Растяжение (геометрия)

Растяжение — операция над многогранником (в любой размерности, не только в трёхмерном пространстве), при которой фасеты отделяются и передвигаются радиально в направлении от центра, новые фасеты образуются на разделённых элементах (вершинах, рёбрах и т.д.). Эти же операции можно понимать как операции, сохраняющие фасеты на месте, но уменьшающие их в размерах.

Пример растяжения пятиугольника в десятиугольник путём движения рёбер от центра и вставки новых рёбер в получившиеся разрывы. Растяжение является однородным, если все рёбра имеют один и тот же размер.
Анимация растяжения куба (и октаэдра)

Под политопом понимается многомерный многогранник и далее в статье эти понятия употребляются как синонимы (слово «многомерный» может быть опущено, если оно предполагается по смыслу)[1].

Растяжение правильного многомерного многогранника образует однородный политоп, но операция может быть применена к любому выпуклому политопу, как продемонстрировано для многогранников в статье «Нотация Конвея для многогранников». В случае трёхмерных многогранников растянутый многогранник имеет все грани исходного многогранника, все грани двойственного многогранника и дополнительные квадратные грани на месте исходных рёбер.

Растяжение правильных политопов

Согласно Коксетеру, это термин для многомерных тел был определён Алишией Буль Стотт[2] для создания новых многомерных многогранников. Точнее, для создания однородных многомерных многогранников из правильных многомерных многогранников.

Операция растяжения симметрична для правильных политопов и им двойственных многогранников. Получающееся тело содержит фасеты как правильного многогранника, так и двойственного ему многогранника, а также дополнительные призматические фасеты, заполняющие пространство между элементами меньшей размерности.

Растяжение до некоторой степени имеет различное значение для разных размерностей. В построении Витхоффа растяжение генерируется отражением от первого и последнего зеркала. В более высоких размерностях растяжение может быть записано с помощью (нижнего) индекса, так что e2 — это то же самое, что и t0,2 в любой размерности.

Замечание: Названия операций над многогранниками в русскоязычной литературе не устоялись, так что ниже даны английские названия с переводом.

По размерностям:

  • Правильный {p} многоугольник растягивается в правильный 2p-угольник.
  • Правильный {p,q} многогранник (3-мерный политоп) растягивается в многогранник с вершинную фигуру p.4.q.4.
    • Для многогранников эта операция носит название «cantellation» (скашивание), e{p,q} = e2{p,q} = t0,2{p,q} = rr{p,q}, и операция имеет диаграмму Коксетера .
      Например, ромбокубооктаэдр может быть назван растянутым кубом, растянутым октаэдром, а также скошенным кубом или скошенным октаэдром.
  • Правильный {p,q,r} четырёхмерный многогранник (4-политоп) растягивается в новый 4-мерный политоп с теми же {p,q} ячейками, новые ячейки {r,q} образуются на месте старых вершин, p-угольные призмы образуются на месте старых (2-мерных) граней и r-угольные призмы на месте старых рёбер.
    • Для 4-мерных многогранников эта операция носит название «runcination» (обстругивание), e{p,q,r} = e3{p,q,r} = t0,3{p,q,r}, и операция имеет диаграмму Коксетера .
  • Подобным же образом правильный {p,q,r,s} пятимерный многогранник растягивается в новый 5-мерный политоп с фасетами {p,q,r}, {s,r,q}, призмами {p,q}×{ }, призмами {s,r}×{ } и дуопризмами {p}×{s}.
    • Операция называется «sterication» (обрубание), e{p,q,r,s} = e4{p,q,r,s} = t0,4{p,q,r,s} = 2r2r{p,q,r,s} и операция имеет диаграмму Коксетера .

Общая операция растяжения правильного n-мерного многогранника — t0,n-1{p,q,r,...}. Новые правильные фасеты добавляются на место каждой вершины и новые призматические политопы добавляются для каждого разделённого ребра, (двумерной) грани и т.д..

См. также

Примечания
  1. В русскоязычной литературе под правильными политопами (многогранниками размерности > 3) и многогранниками обычно понимают выпуклые тела, в англоязычной литературе звёздчатые правильные многогранники тоже считаются правильными политопами (многогранниками)
  2. Coxeter, 1973, с. 123,210.

Литература
  • H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. — third edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.. Первое издание: Methuen & Co. Ltd., London, 1948
  • Weisstein, Eric W. Expansion (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Norman Johnson. Uniform Polytopes. — 1991. — (рукопись).
    • N.W. Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — Ph.D. University of Toronto, 1966. — (Ph.D. Dissertation).
Операции над многогранниками
Основа Усечение Полное усечение Глубокое усечение Двойствен-
ность		 Растяжение Всеусечение Альтернация
t0{p, q}
{p, q}		 t01{p,q}
t{p, q}		 t1{p,q}
r{p, q}		 t12{p,q}
2t{p, q}		 t2{p, q}
2r{p, q}		 t02{p,q}
rr{p, q}		 t012{p,q}
tr{p, q}		 ht0{p,q}
h{q, p}		 ht12{p,q}
s{q, p}		 ht012{p,q}
sr{p, q}
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.