Пространственный многоугольник

Пространственный многоугольник[1] — многоугольник, вершины которого не компланарны. Пространственные многоугольники должны иметь по меньшей мере 4 вершины. Внутренняя поверхность таких многоугольников однозначно не определяется.

(Красные) рёбра дисфеноида представляют правильный зигзаг-многоугольник.

Пространственные бесконечноугольники (апейрогоны) имеют вершины, не все из которых коллинеарны.

Зигзаг-многоугольник, или антипризматический многоугольник[2], имеет вершины, которые попеременно находятся на двух параллельных плоскостях, а потому, должны иметь чётное число сторон.

Правильный пространственный многоугольник в 3-мерном пространстве (и правильные пространственные бесконечноугольники в 2-двумерном) всегда являются зигзаг-многоугольниками.

Антипризматические пространственные многоугольники в 3-мерном пространстве

Однородная n-угольная антипризма имеет 2n-сторонний правильный пространственный многоугольник, задаваемый рёбрами антипризмы.

Правильный пространственный многоугольник является изогональной фигурой с одинаковыми длинами сторон. В 3-мерном пространстве правильные пространственные многоугольники являются зигзаг-многоугольниками (антирпизматическими многоугольниками), вершины которых поочерёдно принадлежат двум параллельным плоскостям. Стороны n-антипризмы могут определять правильный пространственный 2n-угольник.

Правильному пространственному n-угольнику можно дать обозначение {p}#{ } как смесь обозначений правильного многоугольника {p} и ортогонального отрезка { }[3]. Симметрия между последовательными вершинами является скользящей.

Ниже в примерах показаны однородные квадратные и пятиугольные антипризмы. Звёздные антипризмы также образуют правильные пространственные многоугольники с различным способом соединения вершин верхней и нижней звёзд.

Правильные зигзаг-многоугольники
Пространственный квадрат	Пространственный шестиугольник	Пространственный восьмиугольник
{2}#{ }	{3}#{ }	{4}#{ }

sr{2,2}	sr{2,3}	sr{2,4}

Пространственный десятиугольник
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

sr{2,5}	sr{2,5/2}	sr{2,5/3}

Правильный сложный пространственный 2n-угольник можно построить путём добавления второго пространственного 2n-угольника, полученного вращением первого. В этом случае вершины каждого из составляющих 2n-угольников лежат в вершинах призматической комбинации антипризм.

Правильная комбинация пространственных зигзаг-многоугольников
Пространственные квадраты		Пространственные шестиугольники	Пространственные десятиугольники
Два {2}#{ }	Три {3}#{ }	Два {3}#{ }	Два {5/3}#{ }

Многоугольники Петри — это правильные пространственные многоугольники, задаваемые внутри правильных многогранников и политопов. Например, 5 платоновых тел содержат 4, 6 и 10-сторонние правильные пространственные многоугольники, как видно из этих ортогональных проекций (красными отрезками показана проективная оболочка). Тетраэдр и октаэдр включают все вершины в зигзаг-многоугольника и могут рассматриваться как антпризмы отрезков и треугольников соответственно.

Косой многоугольник имеет правильные грани или вершинные фигуры в виде правильных пространственных многоугольников. Имеется бесконечно много заполняющих всё пространство правильных косых многоугольников в 3-мерном пространстве и существуют косые многоугольники в 4-мерном пространстве, некоторые в виде однородного 4-мерного многогранника.

вершинные фигуры трёх бесконечных правильных косых многоугольников
{4,6\|4}	{6,4\|4}	{6,6\|3}
Правильный косой шестиугольник {3}#{ }	Правильный косой квадрат {2}#{ }	Правильный косой шестиугольник {3}#{ }

Равноугольные пространственные многоугольники в 3-мерном пространстве

Изогональный пространственный многоугольник — это пространственный многоугольник с вершинами одного типа, соединёнными двумя типами сторон. Изогональные пространственные многоугольники с равными длинами сторон можно считать полуправильными. Они подобны зигзаг-многоугольникам на двух плоскостях, за исключением того, что сторонам позволяется как переходить на другую плоскость, так и оставаться на той же плоскости.

Изогональные пространственные многоугольники можно получить на n-угольных призмах с чётным числом сторон, попеременно двигаясь по сторонам многоугольника и между многоугольниками. Например, по вершинам куба — проходим вершины вертикально по красным рёбрам и по синим рёбрам вдоль сторон квадратов оснований.

Куб, квадрат-диагональ	Витая призма	Куб	Пересечённый куб
Шестигранная призма	Шестигранная призма	Шестигранная призма

Правильные пространственные многоугольники в 4-мерном пространстве

В 4-мерном пространстве правильные пространственные многоугольники могут иметь вершины на торе Клиффорда и связаны смещением Клиффорда. В отличие от зигзаг-многоугольников, пространственные многоугольники двойного вращения могут иметь нечётное число сторон.

Многоугольники Петри правильного 4-мерного многогранника определяют правильные пространственные многоугольники. Число Кокстера для каждой группы симметрий Коксетера выражает, сколько сторон имеет многоугольник Петри. Так, это будет 5-сторонний многоугольник для пятиячейника, 8-сторонний для тессеракта и шестнадцатиячейника, 12 сторон для двадцатичетырёхячейника и 30 сторон для стодвадцатиячейника и шестисотячейника.

Если ортогонально спроектировать эти правильные пространственные многоугольники на плоскость Коксетера, они превращаются в правильные огибающие многоугольники на плоскости.

A₄, [3,3,3]	B₄, [4,3,3]		F₄, [3,4,3]	H₄, [5,3,3]
Пятиугольник, Пентаграмма	Восьмиугольник		Двенадцатиугольник	Тридцатиугольник
пятиячейник {3,3,3}	тессеракт {4,3,3}	шестнадцатиячейник {3,3,4}	двадцатичетырёхячейник {3,4,3}	стодвадцатиячейник {5,3,3}	шестисотячейник {3,3,5}

n-n дуопризма и двойственная дуопирамида также имеют 2n-сторонние полигоны Петри. (тессеракт является 4-4 дуопризмой, а шестнадцатиячейник — 4-4 дуопирамидой.)

Шестиугольник		Десятиугольник		Двенадцатиугольник
3-3 дуопризма	3-3 дуопирамида	5,5-дуопризма	5-5 дуопирамида	6-6 дуопризма	6-6 дуопирамида

См. также

Косой многоугольник
Косой бесконечноугольник
Многоугольник Петри
Скрещивающиеся прямые

Примечания

В английской литературе — skew polygon, буквально — косой многоугольник. В русской литературе прижился термин пространственный многоугольник, а термин косой многоугольник соответствует термину skew polyhedron (косой многогранник).
Regular complex polytopes , p. 6
Abstract Regular Polytopes, p.217

Литература

Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes // 1st. — Cambridge University Press, December 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
Robert Williams. Skew Polygons (Saddle Polygons). §2.2 // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X.
H. S. M.Coxeter. Chapter 1. Regular polygons, 1.5. Regular polygons in n dimensions, 1.7. Zigzag and antiprismatic polygons, 1.8. Helical polygons. 4.3. Flags and Orthoschemes, 11.3. Petrie polygons // Regular complex polytopes. — 1974.
H. S. M.Coxeter. Разделы 2.6 Petrie Polygons с.24—25, Chapter 12, с.213—235, The generalized Petrie polygon // Regular Polytopes. — 3rd ed. — New York: Dover, 1973.
H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. 5.2 The Petrie polygon {p,q}. // Generators and Relations for Discrete Groups. — New York: Springer-Verlag, 1980 (1st ed, 1957). — ISBN 0-387-09212-9.
John Milnor. On the total curvature of knots // Ann. Math. — 1950. — Т. 52. — С. 248—257.
J.M. Sullivan Curves of finite total curvature. — Technische Universität Berlin, 2006. — Июль. — arXiv:math.0606007v2.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Skew polygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Petrie polygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] В английской литературе — skew polygon, буквально — косой многоугольник. В русской литературе прижился термин пространственный многоугольник, а термин косой многоугольник соответствует термину skew polyhedron (косой многогранник).

[rcp-2] Regular complex polytopes , p. 6

[3] Abstract Regular Polytopes, p.217