Симметрия в квантовой механике

Как правило, соответствие между непрерывными симметриями и законами сохранения дается квантовым аналогом теоремы Нётер.

Форма фундаментальных квантовых операторов, например энергии как частной производной по времени и импульса как градиента (от пространственных координат), становится ясной, если рассмотреть начальное состояние, а затем немного изменить один из его параметров. Такой подход работает для смещения (длины), продолжительности (времени) и углов (вращения). Кроме того, инвариантность некоторых величин можно увидеть, проделав преобразования длин и углов, что свидетельствует о сохранении этих величин.

В дальнейшем рассмотрим преобразования только для одночастичных волновых функций вида:

${\displaystyle {\widehat {\Omega }}\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ',t')}$

где ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$ обозначает унитарный оператор. Унитарность обычно требуется для операторов, представляющих преобразования пространства, времени и спина, поскольку норма состояния (представляющая полную вероятность нахождения частицы с некоторым спином в некотором объёме пространства) должна быть инвариантной относительно этих преобразований. Обратное преобразование задаётся эрмитовым сопряжением ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\dagger }}$ . Эти результаты можно распространить на многочастичные волновые функции. В нотации Дирака преобразования квантовых состояний:

${\displaystyle {\widehat {\Omega }}\left|\mathbf {r} (t)\right\rangle =\left|\mathbf {r} '(t')\right\rangle }$

Тогда действие оператора ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$ преобразует волновую функцию ψ (r, t) в ψ (r ′, t ′), так что обратный оператор ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\dagger }}$ заменяет ψ (r ′, t ′) на ψ (r, t), поэтому какой-либо оператор ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ будет инвариантен относительно преобразования ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$ при условии

${\displaystyle {\widehat {A}}\psi ={\widehat {\Omega }}^{\dagger }{\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi \quad \Rightarrow \quad {\widehat {\Omega }}{\widehat {A}}\psi ={\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi }$

и поэтому:

${\displaystyle [{\widehat {\Omega }},{\widehat {A}}]\psi =0}$

для любых состояний ψ. Квантовые операторы, соответствующие наблюдаемым, также должны быть эрмитовыми, чтобы их собственные значения были действительными числами, то есть оператор равен своему эрмитово сопряженному, ${\displaystyle {\widehat {A}}={\widehat {A}}^{\dagger }}$.

Ниже приведены ключевые положения теории групп, относящиеся к квантовой теории, а примеры приводятся на протяжении всей статьи. В альтернативном подходе используются группы матриц (см. Книги Холла)[1][2]

Пусть G — группа Ли, которая локально параметризуется конечным числом N действительных непрерывно меняющихся параметров ξ ₁, ξ ₂ ,. . . ξ _N. Или на другом языке это означает, что G — гладкое многообразие, которое также является группой, с гладкими групповыми операциями.

• Размерность группы равна N — то есть равно количеству параметров группы.
• элементы группы g в G — это функции параметров:

${\displaystyle g=G(\xi _{1},\xi _{2},\cdots )}$

и когда все параметры обнулены, то это соответствует нейтральному элементу группы:

${\displaystyle I=G(0,0\cdots )}$

Элементы группы часто представляются в виде матриц, действующих на векторы, или преобразований, действующих на функции.

• Генераторы группы — это частные производные элементов группы по параметрам группы в точке, когда параметр равен нулю, а именно

${\displaystyle X_{j}=\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j}}}\right|_{\xi _{j}=0}}$

На языке многообразий генераторы группы — это элементы касательного пространства к G в единице. Генераторы также известны как элементы инфинитезимальной группы или как элементы алгебры Ли группы G. (См. Обсуждение коммутатора ниже.)

Одно из преимуществ генераторов в теоретической физике заключается в том, что этим операторам соответствуют симметрии, которые можно записать в виде матриц или как дифференциальных операторов. В квантовой теории для унитарных представлений группы, генераторы умножаются на i :

${\displaystyle X_{j}=i\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j}}}\right|_{\xi _{j}=0}}$

Генераторы группы образуют векторное пространство, что означает, что линейные комбинации генераторов также образуют генератор.

• Генераторы (матрицы или дифференциальные операторы) удовлетворяют коммутационным соотношениям :

${\displaystyle \left[X_{a},X_{b}\right]=if_{abc}X_{c}}$

где f _abc — (зависящие от базиса) структурные константы группы. Вместе со свойствами векторного пространства генераторы группы задают базис алгебры Ли. Из-за антисимметрии скобок (коммутатора) структурные константы группы антисимметричны по первым двум индексам.

• Представления группы описывают способы, которыми группа G (или её алгебра Ли) действует в векторном пространстве. (В качестве векторного пространства можно взять, например пространство собственных векторов гамильтониана, имеющего G в качестве группы симметрии.) Обозначим представления через заглавную D. Затем можно дифференцировать D, чтобы получить представление алгебры Ли, часто также обозначаемое D. Эти два представления связаны следующим образом:

${\displaystyle D[g(\xi _{j})]\equiv D(\xi _{j})=e^{i\xi _{j}D(X_{j})}}$

без суммирования по повторяющемуся индексу j. Представления группы — это линейные операторы, поставленные в соотствие каждому элементу группы и для которых выполняется правило композиции:

${\displaystyle D(\xi _{a})D(\xi _{b})=D(\xi _{a}\xi _{b}).}$

Представление, которое не может быть разложено в прямую сумму других представлений, называется неприводимым . Неприводимые представления принято помечать верхним индексом n в скобках, как например в D ⁽ⁿ⁾, или, если имеется более одного числа, то записывают D ^{(n, m,. . . )} .

В квантовой теории возникает дополнительная тонкость: два вектора, различающиеся скалярным множителем, задают одно и то же физическое состояние. Тогда подходящим понятием представления выбирают проективное представление, которое удовлетворяет закону композиции только с точностью до скалярного множителя. В контексте квантово-механического спина такие представления называются спинорным.

Оператор пространственных трансляций ${\displaystyle {\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )}$ действует на волновую функцию, сдвигая пространственные координаты на бесконечно малое смещение Δ r. Явное выражение для оператора ${\displaystyle {\widehat {T}}}$ можно получить с помощью разложения в ряд Тейлора ψ (r + Δ r, t) в окрестности r, а затем (сохраняя член первого порядка и пренебрегая членами второго и более высоких порядков), заменить пространственные производные (градиент) оператором импульса ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}}$. Точно так же для оператора сдвига по времени, действующего на параметр времени, в разложении в ряд Тейлора для ψ (r, t + Δ t) в окрестности t, замеют производную по времени оператором энергии ${\displaystyle {\widehat {E}}}$ .

Название	Оператор трансляций ${\displaystyle {\widehat {T}}}$	Оператор эволюции во времени ${\displaystyle {\widehat {U}}}$
Действие на волновую функцию	${\displaystyle {\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} ,t)}$	${\displaystyle {\widehat {U}}(\Delta t)\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ,t+\Delta t)}$
Инфинитезимальный оператор	${\displaystyle {\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )=I+{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}}$	${\displaystyle {\widehat {U}}(\Delta t)=I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat {E}}}$
конечный оператор	${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\left(I+{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{N}}\cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)^{N}=\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)={\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )}$	${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\left(I-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta t}{N}}\cdot {\widehat {E}}\right)^{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat {E}}\right)={\widehat {U}}(\Delta t)}$
Генератор	Оператор импульса ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla }$	Оператор энергии ${\displaystyle {\widehat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$

Экспоненциальные функции возникают по определению данному Эйлером, и их физический и математический смысл понимается следующим образом. Чистый перенос состоит из множества небольших переносов, поэтому, чтобы получить оператор сдвига для конечного приращения, нужно заменить Δ r на Δ r / N и Δ t на Δ t / N, где N — положительное ненулевое целое число. Затем с увеличением N величина Δ r и Δ t становится ещё меньше, при этом их величины остаются неизменными. Действие инфинитезимальных операторов на волновую функцию N раз и переход к пределу, когда N стремится к бесконечности, приводит к виду конечных операторов.

Трансляции пространства и времени коммутируют, что также означает коммутацию их операторов и генераторов.

Коммутаторы

Операторы	${\displaystyle \left[{\widehat {T}}(\mathbf {r} _{1}),{\widehat {T}}(\mathbf {r} _{2})\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0}$	${\displaystyle \left[{\widehat {U}}(t_{1}),{\widehat {U}}(t_{2})\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0}$
Генераторы	${\displaystyle \left[{\widehat {p}}_{i},{\widehat {p}}_{j},\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0}$	${\displaystyle \left[{\widehat {E}},{\widehat {p}}_{i},\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0}$

Для гамильтониана, не зависящего явно от времени, энергия сохраняется во времени, а квантовые состояния называются стационарными состояниями: собственные состояния гамильтониана — это собственные значения энергии E:

${\displaystyle {\widehat {U}}(t)=\exp \left(-{\frac {i\Delta tE}{\hbar }}\right)}$

и все стационарные состояния принимают вид

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t+t_{0})={\widehat {U}}(t-t_{0})\psi (\mathbf {r} ,t_{0})}$

где t ₀ — начальный момент времени, обычно равны нулю, поскольку при выборе начального времени непрерывность не нарушается.

В других обозначениях можно записать ${\displaystyle {\widehat {U}}(t-t_{0})\equiv U(t,t_{0})}$ .

Оператор вращения действует на волновую функцию таким образом, что пространственные координаты частицы поворачиваются на постоянный угол Δ θ :

${\displaystyle {R}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ',t)}$

где r ′ обозначают повернутые вокруг оси координаты. Ось задаётся единичным вектором ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})}$ а поворот — через угловое приращение Δ θ, определяемое по формуле :

${\displaystyle \mathbf {r} '={\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {r} \,.}$

где ${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})}$ матрица вращения, зависящая от оси и угла. На языке групп, матрицы вращения — это элементы группы, а углы и ось ${\displaystyle \Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}=\Delta \theta (a_{1},a_{2},a_{3})}$ — параметры трехмерной специальной ортогональной группы SO (3). Матрицы вращения вокруг стандартного базиса декартовой системы ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}}$ на угол Δθ, и соответствующие образующие поворотов J = (J_x, J_y, J_z) :

${\displaystyle {\widehat {R}}_{x}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta \\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{x}\equiv J_{1}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})}{\partial \theta }}\right|_{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {R}}_{y}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}\cos \Delta \theta &0&\sin \Delta \theta \\0&1&0\\-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{y}\equiv J_{2}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})}{\partial \theta }}\right|_{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {R}}_{z}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta &0\\\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{z}\equiv J_{3}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})}{\partial \theta }}\right|_{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.}$

В более общем смысле для вращений вокруг оси, определяемой вектором ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$, элемены матрицы вращения задаются[3]

${\displaystyle [{\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})]_{ij}=(\delta _{ij}-a_{i}a_{j})\cos \theta -\varepsilon _{ijk}a_{k}\sin \theta +a_{i}a_{j}}$

где δ _ij — символ Кронекера, а ε _ijk — символ Леви-Чивиты .

Неочевидно как определить оператор вращения по сравнению с трансляциями пространства и времени. Можно рассмотреть частный случай (вращение вокруг оси x, y или z), а затем вывести общий результат или напрямую использовать общую матрицу вращения и тензорные индексы с δ_ij и ε_ijk . Чтобы вывести оператор бесконечно малого вращения, который соответствует малому Δ θ, мы используем приближения малых углов sin (Δ θ) ≈ Δ θ и cos (Δ θ) ≈ 1 и тейлоровское разложение в окресности r или r _i при сохранении только первого порядока и в конце подставим компоненты оператора углового момента.

	Поворот вокруг ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{z}}$	Поворот вокруг ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$
Действие на волновую функцию	${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})\psi (x,y,z,t)=\psi (x-\Delta \theta y,\Delta \theta x+y,z,t)}$	${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\psi (r_{i},t)=\psi (R_{ij}r_{j},t)=\psi (r_{i}-\varepsilon _{ijk}a_{k}\Delta \theta r_{j},t)}$
Инфинитезимальный оператор	${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})=I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\widehat {L}}_{z}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})&=I-(-\Delta \theta a_{k}\varepsilon _{kij}r_{j}){\frac {\partial }{\partial r_{i}}}\\&=I-(\Delta \theta a_{k}\varepsilon _{kji}r_{j}){\frac {\partial }{\partial r_{i}}}\\&=I-\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot (\mathbf {r} \times \nabla )\\&=I-{\frac {i\Delta \theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\\\end{aligned}}}$
Инфинитезимальные повороты	${\displaystyle {\widehat {R}}=1-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\,,\quad {\widehat {\mathbf {L} }}=i\hbar {\hat {\mathbf {a} }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}}$	аналогично
Конечные повороты	${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\left(1-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta \theta }{N}}{\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\right)^{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\right)={\widehat {R}}}$	аналогично
Генератор	z-компонента оператора углового момента ${\displaystyle {\widehat {L}}_{z}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$	Оператор полного углового момента ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}}$.

Z -компоненту оператора углового момента можно заменить на проекцию вдоль оси, определяемой вектором ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$, используя скалярное произведение ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}}$ .

Опять же, конечное вращение можно выполнить используя множество небольших вращений, заменяя Δ θ на Δθ/N и переходя к пределу, когда N стремится к бесконечности. Это приводит к оператору вращения для конечного вращения.

Вращения вокруг одной и той же оси коммутируют, например, поворот на углы θ ₁ и θ ₂ вокруг оси i можно записать

${\displaystyle R(\theta _{1}+\theta _{2},\mathbf {e} _{i})=R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i})R(\theta _{2}\mathbf {e} _{i})\,,\quad [R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i}),R(\theta _{2}\mathbf {e} _{i})]=0\,.}$

Однако вращения вокруг разных осей не коммутируют. Общие правила коммутации операторов углового момента

${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k}.}$

В этом смысле орбитальный угловой момент описывает вращения. Каждый из вышеперечисленных коммутаторов можно легко представить, взяв повседневный объект и повернув его последовательно на один и тот же угол вокруг оси 1 и оси 2 или наоборот вокруг оси 2 и оси 1 — окончательные положения тела окажутся разными.

В квантовой механике есть ещё одна форма вращения, которая математически кажется похожей на орбитальный случай, но имеет другие свойства, описанные ниже.

Все предыдущие величины имеют классические аналоги. Спин — это величина, которой обладают частицы в квантовой механике без какого-либо классического аналога, имеющая размерность единицы углового момента. Оператор вектора спина обозначается ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {S} }}=({\widehat {S_{x}}},{\widehat {S_{y}}},{\widehat {S_{z}}})}$. Собственные значения его компонент — это возможные величины (в единицах ${\displaystyle \hbar }$) измерения спина, спроецированного на базисные вектора.

Вращения (обычного пространства) вокруг оси ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$ на угол θ относительно единичного вектора ${\displaystyle {\hat {a}}}$ в пространстве, действующее на многокомпонентную волновую функцию (спинор) в точке пространства, представляется в виде

Spin rotation operator (finite) ${\displaystyle {\widehat {S}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {S} }}\right)}$

Однако, в отличие от орбитального углового момента, в котором квантовое число l может принимать только положительные или отрицательные целые значения (включая ноль), спиновое квантовое число s может принимать все положительные и отрицательные полуцелые значения. Для каждого спинового квантового числа существуют матрицы вращения.

Вычисление экспоненты для z-проекции с заданным спиновым квантовым числом s дает (2 s + 1) -мерную матрицу спина. Что можно использовать для определения спинора как вектора-столбца из 2 s + 1 компонент, который преобразуется повороте системы координат в соответствии со спиновой матрицей в фиксированной точке пространства.

Для простейшего нетривиального случая для состояния с s = 1/2 оператор спина имеет вид

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}}$

где матрицы Паули в стандартном представлении:

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

Оператор полного углового момента представляет собой сумму орбитального и спинового моментов

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {J} }}={\widehat {\mathbf {L} }}+{\widehat {\mathbf {S} }}}$

и имеет важное значение для многочастичных систем, особенно в ядерной физике и квантовой химии многоэлектронных атомов и молекул.

Аналогичная матрица вращения

${\displaystyle {\widehat {J}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {J} }}\right)}$

Группа динамической симметрии n- мерного квантового гармонического осциллятора — это специальная унитарная группа SU (n). Например, число инфинитезимальных генераторов соответствующих алгебр Ли для групп SU (2) и SU (3) равно трем и восьми соответственно. Это приводит ровно к трем и восьми независимым сохраняющимся величинам (кроме гамильтониана) в этих системах.

Двумерный квантовый гармонический осциллятор обладает ожидаемыми сохраняющимися величинами как гамильтониан и угловой момент, но также имеет дополнительные скрытые сохраняющиеся величины такие как разности уровней энергии и другую форму углового момента.

Рассмотренные выше матрицы вращения и генераторы вращения образуют пространственноподобную часть четырёхмерной матрицы, представляющую собой чистое вращение. Три элемента группы Лоренца ${\displaystyle {\widehat {R}}_{x},{\widehat {R}}_{y},{\widehat {R}}_{z}}$ а генераторы J = (J₁, J₂, J₃) для чистых вращений:

${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta \\0&0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{x}=J_{1}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta &0&\sin \Delta \theta \\0&0&1&0\\0&-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{y}=J_{2}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta &0\\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{z}=J_{3}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.}$

Матрицы вращения действуют на любые 4-вектора A = (A ₀, A ₁, A ₂, A ₃) и вращают пространственно-подобные компоненты в соответствии с формулой

${\displaystyle \mathbf {A} '={\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A} }$

оставив временную координату неизменной. В матричном представлении вектор A рассматривается как вектор-столбец.

Буст со скоростью ctanhφ в направлениях x, y или z, заданных декартовой системе коорднинат с базисом ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}}$, — матрицы преобразования буста. Эти матрицы ${\displaystyle {\widehat {B}}_{x},{\widehat {B}}_{y},{\widehat {B}}_{z}}$ а соответствующие генераторы K = (K₁, K₂, K₃) — это оставшиеся три элемента группы и генераторы группы Лоренца:

${\displaystyle {\widehat {B}}_{x}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi &0&0\\\sinh \varphi &\cosh \varphi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle K_{x}=K_{1}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {B}}_{y}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &0&\sinh \varphi &0\\0&1&0&0\\\sinh \varphi &0&\cosh \varphi &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle K_{y}=K_{2}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {B}}_{z}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &0&0&\sinh \varphi \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh \varphi &0&0&\cosh \varphi \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle K_{z}=K_{3}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.}$

Матрицы буста действуют на любые 4-векторы A = (A ₀, A ₁, A ₂, A ₃) и смешивают временные и пространственные компоненты в соответствии с формулой

${\displaystyle \mathbf {A} '={\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A} }$

Термин «буст» относится к относительной скорости между двумя системами отсчёта, и его не следует объединять с импульсом как генератором трансляций, как объясняется ниже.

Произведение вращений дают другое вращение (частый пример подгруппы), в то время как произведения бустов или бустов и вращений нельзя выразить через чистые бусты или чистые вращения. В общем случае, любое преобразование Лоренца можно выразить как произведение чистого вращения и чистого буста. Для получения дополнительной информации см.[6] и ссылки в них.

Представления генераторов бустов и вращений обозначаются D(K) и D(J) соответственно, где заглавная D в этом контексте указывает на представление группы.

Для группы Лоренца представления D(K) и D(J) генераторов K и J удовлетворяют следующим правилам коммутации.

Коммутаторы

	Чистый поворот	Чистый буст	Преобразование Лоренца
Генераторы	${\displaystyle \left[J_{a},J_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}J_{c}}$	${\displaystyle \left[K_{a},K_{b}\right]=-i\varepsilon _{abc}J_{c}}$	${\displaystyle \left[J_{a},K_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}K_{c}}$
Представления	${\displaystyle \left[{D(J_{a})},{D(J_{b})}\right]=i\varepsilon _{abc}{D(J_{c})}}$	${\displaystyle \left[{D(K_{a})},{D(K_{b})}\right]=-i\varepsilon _{abc}{D(J_{c})}}$	${\displaystyle \left[{D(J_{a})},{D(K_{b})}\right]=i\varepsilon _{abc}{D(K_{c})}}$

Во всех коммутаторах бусты смешиваются с вращениями, хотя коммутаторы только вращений приводят к другому вращению. Экспоненциальное отображение генераторов группы даёт операторы бустов и вращений, которые объединяются в общее преобразование Лоренца, при котором пространственно-временные координаты преобразуются из покоющейся системы отсчёта в другую посредствлом бустов и/или вращений. Точно так же экспоненциальное отображение представлений генераторов дает представления операторов бустов и вращений, в соответствии с которыми преобразуется спинорное поле частицы.

Законы преобразования

	Чистый буст	Чистый поворот	Преобразование Лоренца
Преобразования	${\displaystyle {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} \right)}$	${\displaystyle {\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)}$	${\displaystyle \Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)\right]}$
Представления	${\displaystyle D[{\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot D(\mathbf {K} )\right)}$	${\displaystyle D[{\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot D(\mathbf {J} )\right)}$	${\displaystyle D[\Lambda (\theta ,{\hat {\mathbf {a} }},\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot D(\mathbf {K} )+\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot D(\mathbf {J} )\right)\right]}$

В литературе генераторы бустов K и генераторы вращения J иногда объединяются в один генератор для преобразований Лоренца M, антисимметричную четырёхмерную матрицу с элементами:

${\displaystyle M^{0a}=-M^{a0}=K_{a}\,,\quad M^{ab}=\varepsilon _{abc}J_{c}\,.}$

и, соответственно, параметры бустов и вращений собираются в другую антисимметричную четырёхмерную матрицу ω с элементами:

${\displaystyle \omega _{0a}=-\omega _{a0}=\varphi n_{a}\,,\quad \omega _{ab}=\theta \varepsilon _{abc}a_{c}\,,}$

Таким образом, общее преобразование Лоренца:

${\displaystyle \Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left[-{\frac {i}{2}}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)\right]}$

с суммированием по повторяющимся матричным индексам α и β . Матрицы Λ действуют на любые 4-векторы A = (A ₀, A ₁, A ₂, A ₃) и смешивают времениподобные и пространственно-подобные компоненты в соответствии с формулой

${\displaystyle \mathbf {A} '=\Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {A} }$

В релятивистской квантовой механике волновые функции больше не являются однокомпонентными скалярными полями, а представляют собой спинорные поля состояцие из 2 (2 s + 1) компонент, где s — спин частицы. Ниже приведены преобразования этих функций в пространстве-времени.

При правильном ортохронном преобразовании Лоренца (r, t) → Λ(r, t) в пространстве Минковского все одночастичные квантовые состояния ψ_σ локально преобразуются в некотором представлении D для группы Лоренца по формуле[7][8]

${\displaystyle \psi _{\sigma }(\mathbf {r} ,t)\rightarrow D(\Lambda )\psi _{\sigma }(\Lambda ^{-1}(\mathbf {r} ,t))}$

где D(Λ) — конечномерное представление, другими словами, квадратная матрица размерности (2s + 1)×(2s + 1), а ψ рассматривается как вектор-столбец, содержащий компоненты с (2s + 1) допустимые значения спина σ :

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }={\begin{bmatrix}{\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}}$

Неприводимые представления D(K) и D(J) можно использовать для построения спиновых представлений группы Лоренца. Определение новых операторов:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2}}\,,\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K} }{2}}\,,}$

так что A и B комплексно сопряженные друг другу. Из этого следует, что они удовлетворяют симметрично записанным коммутаторам:

${\displaystyle \left[A_{i},A_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}A_{k}\,,\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}B_{k}\,,\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0\,,}$

и это по существу коммутаторы, которым удовлетворяют операторы орбитального и спинового углового момента. Следовательно, A и B образуют операторные алгебры, аналогичные угловому моменту; одни и те же лестничные операторы, z -проекции и т. д. независимо друг от друга, поскольку каждый из их компонент коммутирует друг с другом. По аналогии со спиновым квантовым числом введём положительные целые или полуцелые числа a, b с соответствующими наборами собственных значений m = a, a − 1, ... −a + 1, −a и n = b, b − 1, ... −b + 1, −b . Матрицы, удовлетворяющие указанным выше коммутационным соотношениям, такие же, как для спинов a и b, имеют компоненты, заданные умножением значений дельты Кронекера на матричные элементы углового момента:

${\displaystyle \left(A_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{x}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{x}^{(n)}\right)_{n'n}}$

${\displaystyle \left(A_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{y}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{y}^{(n)}\right)_{n'n}}$

${\displaystyle \left(A_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{z}^{(n)}\right)_{n'n}}$

где в каждом случае номер строки m ′ n ′ и номер столбца mn разделены запятой. Тогда

${\displaystyle \left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{m'm}\,\quad \left(J_{x}^{(m)}\pm iJ_{y}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{a',a\pm 1}{\sqrt {(a\mp m)(a\pm m+1)}}}$

и аналогично для J ⁽ⁿ⁾ [комментарий 1]. Три квадратные матрицы J ^(m) — каждая размерности (2m + 1)×(2m + 1), а три J ^(п) с размерностью (2n + 1)×(2n + 1). Целые или полуцелые числа m и n нумеруют все неприводимые представления с помощью эквивалентных обозначений, используемых здесь: D^{(m, n)} ≡ (m, n) ≡ D^(m) ⊗ D⁽ⁿ⁾, каждое из которых имеет вид квадратных матриц размерности [(2m + 1)(2n + 1)]×[(2m + 1)(2n + 1)].

Применим это рассуждение к частицам со спином s ;

• левосторонние (2s + 1) -компонентные спиноры преобразуются относительно непреводимых вещественных представлений D^{(s, 0)} ,
• правые (2s + 1) -компонентные спиноры преобразуются относительно непреводимых вещественных представлений D^{(0, s)} ,
• взяв прямые суммы, обозначенные символом ⊕ (см. более простую концепуию для матриц прямую сумму матриц), получаем представления, при которых преобразуются 2(2s + 1) -компонентные спиноры: D^{(m, n)} ⊕ D^{(n, m)} где m + n = s . Это тоже непреводимые вещественные представления, но, как показано выше, они распадаются на комплексно-сопряжённые.

В этих случаях D относится к любому из D(J), D(K) или к полному преобразованию Лоренца D(Λ) .

В контексте уравнения Дирака и уравнения Вейля спиноры Вейля, удовлетворяющие уравнению Вейля, преобразуются при простейших неприводимых спиновых представлениях группы Лоренца, поскольку спиновое квантовое число в этом случае является наименьшим допустимым ненулевым числом: 1/2 . 2-компонентный левый спинор Вейля преобразуется посредством D^{(1/2, 0)}, а 2-компонентный правый спинор Вейля преобразуется по D^{(0, 1/2)} . Спиноры Дирака, удовлетворяющие уравнению Дирака, преобразуются по представлению D^{(1/2, 0)} ⊕ D^{(0, 1/2)} — прямой сумме непреводимых вещественных представлений спиноров Вейля.

Теория групп — это абстрактный способ математического анализа симметрий. Унитарные операторы обладают первостепенным значением в квантовой теории, поэтому унитарные группы важны в физике элементарных частиц. Группа N- мерных унитарных квадратных матриц обозначается U (N). Унитарные операторы сохраняют скалярное произведение, что означает, что вероятности также сохраняются, поэтому квантовая механика какой-либо системы должна быть инвариантной относительно унитарных преобразований. Пусть ${\displaystyle {\widehat {U}}}$ — унитарный оператор, а обратный к неиу — эрмитово сопряженный ${\displaystyle {\widehat {U}}^{-1}={\widehat {U}}^{\dagger }}$, который коммутирует с гамильтонианом:

${\displaystyle \left[{\widehat {U}},{\widehat {H}}\right]=0}$

Тогда наблюдаемая величина, соответствующая оператору ${\displaystyle {\widehat {U}}}$ сохраняется, а гамильтониан инвариантен относительно преобразования ${\displaystyle {\widehat {U}}}$ .

Поскольку предсказания квантовой механики должны быть инвариантными под действием группы, учёные ищут унитарные преобразования для представления группы.

Важными подгруппами каждой группы U (N) являются те унитарные матрицы, которые имеют единичный определитель (или являются «унимодулярными»): они также называются специальными унитарными группами и обозначаются SU (N).

Простейшая унитарная группа — это U (1), которая представляет собой просто комплексные числа по модулю 1. Этот элемент одномерной матрицы записывают в виде

${\displaystyle U=e^{-i\theta }}$

в которой θ — параметр группы. Эта руппа абелева, поскольку одномерные матрицы всегда коммутируют при матричном умножении. Лагранжианы в квантовой теории поля для комплексных скалярных полей часто инвариантны относительно преобразований U (1). Если есть квантовое число a, связанное с симметрией U (1), например барион и три лептонных числа в электромагнитных взаимодействиях, то

${\displaystyle U=e^{-ia\theta }}$

Общий вид элемента группы U (2) параметризуется двумя комплексными числами a и b :

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}a&b\\-b^{\star }&a^{\star }\\\end{pmatrix}}}$

а для SU (2) определитель равен 1:

${\displaystyle \det(U)=aa^{\star }+bb^{\star }={|a|}^{2}+{|b|}^{2}=1}$

На языке теории групп, матрицы Паули являются генераторами специальной унитарной группы в двух измерениях, обозначаемой SU (2). Их коммутатор такой же, как и для орбитального углового момента, за исключением коэффициента 2:

${\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\hbar \varepsilon _{abc}\sigma _{c}}$

Элемент группы SU (2) можно записать:

${\displaystyle U(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=e^{i\theta \sigma _{j}/2}}$

где σ _j — матрица Паули, а параметры группы — углы поворота вокруг оси заданной вектором ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{j}}$.

Двумерный изотропный квантовый гармонический осциллятор обладает группой симметрии SU (2), в то время как алгебра симметрий анизотропного осциллятора является нелинейным расширением u (2).[11]

Восемь матриц Гелл-Манна λ_n (см. Статью о них и структурных константах) важны для квантовой хромодинамики. Первоначально они появились в теории SU (3) для аромата, которая до сих пор используется в ядерной физике. Они задают генераторы группы SU (3), поэтому элемент группы SU (3) можно записать аналогично элементу группы SU (2):

${\displaystyle U(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=\exp \left(-{\frac {i}{2}}\sum _{n=1}^{8}\theta _{n}\lambda _{n}\right)}$

где θ _n — восемь независимых параметров. Матрицы λ_n удовлетворяют коммутатору:

${\displaystyle \left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]=2if_{abc}\lambda _{c}}$

где индексы a, b, c принимают значения 1, 2, 3 … 8. Структурные константы f _abc полностью антисимметричны по всем индексам, аналогично индексам SU (2). В стандартном базисе цветного заряда (r для красного, g для зелёного, b для синего):

${\displaystyle |r\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad |g\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad |b\rangle ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$

цветовые состояния — это собственные состояния матриц λ₃ и λ₈, в то время как другие матрицы отвечают за смешивание цветовых состояний.

Состояния восьми глюонов (8-мерные векторы-столбцы) — это собственные состояниями присоединенного представления группы SU(3), 8-мерного представления, действующего на его собственной алгебре Ли su(3), для матриц λ₃ и λ₈ . Формируя тензорные произведения представлений (стандартное представление и двойственное ему) и принимая соответствующие отношения, протоны, нейтроны и другие адроны представляются собственными состояниями различных представлений SU(3) цвета. Представления SU (3) можно описать «теоремой максимального веса».[12]

В релятивистской квантовой механике релятивистские волновые уравнения обладают замечательной симметрией природы: каждая частица имеет соответствующую античастицу. Математически это выражается спинорными полями, которые являются решениями релятивистских волновых уравнений.

Зарядовое сопряжение переставляет частицы и античастицы. Физические законы и взаимодействия, неизменные в результате этой операции, обладают C-симметрией.

• Четность отражает ориентацию пространственных координат как левой и правой. Неформально пространство «отражается» в зеркале. Физические законы и взаимодействия, неизменные в результате этой операции, обладают P-симметрией.
• Обращение времени переворачивает временную координату, то есть возникает время, бегущее из будущего в прошлое. Любопытное свойство времени, которого нет в пространстве, заключается в том, что оно однонаправлено: частицы, движущиеся вперед во времени, эквивалентны античастицам, движущимся назад во времени. Физические законы и взаимодействия, неизменямые этой операцией, обладают T-симметрией.

• Чётность (физика)
• CPT теорема
• Нарушение CP
• PT-симметрия
• Нарушение Лоренца

В квантовой электродинамике обладает группой симметрии U (1), которая абелева. В квантовой хромодинамике соответствующая группа симметрии SU (3) является неабелевой.

Электромагнитное взаимодействие осуществляется фотонами, у которых нет электрического заряда. Тензор электромагнитного поля задаётся через 4-потенциальное электромагнитное поле, обладающее калибровочной симметрией.

Сильное (цветное) взаимодействие обеспечивается глюонами, которые различаются восемью цветовыми зарядами. Имеется восемь тензоров напряженности глюонного поля с соответствующими полями 4-глюонных потенциалов, каждый из которых обладает калибровочной симметрией.

По аналогии с оператором спина существуют операторы цветового заряда в терминах матриц Гелл-Манна λ _j :

${\displaystyle {\hat {F}}_{j}={\frac {1}{2}}\lambda _{j}}$

и поскольку цветной заряд сохраняется, все операторы цветного заряда должны коммутировать с гамильтонианом:

${\displaystyle \left[{\hat {F}}_{j},{\hat {H}}\right]=0}$

Изоспин сохраняется при сильных взаимодействиях.

Магнитные монополи могут существовать теоретически, хотя текущие наблюдения и теория согласуются с обоими исходами существания монополей или несуществования. Электрические и магнитные заряды можно эффективно «превразать друг в друга» с помощью преобразования дуальности.

• Электрослабая симметрия
• Нарушение электрослабой симметрии

Супералгебра Ли — это алгебра, в которой (подходящие) базисные элементы либо подчиняются правилам коммутации, либо антикоммутации. В суперсимметрии предполагается, что все фермионные частицы имеют бозонные аналоги, и наоборот. Эта симметрия теоретичи привлекательна, поскольку не делается никаких дополнительных предположений (например, о существовании струн), препятствующих симметрии. Кроме того, допуская суперсимметрию, можно решить ряд загадочных проблем. Эти симметрии, которые представлены супералгебрами Ли, экспериментально не подтверждены. Сейчас считается, если она существуют, то эта симметрия нарушена. Предпологается, что темная материя представляет собой гравитино, частицу со спином 3/2 (фермион) и массой, а её суперсимметричным партнером является гравитон со спином 2 (бозон).