Пятиугольный многогранник

Пятиугольный многогранник — правильный многогранник в пространстве размерности n, построенный из группы Коксетера Hn. Семейству дал имя Гарольд Коксетер, поскольку двумерным пятиугольным многогранником является пятиугольник. В зависимости от его символа Шлефли он может быть назван додекаэдральным ({5, 3n − 2}) или икосаэдральным ({3n − 2, 5}).

Члены семейства

Семейство начинается с одномерных многогранников (отрезок, n = 1) и завершается бесконечным замощением 4-мерной гиперболической сферы с n = 5.

Существует два типа пятиугольных многогранников. Один тип можно назвать додекаэдральные многогранники, а другой — икосаэдральные, в зависимости от его трёхмерных частей. Эти два типа двойственны друг другу.

Додекаэдральные многогранники

Полное семейство додекаэдральных многогранников состоит из:

  1. Отрезок, { }
  2. Пятиугольник, {5}
  3. Додекаэдр, {5, 3} (12 пятиугольных граней)
  4. Стодвадцатигранник, {5, 3, 3} (120 додекаэдральных ячеек)
  5. Стодвадцатиячейные соты порядка 3, {5, 3, 3, 3} — замощают гиперболическое 4-мерное пространство

Фасеты любого додекаэдрального многогранника являются додекаэдральными пятиугольными многогранниками на единицу меньшей размерности. Их вершинными фигурами являются симплексы на единицу меньшей размерности.

Додекаэдральные пятиугольные многогранники
n Группа Коксетера Многоугольник Петри
(проекция)
Название
диаграмма Коксетера
Символ Шлефли
Фасеты Элементы
Вершины Рёбра Грани Ячейки 4-грани
1
[ ]
(порядок 2)
Отрезок

{ }
2 вершины 2
2
[5]
(порядок 10)
Пятиугольник

{5}
5 рёбер 5 5
3
[5,3]
(порядок 120)
Додекаэдр

{5, 3}
12 пятиугольников
20 30 12
4
[5,3,3]
(порядок 14400)
Стодвадцатиячейник

{5, 3, 3}
120 додекаэдров
600 1200 720 120
5
[5,3,3,3]
(порядок ∞)
Стодвадцатиячейные соты

{5, 3, 3, 3}
Стодвадцатиячейников

Икосаэдральные многогранники

Полное семейство икосаэдральных пятиугольных многогранников состоит из:

  1. Отрезок, { }
  2. Пятиугольник, {5}
  3. Икосаэдр, {3, 5} (20 треугольных граней)
  4. Шестисотячейник, {3, 3, 5} (120 тетраэдральных ячеек)
  5. Пятиячейные соты пятого порядка, {3, 3, 3, 5} — замощают гиперболическое 4-мерное пространство (∞ пятиячейных фасет)

Фасеты любого икосаэдрального пятиугольного многогранника являются симплексами на единицу меньшей размерности. Вершинными фигурами многогранников являются икосаэдральные пятиугольные многогранники на единицу меньшей размерности.

Икосаэдральные пятиугольные многогранники
n Группа     Коксетера Многоугольник Петри
(проекция)
Название
диаграмма Коксетера
Символ Шлефли
Фасеты Элементы
Вершины Рёбра Грани Ячейки 4-грани
1
[ ]
(порядок 2)
Отрезок

{ }
2 вершины 2
2
[5]
(порядок 10)
Пятиугольник

{5}
5 рёбер 5 5
3
[5,3]
(порядок 120)
Икосаэдр

{3, 5}
20 правильных треугольников
12 30 20
4
[5,3,3]
(порядок 14400)
Шестисотячейник

{3, 3, 5}
600 тетраэдров
120 720 1200 600
5
[5,3,3,3]
(порядок ∞)
Пятиячейные соты пятого порядка

{3, 3, 3, 5}
Пятиячейников

Связанные звёздчатые многогранники и соты

От пятиугольных многогранников могут быть образованы звёзчатые формы с получением новых звёздчатых правильных многогранников:

Примечания

    Литература

    • H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
      • (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25-36]
    • H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd (1947, 63, 73). — New York: Dover Publications Inc., 1973. — С. 292—293. — ISBN 0-486-61480-8.
    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.