Многоугольник Петри

Многоугольник Петри для куба — пространственный шестиугольник, проходящий через 6 из 8 вершин. Пространственный многоугольник Петри можно рассматривать как правильный плоский многоугольник после ортогональной проекции.

Джон Флиндерс Петри (1907—1972) был единственным сыном египтолога Флиндерса Петри[3]. Он родился в 1907 и уже школьником показал замечательные математические способности. При полной концентрации он мог ответить на сложные вопросы о четырёхмерных объектах путём их визуализации.

Он первым обратил внимание на важность правильных пространственных многоугольников, которые возникают на поверхностях правильных многогранников. Коксетер в 1937 объяснил, как он и Петри начали расширять классическое понятие правильных многоугольников:

Однажды, в 1926, Дж. Ф. Петри сказал мне в большом возбуждении, что он обнаружил два новых правильных многогранника, бесконечных, но без ложных вершин. Когда мой скептицизм начал убывать, он мне их описал — один состоит из квадратов, по шесть в каждой вершине, а другой состоит из шестиугольников, по четыре на вершину [4].

В 1938 Петри, Коксетер, Патрик Дюваль и Х. Т. Флазер выпустили книгу The Fifty-Nine Icosahedra (Пятьдесят девять икосаэдров) [5]. Понимая важность пространственных многогранников, использованных Петри, Коксетер назвал их именем своего друга, когда писал книгу Regular Polytopes (Правильные многогранники).

В 1972, через несколько месяцев после выхода на пенсию, Петри погиб, когда пытался перебежать шоссе рядом со своим домом в графстве Суррей [6].

Идея многоугольников Петри была позднее распространена на полуправильные многогранники.

Многоугольник Петри правильного многогранника, имеющего символ Шлефли ${\displaystyle \{p,q\}}$, имеет ${\displaystyle h}$ сторон, где

${\displaystyle cos^{2}(\pi /h)=cos^{2}(\pi /p)+cos^{2}(\pi /q)}$.

Многоугольники Петри двойственных правильных многогранников ${\displaystyle \{p,q\}}$ и ${\displaystyle \{q,p\}}$ имеют подобные проекции.

Многоугольники Петри для правильных многогранников (красные многоугольники)

тетраэдр	куб	октаэдр	додекаэдр	икосаэдр
центрирован пр рёбрам	центрирован по вершинам	центрирован по граням	центрирован по граням	центрирован по вершинам
4 стороны	6 сторон	6 сторон	10 сторон	10 сторон
${\displaystyle V:(4,0)}$	${\displaystyle V:(6,2)}$	${\displaystyle V:(6,0)}$	${\displaystyle V:(10,10,0)}$	${\displaystyle V:(10,2)}$
Многоугольники Петри являются внешними границами этих ортогональных проекций. Синим выделены «передние» рёбра, а серым цветом показаны задние рёбра. Концентрические кольца вершин вершин отсчитываются снаружи внутрь с обозначением: ${\displaystyle V:(a,b,\dots )}$, кончая нулём, если нет центральных вершин.

Бесконечные правильные пространственные многоугольники (апейрогоны) можно также определить как многоугольники Петри для правильных мозаик, имеющих углы 90, 120 и 60 градусов (для квадратных, шестиугольных и треугольных граней соответственно).

Бесконечные правильные пространственные многоугольники существуют также в качестве многоугольников Петри для правильных гиерболических мозаик, подобных треугольной мозаике порядка 7 {3,7}:

Можно определить также многоугольники Петри правильных многогранников в четырёхмерном пространстве {p, q ,r}.

{3,3,3} пятиячейник 5 сторон V:(5,0)	{3,3,4} шестнадцатиячейник 8 сторон V:(8,0)	{4,3,3} тессеракт 8 сторон V:(8,8,0)
{3,4,3} Двадцатичетырёхъячейник 12 сторон V:(12,6,6,0)	{5,3,3} Стодвадцатиячейник 30 сторон V:((30,60)3,603,30,60,0)	{3,3,5} Шестисотячейник 30 сторон V:(30,30,30,30,0)

Проекции многоугольников Петри наиболее полезны для визуализации многогранников размерности 4 и выше. Таблица представляет многоугольники Петри трёх семейств правильных многогранников (симплексы, гиперкубы, ортоплексы) и исключительных простых групп Ли E_n, которые образуют полуправильные и однородные многогранники для размерностей от 4 до 8.

Таблица неприводимых семейств многогранников

Семейство n	n-симплекс	n-гиперкуб	n-ортоплекс	n-полукуб	1k2	2k1	k21	пятиугольный многогранник
Группа	An	BCn		I2(p) Dn	E6 E7 E8 F4 G2			Hn
2	Треугольник	Квадрат		p-угольник (пример: p=7)	Шестиугольник			Пятиугольник
3	Тетраэдр	Куб	Октаэдр	Тетраэдр				Додекаэдр	Икосаэдр
4	Пятиячейник	Тессеракт	Шестнадцати- ячейник	Полутессеракт	Двадцати- четырёхъячейник			Стодвадцатиячейник	Шестисотячейник
5	Гексатерон	Пентеракт	5-ортоплекс	5-полугиперкуб
6	6-симплекс	6-куб	6-ортоплекс	6-полукуб	122	221
7	7-симплекс	7-куб	7-ортоплекс	7-полукуб	132	231	321
8	8-симплекс	8-куб	8-ортоплекс	8-полукуб	142	241	421
9	8-симплекс	9-куб	9-ортоплекс	9-полукуб
10	10-симплекс	10-куб	10-ортоплекс	10-полукуб

Для обсуждения двойственных многоугольников Петри введём понятие схема [7] Неформально, схема P — это семейство многоугольников (которые могут быть бесконечноугольными), такое, что

• Любые два многоугольника имеют общее ребро или вершину, либо не пересекаются вовсе.
• Каждое ребро принадлежит ровно двум многоугольникам.
• Многоугольники, содержащие выбранную вершину, образуют один цикл смежных многоугольников (имеющих общие рёбра).
• Любые два многоугольника связаны цепочкой смежных многоугольников.

Схема P будет иметь группу автоморфизмов Γ (P) и P называется регулярной, если Γ (P) транзитивна на множестве F (P) флагов P. Если регулярная схема P имеет p-угольные грани и q-угольные вершинные фигуры, то говорят, что она имеет (Шлефли) тип {p, q}. Любой правильный многогранник или бесконечногранник порождает регулярную схему естественным образом.

Петри двойственный (Петриал[8]) правильного многогранника — это регулярная схема, вершины и рёбра которой соответствуют вершинам и рёбрам исходного многогранника, а гранями являются множество многоугольников Петри. Эта схема обозначается как оператор π (в виде верхнего индекса) над правильным многогранником. Каждое ребро принадлежит двум граням (многоугольникам Петри) [9][10][11][12].

Петриал тетраэдра, {3,3}^π, имеет 4 вершины, 6 рёбер и 3 квадратные грани (в виде пространственных квадратов, то есть вершины квадрата не лежат в одной плоскости). Имея эйлерову характеристику χ = 1, петриал топологически идентичен полукубу {4,3}/2.

Петриал куба, {4,3}^π, имеет 8 вершин, 12 рёбер и 4 пространственных шестиугольника, показанных красным, зелёным, синим и оранжевым на рисунке. Он имеет эйлерову характеристику 0, и его можно рассматривать как четыре шестиугольные грани тороидальной шестиугольной мозаики {6,3}_(2,0).

Петриал октаэдра, {3,4}^π, имеет 6 вершин, 12 рёбер и 4 пространственных шестиугольных грани. Петриал имеет эйлерову характеристику −2, и имеет отображение в гиперболическую шестиугольную мозаику 4-го порядка, {6,4}₃.

Петриал додекаэдра, {5,3}^π, имеет 20 вершин, 30 рёбер и 6 граней в виде пространственных додекаэдров. Его эйлерова характеристика равна −4, и он связан с гиперболической мозаикой {10,3}₅.

Петриал икосаэдра, {3,6}^π, имеет 12 вершин, 30 рёбер и 6 граней в виде пространственных додекаэдров. Его эйлерова характеристика равна −12, и он связан с гиперболической мозаикой {10,5}₃.

Правильные петриалы

Петриал тетраэдра {3,3}π = {4,3}3 = {4,3}/2	Петриал куба {4,3}π = {6,3}3 = {6,3}(2,0)	Петриал октаэдра {3,4}π = {6,4}3	Петриал додекаэдра {5,3}π = {10,3}5.	Петриал икосаэдра {3,5}π = {10,5}3.
3 пространственных квадрата	4 пространственных шестиугольника		6 пространственных десятиугольников
{4,3}3 = {4,3}/2	{6,3}3 = {6,3}(2,0)

• H.S.M. Coxeter. 2.6 Petrie Polygons стр. 24-25, Chapter 12, стр. 213–235 The generalized Petrie polygon // Regular Polytopes. — 3rd (1947, 63, 73). — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
• H.S.M. Coxeter. Section 4.3 Flags and Orthoschemes, Section 11.3 Petrie polygons // Regular complex polytopes. — Cambridge, New York: Cambridge University Press, 1973. — ISBN 0-521-39490-2.
• У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — Москва: «Мир», 1986. — С. 150.

• H.S.M. Coxeter. Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 978-0486-40919-8.
• Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — 1st. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
• H.S.M. Coxeter. Proceedings of the London Mathematical Society. — 1937. — Т. 43. — С. 33-62.
• H.S.M. Coxeter. paper 13, Discrete groups generated by reflections, 1933, стр. 161 // Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
• H.S.M. Coxeter. The Fifty-nine Icosahedra. — 1938. — С. 1–26. — (University of Toronto studies, mathematical series 6).

• Weisstein, Eric W. Petrie polygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Hypercube graphs (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Cross polytope graphs (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. 24-cell graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. 120-cell graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. 600-cell graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Gosset graph 3_21 (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.