Пятиугольный многогранник
Пятиугольный многогранник — правильный многогранник в пространстве размерности n, построенный из группы Коксетера Hn. Семейству дал имя Гарольд Коксетер, поскольку двумерным пятиугольным многогранником является пятиугольник. В зависимости от его символа Шлефли он может быть назван додекаэдральным ({5, 3n − 2}) или икосаэдральным ({3n − 2, 5}).
Члены семейства
Семейство начинается с одномерных многогранников (отрезок, n = 1) и завершается бесконечным замощением 4-мерной гиперболической сферы с n = 5.
Существует два типа пятиугольных многогранников. Один тип можно назвать додекаэдральные многогранники, а другой — икосаэдральные, в зависимости от его трёхмерных частей. Эти два типа двойственны друг другу.
Додекаэдральные многогранники
Полное семейство додекаэдральных многогранников состоит из:
- Отрезок, { }
- Пятиугольник, {5}
- Додекаэдр, {5, 3} (12 пятиугольных граней)
- Стодвадцатигранник, {5, 3, 3} (120 додекаэдральных ячеек)
- Стодвадцатиячейные соты порядка 3, {5, 3, 3, 3} — замощают гиперболическое 4-мерное пространство
Фасеты любого додекаэдрального многогранника являются додекаэдральными пятиугольными многогранниками на единицу меньшей размерности. Их вершинными фигурами являются симплексы на единицу меньшей размерности.
| n | Группа Коксетера | Многоугольник Петри (проекция) |
Название диаграмма Коксетера Символ Шлефли |
Фасеты | Элементы | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Вершины | Рёбра | Грани | Ячейки | 4-грани | |||||
| 1 | [ ] (порядок 2) |
 |
Отрезок { } |
2 вершины | 2 | ||||
| 2 | [5] (порядок 10) |
 |
Пятиугольник  {5} |
5 рёбер | 5 | 5 | |||
| 3 | [5,3] (порядок 120) |
 |
Додекаэдр {5, 3} |
12 пятиугольников |
20 | 30 | 12 | ||
| 4 | [5,3,3] (порядок 14400) |
 |
Стодвадцатиячейник {5, 3, 3} |
120 додекаэдров |
600 | 1200 | 720 | 120 | |
| 5 | [5,3,3,3] (порядок ∞) |
Стодвадцатиячейные соты {5, 3, 3, 3} |
∞ Стодвадцатиячейников |
∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | |
Икосаэдральные многогранники
Полное семейство икосаэдральных пятиугольных многогранников состоит из:
- Отрезок, { }
- Пятиугольник, {5}
- Икосаэдр, {3, 5} (20 треугольных граней)
- Шестисотячейник, {3, 3, 5} (120 тетраэдральных ячеек)
- Пятиячейные соты пятого порядка, {3, 3, 3, 5} — замощают гиперболическое 4-мерное пространство (∞ пятиячейных фасет)
Фасеты любого икосаэдрального пятиугольного многогранника являются симплексами на единицу меньшей размерности. Вершинными фигурами многогранников являются икосаэдральные пятиугольные многогранники на единицу меньшей размерности.
| n | Группа Коксетера | Многоугольник Петри (проекция) |
Название диаграмма Коксетера Символ Шлефли |
Фасеты | Элементы | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Вершины | Рёбра | Грани | Ячейки | 4-грани | |||||
| 1 | [ ] (порядок 2) |
|
Отрезок { } |
2 вершины | 2 | ||||
| 2 | [5] (порядок 10) |
|
Пятиугольник {5} |
5 рёбер | 5 | 5 | |||
| 3 | [5,3] (порядок 120) |
 |
Икосаэдр {3, 5} |
20 правильных треугольников |
12 | 30 | 20 | ||
| 4 | [5,3,3] (порядок 14400) |
 |
Шестисотячейник {3, 3, 5} |
600 тетраэдров |
120 | 720 | 1200 | 600 | |
| 5 | [5,3,3,3] (порядок ∞) |
Пятиячейные соты пятого порядка {3, 3, 3, 5} |
∞ Пятиячейников |
∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | |
Связанные звёздчатые многогранники и соты
От пятиугольных многогранников могут быть образованы звёзчатые формы с получением новых звёздчатых правильных многогранников:
- В трёхмерном пространстве получаются четыре многогранника Кеплера — Пуансо — {3,5/2}, {5/2,3}, {5,5/2} и {5/2,5}.
- В четырёхмерном пространстве получаются десять многогранников Шлефли-Гесса: {3,5,5/2},{{5/2,5,3}, {5,5/2,5}, {5,3,5/2}, {5/2,3,5}, {5/2,5,5/2}, {5,5/2,3}, {3,5/2,5}, {3,3,5/2} и {5/2,3,3}.
- В четырёхмерном гиперболическом пространстве существуют четыре правильных звёздчатых сот: {5/2,5,3,3}, {3,3,5,5/2}, {3,5,5/2,5} и {5,5/2,5,3}.
Примечания
Литература
- H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
- (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25-36]
- H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd (1947, 63, 73). — New York: Dover Publications Inc., 1973. — С. 292—293. — ISBN 0-486-61480-8.