Мультиграфы и мультиорграфы поддерживают понятие разметки тем же образом, однако в этом случае нет единства терминологии.

Определения помеченные мультиграфы и помеченные мультиорграфы похожи, так что здесь укажем определение только для мультиорграфа.

Определение 1: Помеченный мультиорграф — это помеченный граф с метками на дугах и вершинах.

Формально: Помеченный мультиорграф G — это кортеж из 8 элементов ${\displaystyle G=(\Sigma _{V},\Sigma _{A},V,A,s,t,\ell _{V},\ell _{A})}$, в котором

• V — множество вершин и A — множество дуг,
• ${\displaystyle \Sigma _{V}}$ и ${\displaystyle \Sigma _{A}}$ — конечный алфавит, доступный для разметки дуг и вершин,
• ${\displaystyle s\colon A\rightarrow \ V}$ и ${\displaystyle t\colon A\rightarrow \ V}$ — два отображения, определяющие начальную и конечную вершины дуги,
• ${\displaystyle \ell _{V}\colon V\rightarrow \Sigma _{V}}$ и ${\displaystyle \ell _{A}\colon A\rightarrow \Sigma _{A}}$ — два отображения, описывающие разметку вершин и дуг.

Определение 2: Помеченный мультиорграф — помеченный орграф с кратными помеченными дугами, то есть дугами с теми же концами и теми же метками (это отличается от понятия, данного в статье «Разметка графа»).

• Глоссарий теории графов
• Теория графов

• Béla Bollobás. Modern Graph Theory. — Springer, 2002. — ISBN 0-387-98488-7.
• V. K. Balakrishnan. Graph Theory. — McGraw-Hill, 1997. — ISBN 0-07-005489-4.
• Рейнгард Дистель. Теория графов. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002. — ISBN 5-86134-101-X.
• Jonathan L Gross, Jay Yellen. Graph Theory and Its Applications. — McGraw-Hill, 1998. — ISBN 0-8493-3982-0.
• Jonathan L Gross, Jay Yellen. Handbook of Graph Theory. — McGraw-Hill, 2003. — ISBN 1-58488-090-2.
• Ф.Харари. Теория графов. — Москва: Едиториал УРСС, 2003. — ISBN 5-354-00301-6.
• Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. — Chapman & Hall/CRC, 2002. — ISBN 1-58488-291-3.
• Svante Janson, Donald E. Knuth, Tomasz Luczak, Boris Pittel. The birth of the giant component // Random Structures and Algorithms. — 1993. — Т. 4, вып. 3. — С. 231—358. — doi:10.1002/rsa.3240040303.

• Paul E. Black, Multigraph at the NIST Dictionary of Algorithms and Data Structures.