Неприводимое представление

Элементы группы могут быть представлены матрицами, хотя термин «представлена» имеет специфичное и точное значение в данном контексте. Представление группы — это отображение из элементов группы в полную линейную группу матриц. Пусть a, b, c... означают элементы группы G с групповым произведением, которое не отражается каким-либо символом, то есть ab является групповым произведением a и b, которое также является элементом группы G. Пусть представления обозначаются буквой D. Представление элемента a записывается как

${\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

По определению представлений групп представление группового произведения переводится в умножение матриц представлений:

${\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)}$

Если e является нейтральным элементом группы (так, что ${\displaystyle ae=ea=a}$), то D(e) является единичной матрицей, поскольку мы должны иметь

${\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)}$

и то же самое для других элементов группы. Последние два утверждения соответствуют требованию, чтобы D было гомоморфизмом групп.

Представление разложимо, если подобная матрица P может быть найдена для преобразования подобия[2]:

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P}$,

которая диагонализирует любую матрицу в представлении в диагональные блоки — каждый из блоков является представлением группы независимо друг от друга. Говорят, что представления D(a) и D′(a) эквивалентны[3]. Представление может быть разложено в прямую сумму k матриц:

${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a)}$,

так что D(a) является разложимой и обычно метки у матриц разложения пишутся в скобках, как D⁽ⁿ⁾(a) для n = 1, 2, ..., k, хотя некоторые авторы пишут числовые метки без скобок.

Размерность D(a) равна сумме размерностей блоков:

${\displaystyle \dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^{(k)}(a)]}$

Если это невозможно, то есть ${\displaystyle k=1}$, то представление неразложимо[2][4].

Все группы ${\displaystyle G}$ имеют одномерное неприводимое тривиальное представление. Более обще, любое одномерное представление является неприводимым ввиду отсутствия собственных нетривиальных подпространств.

Неприводимые комплексные представления конечной группы G можно описать с помощью результатов из теории характеров. В частности, все такие представления разложимы в прямую сумму неприводимых представлений и число неприводимых представлений группы ${\displaystyle G}$ равно числу классов сопряжённости ${\displaystyle G}$[5].

• Неприводимые комплексные представления ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ в точности задаются отображениями ${\displaystyle 1\mapsto \gamma }$, где ${\displaystyle \gamma }$ является ${\displaystyle n}$-м корнем из единицы.

• Пусть ${\displaystyle V}$ будет ${\displaystyle n}$-мерным комплексным представлением ${\displaystyle S_{n}}$ с базисом ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n}}$. Тогда ${\displaystyle V}$ разлагается как прямая сумма неприводимых представлений

${\displaystyle V_{triv}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)}$

и ортогональное подпространство задаётся формулой:

${\displaystyle V_{std}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}}$

Первое неприводимое представление является одномерным и изоморфен тривиальному представлению ${\displaystyle S_{n}}$. Второе является ${\displaystyle n-1}$ мерным и известно как стандартное представление ${\displaystyle S_{n}}$[5].

• Пусть ${\displaystyle G}$ — группа. Регулярное представление группы ${\displaystyle G}$ является свободным комплексным векторным пространством с базисом ${\displaystyle \{e_{g}\}_{g\in G}}$ с групповым действием ${\displaystyle g\cdot e_{g'}=e_{gg'}}$, обозначаемым как ${\displaystyle \mathbb {C} G.}$ Все неприводимые представления ${\displaystyle G}$ появляются в разложении ${\displaystyle \mathbb {C} G}$ как прямая сумма неприводимых представлений.

Неприводимые представления D(K) и D(J), где J является генератором вращений, а K является генератором бустов, могут быть использованы для построения спинорного представления группы Лоренца, поскольку они связаны со спиновыми матрицами квантовой механики. Это позволяет использовать их для вывода релятивистских волновых уравнений[7].

• Простой модуль
• Неразложимый модуль
• Представление ассоциативной алгебры

• Представление алгебры Ли
• Теория представления группы SU(2)
• Теория представления группы SL2(R)
• Теория представления группы Галилея
• Теория представления диффеоморфизмов групп
• Теория представления группы Пуанкаре
• Теорема о старшем весе