Правильный косой многогранник
Правильный косой многогранник — это обобщение множества правильных многогранников, которое включает возможность непланарных граней или вершинных фигур. Коксетер рассматривал косые вершинные фигуры, которые создавали новые четырёхмерные правильные многогранники, а много позднее Бранко Грюнбаум рассматривал правильные косые грани.[1]
Описание правильных косых многогранников
Правильные косые многогранники не являются многогранниками в привычном смысле. Как Коксетер пишет в статье THE REGULAR SPONGES, OR SKEW POLYHEDRA (Правильные губки или косые многогранники), «Заполнение гранями отличается от конечных многогранников тем, что для них понятия внутри и снаружи совершено одно и то же. Такие заполнения помогают думать о многограннике как о поверхности, а не как о теле. Чтобы получить новые многогранники, нужно изловчиться, чтобы у вершины можно было разместить больше многоугольников, чем это разрешается кристаллографическими ограничениями (сумма углов при вершине меньше )». Чтобы достичь такого эффекта, Петри разрешил рёбрам идти в другую сторону от плоскости, что приводит к губкам, то есть поверхностям с незакрытыми дырами (дыра одного многогранника закрывается дырой другого, так что все они образуют бесконечную губку)[2].
История
Согласно Коксетеру в 1926 Джон Флиндерс Петри обобщил концепцию пространственных многоугольников (непланарных многоугольников) [3] в правильные косые многогранники.
Коксетер предложил модифицированный символ Шлефли {l,m|n} для этих фигур, где {l,m} означает вершинную фигуру, m l-угольников вокруг вершины, а n — n-угольные дыры. Их вершинные фигуры являются пространственными многоугольниками, пробегающими зигзагом между двумя плоскостями.
Правильные косые многогранники, представленные символом {l,m|n}, удовлетворяют равенству:
- 2*cos(π/l)*cos(π/m)=cos(π/n)
Первое множество {l, m | n} представляет пять выпуклых платоновых тел и одно невыпуклое тело Кеплера — Пуансо:
| {l, m | n} | Граней | Рёбер | Вершин | p | Многогранник | Порядок симметрии |
|---|---|---|---|---|---|---|
| {3,3| 3} = {3,3} | 4 | 6 | 4 | 0 | Тетраэдр | 12 |
| {3,4| 4} = {3,4} | 8 | 12 | 6 | 0 | Октаэдр | 24 |
| {4,3| 4} = {4,3} | 6 | 12 | 8 | 0 | Куб | 24 |
| {3,5| 5} = {3,5} | 20 | 30 | 12 | 0 | Икосаэдр | 60 |
| {5,3| 5} = {5,3} | 12 | 30 | 20 | 0 | Додекаэдр | 60 |
| {5,5| 3} = {5,5/2} | 12 | 30 | 12 | 4 | Большой додекаэдр | 60 |
Конечные правильные косые многогранники в 4–мерном пространстве
| A4 проекции плоскости Коксетера | |
|---|---|
 |
 |
| {4, 6 | 3} | {6, 4 | 3} |
| Рансинированный 5-ячейник (60 рёбер, 20 вершин) |
Глубокоусечённый 5-ячейник (60 рёбер, 30 вершин) |
| F4 проекции плоскости Коксетера | |
 |
 |
| {4, 8 | 3} | {8, 4 | 3} |
| Рансинированный 24-ячейник (576 рёбер, 144 вершин) |
Глубокоусечённый 24-ячейник (576 рёбер, 288 вершин) |
| Некоторые из 4-мерных правильных косых многогранников укладываются в однородные многогранники, как показано на проекциях. | |
Коксетер также перечислил большое число конечных правильных многогранников в своей статье "regular skew polyhedra in three and four dimensions, and their topological analogues" (правильные косые многогранники в трёхмерном и четырёхмерном пространствах и их топологические аналоги).
Подобно как бесконечные косые многогранники представляют поверхность многообразия между ячейками выпуклых однородных сот, конечные виды представляют поверхности многообразия в ячейках однородного 4-мерного многогранника.
Многогранники вида {2p, 2q | r} связаны с группой Коксетера симметрии [(p,r,q,r)], которая сводится к линейной [r,p,r] при q, равном 2. Коксетер даёт этой симметрии обозначение [[(p,r,q,r)]+], которая, по его словам, изоморфна его абстрактной группе (2p,2q|2,r). Связанные соты имеют расширенную симметрию [[(p,r,q,r) ]] [4].
{2p,4|r} представляется {2p} гранями глубокоусечённого {r,p,r} однородного 4-мерного многогранника, а {4,2p|r} представляется квадратными гранями струганного {r,p,r} (рансифицировнного).
{4,4|n} образует n-n дуопризму, и, в частности, {4,4|4} укладывается в {4}x{4} тессеракт.
 |
 |
 |
| n} представляют квадратные грани дуопризм, с n-угольными гранями в качестве дыр и представляет тор Клиффорда и аппроксимацию двойного цилиндра | 6} имеет 36 квадратных граней и в перспективной проекции выглядит как квадраты, выбранные в 6,6 двойном цилиндре. | Кольцо из 60 треугольников образует правильный косой многогранник в подмножестве граней 600-ячейника. |
| {l, m | n} | Граней | Рёбер | Вершин | p | Структура | Симметрия | Порядок | Связанный однородный 4-мерный многогранник |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {4,4| 3} | 9 | 18 | 9 | 1 | D3xD3 | [[3,2,3]+] | 9 | 3-3 дуопризма |
| {4,4| 4} | 16 | 32 | 16 | 1 | D4xD4 | [[4,2,4]+] | 16 | 4-4 дуопризма или тессеракт |
| {4,4| 5} | 25 | 50 | 25 | 1 | D5xD5 | [[5,2,5]+] | 25 | 5-5 дуопризма |
| {4,4| 6} | 36 | 72 | 36 | 1 | D6xD6 | [[6,2,6]+] | 36 | 6-6 дуопризма |
| {4,4| n} | n2 | 2n2 | n2 | 1 | DnxDn | [[n,2,n]+] | n2 | n-n дуопризма |
| {4,6| 3} | 30 | 60 | 20 | 6 | S5 | [[3,3,3]+] | 60 | струганый 5-ячейник |
| {6,4| 3} | 20 | 60 | 30 | 6 | S5 | [[3,3,3]+] | 60 | глубокоусечённый 5-ячейник |
| {4,8| 3} | 288 | 576 | 144 | 73 | [[3,4,3]+] | 576 | струганый 24-ячейник | |
| {8,4| 3} | 144 | 576 | 288 | 73 | [[3,4,3]+] | 576 | глубокоусечённый 24-ячейник |
| {l, m | n} | Граней | Рёбер | Вершин | p | Структура | Симметрия | Порядок | Связанный однородный 4-мерный многогранник |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {4,5| 5} | 90 | 180 | 72 | 10 | A6 | [[5/2,5,5/2]+] | 360 | Струганый великий звёздчатый 120-ячейник |
| {5,4| 5} | 72 | 180 | 90 | 10 | A6 | [[5/2,5,5/2]+] | 360 | Глубокоусечённый великий звёздчатый 120-ячейник |
| {l, m | n} | Граней | Рёбер | Вершин | p | Структура | Порядок |
|---|---|---|---|---|---|---|
| {4,5| 4} | 40 | 80 | 32 | 5 | ? | 160 |
| {5,4| 4} | 32 | 80 | 40 | 5 | ? | 160 |
| {4,7| 3} | 42 | 84 | 24 | 10 | LF(2,7) | 168 |
| {7,4| 3} | 24 | 84 | 42 | 10 | LF(2,7) | 168 |
| {5,5| 4} | 72 | 180 | 72 | 19 | A6 | 360 |
| {6,7| 3} | 182 | 546 | 156 | 105 | LF(2,13) | 1092 |
| {7,6| 3} | 156 | 546 | 182 | 105 | LF(2,13) | 1092 |
| {7,7| 3} | 156 | 546 | 156 | 118 | LF(2,13) | 1092 |
| {4,9| 3} | 612 | 1224 | 272 | 171 | LF(2,17) | 2448 |
| {9,4| 3} | 272 | 1224 | 612 | 171 | LF(2,17) | 2448 |
| {7,8| 3} | 1536 | 5376 | 1344 | 1249 | ? | 10752 |
| {8,7| 3} | 1344 | 5376 | 1536 | 1249 | ? | 10752 |
Последнее множество основано на дальнейших расширенных форм Коксетера {q1,m|q2,q3...} или с q2 неспецифицированным: {l, m |, q}.
| {l, m |, q} | Граней | Рёбер | Вершин | p | Структура | Порядок |
|---|---|---|---|---|---|---|
| {3,6|,q} | 2q2 | 3q2 | q2 | 1 | ? | 2q2 |
| {3,2q|,3} | 2q2 | 3q2 | 3q | (q-1)*(q-2)/2 | ? | 2q2 |
| {3,7|,4} | 56 | 84 | 24 | 3 | LF(2,7) | 168 |
| {3,8|,4} | 112 | 168 | 42 | 8 | PGL(2,7) | 336 |
| {4,6|,3} | 84 | 168 | 56 | 15 | PGL(2,7) | 336 |
| {3,7|,6} | 364 | 546 | 156 | 14 | LF(2,13) | 1092 |
| {3,7|,7} | 364 | 546 | 156 | 14 | LF(2,13) | 1092 |
| {3,8|,5} | 720 | 1080 | 270 | 46 | ? | 2160 |
| {3,10|,4} | 720 | 1080 | 216 | 73 | ? | 2160 |
| {4,6|,2} | 12 | 24 | 8 | 3 | S4×S2 | 48 |
| {5,6|,2} | 24 | 60 | 20 | 9 | A5×S2 | 120 |
| {3,11|,4} | 2024 | 3036 | 552 | 231 | LF(2,23) | 6072 |
| {3,7|,8} | 3584 | 5376 | 1536 | 129 | ? | 10752 |
| {3,9|,5} | 12180 | 18270 | 4060 | 1016 | LF(2,29)×A3 | 36540 |
См. также
- Пространственный многоугольник
- Косой бесконечногранник
Примечания
- McMullen, Schulte, 2002, p. 7, 17.
- Coxeter, 1995, с. 20-22.
- В английской литературе — skew polygon, буквально — косой многоугольник. В русской литературе прижился термин пространственный многоугольник, а термин косой многоугольник соответствует термину skew polyhedron (косой многогранник). В данной статье используются оба термина косой многоугольник и косой многогранник как синонимы.
- Coxeter, 1985.
Литература
- Peter McMullen. Four-Dimensional Regular Polyhedra // Discrete & Computational Geometry September. — 2007. — Т. 38, вып. 2. — С. 355-387.
- H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd. — Dover Publications, Inc., 1973.. См., в частности, таблицы I и II: Regular polytopes and honeycombs, стр. 294–296.
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
- (Paper 2) H.S.M. Coxeter, "The Regular Sponges, or Skew Polyhedra", Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- H.S.M. Coxeter. Regular and Semi-Regular Polytopes II // Math. Zeit. — 1985. — Вып. 188. — С. 559–591.
- H.S.M. Coxeter. Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 978-0486-40919-8.
- H. S. M. Coxeter. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. // Proc. London Math. Soc.. — 1937. — Т. 43. — С. 33-62.
- C. W. L. Garner. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space // Canad. J. Math.. — 1967. — Т. 19. — С. 1179-1186.
- E. Schulte, J.M. Wills. On Coxeter's regular skew polyhedral // Discrete Mathematics. — 1986. — Т. 60, June–July. — С. 253–262.
- Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — Cambridge University Press, 2002. — Т. 92. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). — ISBN 0-521-81496-0. — doi:10.1017/CBO9780511546686.