Гиперкубические соты
Гиперкуби́ческие соты — семейство правильных сот (замощений) в пространстве размерности с символами Шлефли , имеющих симметрию группы Коксетера (или ) для .
![]() Правильная квадратная мозаика. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1 color |
![]() Кубические соты в их регулярной форме. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1 color |
![]() Шахматная квадратная мозаика ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2 цвета |
![]() Шахматные кубические соты. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2 цвета |
![]() Растянутая квадратная мозаика ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3 цвета |
![]() Растянутые кубические соты ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4 цвета |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4 цвета |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 8 цветов |
Соты строятся из четырёх -мерных гиперкубов на каждой -мерной грани. Вершинной фигурой является гипероктаэдр .
Гиперкубические соты являются самодвойственными.
Коксетер, Гарольд назвал это семейство (для -мерных сот).
Классы построения Витхоффа по размерности
Имеется два основных вида гиперкубических сот, правильная форма с идентичными фасетами гиперкубов и полуправильная с чередующимися фасетами, наподобие шахматной доски.
Третья форма образуется путём операции растяжения, применённой к правильной форме. В результате растяжения создаются фасеты на месте всех элементов меньшей размерности. Например, растянутые кубические соты имеют кубические ячейки с центрами исходных кубов, на исходных фасетах, на исходных рёбрах и на исходных вершинах, создавая тем самым ячейки 4-х цветов вокруг каждой вершины с соотношением 1:3:3:1.
Прямоугольные соты — это семейство топологически эквивалентных кубическим сот, но имеющих меньшую степень симметрии. В этих сотах каждое из трёх направлений может иметь отличную от других длину. Фасеты являются гиперпрямоугольниками (на плоскости это прямоугольники, а в трёхмерном пространстве — прямоугольные параллелепипеды).
δn | Название | Символы Шлефли | Диаграммы Коксетера — Дынкина | |||
---|---|---|---|---|---|---|
Прямоугольные {∞}n (2m цветов, m<n) |
Правильные (Растянутые) {4,3n-1,4} (1 цвет, n цветов) |
Шахматные {4,3n-4,31,1} (2 цвета) | ||||
δ2 | Апейрогон | {∞} | ![]() ![]() |
|||
δ3 | Квадратная мозаика | {∞}2 {4,4} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
δ4 | Кубические соты | {∞}3 {4,3,4} {4,31,1} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
δ5 | Кубические 4-мерные соты | {∞}4 {4,32,4} {4,3,31,1} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
δ6 | Кубические 5-мерные соты | {∞}5 {4,33,4} {4,32,31,1} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
δ7 | Кубические 6-мерные соты | {∞}6 {4,34,4} {4,33,31,1} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
δ8 | Кубические 7-мерные соты | {∞}7 {4,35,4} {4,34,31,1} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
δ9 | Кубические 8-мерные соты | {∞}8 {4,36,4} {4,35,31,1} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
δn | Кубические n-мерные соты | {∞}n {4,3n-3,4} {4,3n-4,31,1} |
... |
См. также
- Альтернированные гиперкубические соты
- Симплектические соты
- Усечённые симплектические соты
- Всеусечённые симплектические соты
Литература
- H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd. — Dover edition, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
- стр. 122–123, 1973. (Решётка гиперкубов γn образует кубические соты δn+1)
- стр. 154–156: Частично усечённые или альтернированные, представленные префиксом h: h{4,4}={4,4}; h{4,3,4}={31,1,4}, h{4,3,3,4}={3,3,4,3}
- стр. 296, Таблица II: Правильные соты, δn+1