Соединение многогранников

Правильные многогранные соединения можно определить как соединения, которые, как и в случае правильных многогранников, являются вершинно-транзитивными, рёберно транзитивными и гранетранзитивными. Существует пять правильных соединений многогранников.

Соединение	Рисунок	Сферическое представление	Выпуклая оболочка	Ядро	Симметрия	Подгруппа для одной составляющей	Двойственный
Два тетраэдра (звёздчатый октаэдр)			Куб	Октаэдр	*432 [4,3] Oh	*332 [3,3] Td	Самодвойственен
Пять тетраэдров			Додекаэдр	Икосаэдр	532 [5,3]+ I	332 [3,3]+ T	энантиоморфный хиральный двойник
Десять тетраэдров			Додекаэдр	Икосаэдр	*532 [5,3] Ih	332 [3,3] T	Самодвойственен
Пять кубов			Додекаэдр	Ромботриаконтаэдр	*532 [5,3] Ih	3*2 [3,3] Th	Пять октаэдров
Пять октаэдров			Икосододекаэдр	Икосаэдр	*532 [5,3] Ih	3*2 [3,3] Th	Пять кубов

Наиболее известно соединение двух тетраэдров. Кеплер назвал это соединение по-латински stella octangula (звёздчатый октаэдр). Вершины двух тетраэдров задают куб, а их пересечение является октаэдром, грани которого лежат на тех же плоскостях, что и грани составляющих тетраэдров. Таким образом, соединение является приведением к звезде октаэдра и, фактически, его единственным возможным приведением.

Звёздчатый октаэдр можно также рассматривать как двойственно-правильное соединение.

Соединение пяти тетраэдров имеет две зеркальные версии, которые вместе дают соединение десяти тетраэдров. Все соединения тетраэдров самодвойственны, а соединение пяти кубов двойственно соединению пяти октаэдров.

Двойственное соединение — это соединение многогранника и двойственного ему, расположенных взаимно противоположно относительно общей вписанной или полувписанной сферы, так что ребро одного многогранника пересекает двойственное ребро двойственного многогранника. Существует пять таких соединений правильных многогранников.

Компоненты	Рисунок	Выпуклая оболочка	Ядро	Симметрия
Два тетраэдра (звёздчатый октаэдр)		Куб	Октаэдр	*432 [4,3] Oh
куб и октаэдр		Ромбододекаэдр	Кубооктаэдр	*432 [4,3] Oh
додекаэдр и икосаэдр		Ромботриаконтаэдр	Икосододекаэдр	*532 [5,3] Ih
большой икосаэдр и большой звёздчатый додекаэдр		Додекаэдр	Икосододекаэдр	*532 [5,3] Ih
малый звёздчатый додекаэдр и большой додекаэдр		Икосаэдр	Додекаэдр	*532 [5,3] Ih

Тетраэдр самодвойственен, так что двойственное соединение тетраэдра с двойственным ему является также звёздчатым октаэдром.

Двойственные соединения куб-октаэдр и додекаэдр-икосаэдр являются приведением к звезде кубооктаэдра и икосододекаэдра соответственно.

Соединение малого звёздчатого додекаэдра и большого додекаэдра выглядит внешне как тот же самый малый звёздчатый додекаэдр, поскольку большой додекаэдр содержится полностью внутри него. По этой причине изображение малого звёздчатого додекаэдра, приведённое выше, показано в виде рёберного каркаса.

В 1976 Джон Скиллинг (John Skilling) опубликовал статью Однородные соединения однородных многогранников [1], в которой перечислил 75 соединений (включая 6 бесконечных множеств призматических соединений, №20-25), полученных из однородных многогранников с помощью вращений. (Каждая вершина является вершинно транзитивной.) Список включает пять соединений правильных многогранников из списка выше.

Эти 75 однородных соединений приведены в таблице ниже. В большинстве соединений разные цвета соответствуют разным составляющим. Некоторые хиральные пары раскрашены согласно зеркальной симметрии.

• 1—19: Смесь (4,5,6,9,17 являются пятью правильными соединениями)

• 20—25: Симметрия призм, вложенная в диэдральную симметрию в трёхмерном пространстве,

• 26—45: Симметрия призм, вложенная в октаэдральную или икосаэдральную симметрию,

• 46—67: Тетраэдральная симметрия, вложенная в октаэдральную или икосаэдральную симметрию,

• 68—75: энантиоморфные пары

Соединение четырёх кубов (слева) не является ни правильным, ни двойственным, ни однородным соединением. Двойственное ему соединение четырёх октаэдров (справа) — однородное.

• Соединение трёх октаэдров
• Соединение четырёх кубов

Два многогранника, являющиеся соединениями, но их элементы строго заключены в малый сложный икосододекаэдр (соединение икосаэдра и большого додекаэдра) и большой сложный икосододекаэдр (соединение малого звёздного додекаэдра и большого икосаэдра). Если принять обобщённое определение однородного многогранника, они будут однородными.

Секция энтианоморфных пар в списке Скиллинга не содержит соединения двух больших плосконосых додекоикосододекаэдров, поскольку грани-пентаграммы совпадают. Удаление совпадающих граней приведёт к соединению двадцати октаэдров.

Ортогональные проекции

75 {4,3,3}	75 {3,3,4}

В четырёхмерном пространстве существует большое число правильных соединений правильных многогранников. Коксетер перечислил некоторые из них в своей книге Правильные многогранники [2].

Самодвойственные:

Двойственные пары:

Однородные соединения с выпуклыми четырёхмерными многогранниками:

Двойственные позиции:

В терминах теории групп, если G является группой симметрии соединения многогранников и группа действует транзитивно на многогранник (так что любой многогранник может быть в любой другой, как в однородных соединениях), тогда, если H является стабилизатором одного выбранного многогранника, многогранники могут быть определены по орбите G/H.

Существует восемнадцать двупараметрических семейств правильных соединений мозаик на евклидовой плоскости. В гиперболическом пространстве известны пять однопараметрических семейств и семнадцать изолированных мозаик, но список не является завершённым.

Евклидовы и гиперболические семейства 2 {p,p} (4 ≤ p ≤ ∞, p целое) аналогичны сферическим звёздчатым октаэдрам, 2 {3,3}.

Некоторые примеры евклидовых и гиперболических правильных соединений

Самодвойственные	Двойственные		Самодвойственные
2 {4,4}	2 {6,3}	2 {3,6}	2 {∞,∞}
	3 {6,3}	3 {3,6}	3 {∞,∞}

Известным семейством правильных еквлидовых соединений сот в пространствах размерности пять и выше является бесконечное семейство гиперболических сот, имеющих общие вершины и грани. Такое соединение может иметь произвольное число ячеек в соединении.

Существуют также двойственно-правильные соединения мозаик. Простым примером служит E²-соединение шестиугольной мозаики и её двойственной треугольной. Евклидово соединение двух гиперболических сот правильно и двойственно правильно.

• MathWorld: Polyhedron Compound
• Compound polyhedra – from Virtual Reality Polyhedra
  • Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
• Skilling's 75 Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
• Skilling's Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
• Polyhedral Compounds
• http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
• Compound of Small Stellated Dodecahedron and Great Dodecahedron {5/2,5}+{5,5/2}