Ехиднаэдр

Как простая, видимая поверхность многогранника, внешняя форма ехиднаэдра состоит из 180 треугольных граней, которые образуют 270 рёбер, которые, в свою очередь, встречаются в 92 вершинах[5].

Все вершины ехиднаэдра лежат на поверхности трёх концентрических сфер. Внутренняя группа из 20 вершин образует вершины правильного додекаэдра; следующий слой из 12 вершин образует вершины правильного икосаэдра; и наружный слой из 60 вершин образует вершины усечённого икосаэдра[6].

Выпуклые оболочки каждой сферы вершин

Внутренняя	Средняя	Внешняя	Все три
20 вершин	12 вершин	60 вершин	92 вершины
Додекаэдр	Икосаэдр	Усечённый икосаэдр	Ехиднаэдр

Двадцать (9/4) многоугольных граней (одна из граней обозначена жёлтым с 9-ю пронумерованными вершинами)

Звёздчатая диаграмма икосаэдра с пронумерованными ячейками. Ехиднаэдр образован всеми ячейками в эннеаграмме, но только внешние области, обозначенные числом «13» на диаграмме, видны

Завершающая звёздчатая форма икосаэдра также может быть рассмотрена как самопересекающийся звёздчатый многогранник, имеющий 20 граней, соответствующих 20 граням икосаэдра. Каждая грань является неправильным звёздчатым многоугольником (или эннеаграммой)[7]. Каждые три грани образуют одну вершину, поэтому ехиднаэдр имеет 20 × 9 ÷ 3 = 60 вершин (этот внешний слой вершин и образует кончики «колючки») и 20 × 9 ÷ 2 = 90 рёбер (каждое ребро звёздчатого многогранника включает 2 из 180 видимых рёбер многогранника).

Эта звёздчатая форма многогранника образуется путём присоединения к икосаэдру всех отсеков, получаемых при продлении граней икосаэдра бесконечными плоскостями[8]. Таким образом, создается новый многогранник, ограниченный этими плоскостями как гранями, а пересечениями этих плоскостей являются рёбра. В книге «Пятьдесят девять икосаэдров» перечислены созвездия икосаэдра (включая ехиднаэдр) в соответствии с набором правил, выдвинутым Джеффри Миллером[1].

• Символ Дю Валя[9] ехиднаэдра — это H, поскольку он включает все ячейки в схеме созвездия, в том числе наиболее удалённый уровень - уровень «h»[10].
• В книге Магнуса Веннинджера Модели многогранников ехиднаэдр имеет индекс W₄₂[2].
• Если бы грани ехиднаэдра являлись правильными эннаграммами, его можно было бы рассматривать как правильный многогранник с символом Шлефли {9/4,3}. Это означает, что в каждой вершине сходятся 3 грани, где каждая грань представляет собой неправильный 9/4 звёздчатый многоугольник[7].

• Эйлерова характеристика ехиднаэдра равна 2[5]. Данная характеристика считается по формуле ${\displaystyle \chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}},}$ где Г, Р и В — числа граней, рёбер и вершин соответственно.
• Если рассматривать ехиднаэдр как звёздчатый многогранник, то завершающая форма икосаэдра является благородным многогранником, так как он является равногранным (гране-транзитивным) и изогональным (вершинно-транзитивным).

• Если рассматривать ехиднаэдр как геометрическое тело с длинами рёбер a, Φa, Φ²a и Φ²a√2 (где Φ — золотое сечение), то площадь поверхности ехиднаэдра составляет[6]

${\displaystyle S={\frac {1}{20}}(13211+{\sqrt {174306161}})a^{2}\,,}$

а объём[6]

${\displaystyle V=(210+90{\sqrt {5}})a^{3}\,.}$

• Радиусы сфер, на которых расположены вершины ехиднаэдра, находятся в соотношении[6]

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {3}{2}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)}}\,:\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)}}\,:\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(97+43{\sqrt {5}}\right)}}\,.}$

• Тензор инерции ехиднаэдра постоянной плотности может быть представлен как диагональная матрица 3×3, элементы главной диагонали которой равны ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{45}}\left(299+131{\sqrt {5}}\right)Ma^{2}}$ (где M — общая масса)[6].