Модель растущего разнообразия товаров

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. В экономике существует три сектора: промежуточных товаров, конечных товаров и НИОКР. Сектор конечной продукции работает в условиях совершенной конкуренции. Сектор промежуточной продукции работает в условиях монополистической конкуренции. Сектор НИОКР продает свои патенты на изобретенные продукты сектору промежуточных товаров. Экономический рост в модели происходит за счёт увеличения числа промежуточных товаров. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Время ${\displaystyle t}$ изменяется непрерывно[12][13].

Трудовые ресурсы ${\displaystyle L}$, считающиеся в модели постоянными (${\displaystyle L=const}$), распределены между секторами производства конечной продукции и НИОКР[12]:

${\displaystyle L=L_{Y}+L_{RD}}$,

где ${\displaystyle L_{Y}}$ — трудовые ресурсы, занятые в производстве, которые в модели считаются постоянными во времени, ${\displaystyle L_{Y}=const}$, ${\displaystyle L_{RD}}$ — трудовые ресурсы в научно-исследовательском секторе, ${\displaystyle L_{RD}=const}$.

Производственная функция обладает убывающей предельной производительностью, постоянной отдачей от масштаба и представляет собой функцию Диксита — Стиглица[12]:

${\displaystyle Y_{t}=AL_{Y}^{1-\alpha }\int \limits _{0}^{N_{t}}x_{j}^{\alpha }dj}$,

где ${\displaystyle Y_{t}}$ — выпуск конечного продукта, ${\displaystyle A}$ — уровень технологической производительности в экономике, ${\displaystyle A=const}$, ${\displaystyle \alpha }$ — эластичность выпуска по промежуточному товару, ${\displaystyle 0<\alpha <1}$, ${\displaystyle \alpha =const}$, ${\displaystyle x_{j}}$ — количество используемого ${\displaystyle j}$-го промежуточного продукта, ${\displaystyle N_{t}}$ — количество промежуточных продуктов в экономике в момент времени ${\displaystyle t}$.

Физический капитал ${\displaystyle K}$ в экономике равен сумме промежуточных продуктов, каждый из которых полностью используется в производственном цикле[14]:

${\displaystyle K_{t}=\int \limits _{0}^{N_{t}}x_{j}dj}$.

Цена единицы выпуска конечного продукта в модели: ${\displaystyle P=1}$. Это означает, что цены промежуточных продуктов даны как отношение к цене конечного продукта: ${\displaystyle p_{j}={\frac {P_{j}}{P}}}$. Реальная заработная плата равна ${\displaystyle w={\frac {W}{P}}}$.

Инвестиции ${\displaystyle I}$ в модели равны сбережениям ${\displaystyle S}$ и вычисляются исходя из тождества системы национальных счетов[12]:

${\displaystyle I_{t}={\dot {K}}=Y_{t}-C_{t}}$,

где ${\displaystyle C_{t}=c_{t}L}$ — совокупное потребление, ${\displaystyle c_{t}}$ — потребление на единицу труда в момент времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle {\dot {K}}}$ — производная капитала по времени.

Функция полезности потребителя обладает постоянной эластичностью замещения по времени, как и в модели Рамсея — Касса — Купманса[12]:

${\displaystyle U(c)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\rho t}{\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}dt}$,

где ${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}}$ — эластичность замещения по времени, ${\displaystyle \theta >0}$, ${\displaystyle \theta =const}$, ${\displaystyle {\rho }}$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, ${\displaystyle \rho >-1}$, ${\displaystyle \rho =const}$. Функция удовлетворяет условиям ${\displaystyle u'(c)>0,u''(c)<0}$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u'(c)=+\infty$ ;\ \lim _{c\to \infty }u'(c)=0} .

Как и в модели Рамсея — Касса — Купманса, доходы индивида состоят из заработной платы ${\displaystyle w}$ и поступлений от активов ${\displaystyle ra_{t}}$. Активы индивида ${\displaystyle a_{t}}$ могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка ${\displaystyle r_{t}}$ по вложениям и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новых[15]:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }a_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geqslant 0}$,

где ${\displaystyle a_{t}={\frac {K_{t}}{L_{t}}}=k_{t}}$ — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида ${\displaystyle a}$ совпадает с запасом капитала на одного работающего.

Сектор конечной продукции работает в условиях совершенной конкуренции. Задача фирмы-производителя конечных товаров выглядит следующим образом[12][16]:

${\displaystyle AL_{Y}^{1-\alpha }\int \limits _{0}^{N_{t}}x_{j}^{\alpha }dj-\int \limits _{0}^{N_{t}}p_{j}x_{j}dj-wL_{Y}\longrightarrow {\underset {x_{j},L_{Y}}{\max }}}$,

Необходимые условия максимума выглядят следующим образом[12][16]:

${\displaystyle p_{j}=\alpha Ax_{j}^{\alpha -1}L_{Y}^{1-\alpha }\ \forall j}$,

${\displaystyle w=(1-\alpha )AL_{Y}^{-\alpha }\int \limits _{0}^{N_{t}}x_{j}^{\alpha }dj}$

Для упрощения вычислений автор принимает предпосылку о том, что все промежуточные продукты одинаковы[12] ${\displaystyle x_{j}=x\ \forall j}$, что означает, что и их цены равны: ${\displaystyle p_{j}=p_{x}\ \forall j}$. В этом случае функция спроса на ${\displaystyle j}$-й промежуточный продукт имеет вид:

${\displaystyle x_{j}=x=L_{Y}\left(A{\frac {\alpha }{p_{x}}}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}}$.

Далее вводится предпосылка о том, что ввод нового ${\displaystyle (j+1)}$-го товара вознаграждается монополией на его производство, а издержки единицы промежуточного продукта равны ${\displaystyle \gamma }$. Тогда задача максимизации прибыли монополиста-производителя нового товара примет следующий вид:

${\displaystyle \alpha Ax_{j+1}^{\alpha -1}L_{Y}^{1-\alpha }-\gamma x_{j+1}\longrightarrow {\underset {x_{j+1}}{\max }}}$.

Откуда следует, что цена нового товара равна: ${\displaystyle p_{j+1}={\frac {\gamma }{\alpha }}}$.

Поскольку действует предпосылка о симметрии, это означает, что цены всех промежуточных товаров ${\displaystyle x_{j}}$ равны между собой. В итоге получаем производственную функцию следующего вида[17]:

${\displaystyle Y_{t}=A^{\frac {1}{1-\alpha }}\left({\frac {\alpha ^{2}}{\gamma }}\right)^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}N_{t}L_{Y}}$.

Прибыль производителя промежуточного продукта — ${\displaystyle {\pi }_{x}}$ — равна[17]:

${\displaystyle {\pi }_{x}=(1-{\alpha }){\gamma }^{-\alpha }{\alpha }^{\frac {1+{\alpha }}{1-{\alpha }}}A^{\frac {1}{1-{\alpha }}}L_{Y}=const}$.

Патент в модели даёт монопольное право на производство одного вида промежуточного продукта. Цена патента равна стоимости будущей дисконтированной прибыли фирмы-монополиста. ${\displaystyle q}$ — цена патента, имеет следующий вид[12][18]:

${\displaystyle q={\pi }_{x}\int \limits _{t}^{\infty }e^{-\int \limits _{t}^{s}r_{\nu }d{\nu }}ds}$,

где ${\displaystyle r}$ — процентная ставка.

Производная ${\displaystyle q}$ по времени имеет следующий вид: ${\displaystyle {\dot {q}}=-{\pi }_{x}+r_{t}q_{t}}$.

Производственная функция научного-исследовательского сектора в модели находится из следующего дифференциального уравнения[18]:

${\displaystyle {\dot {N}}=bL_{RD}N_{t}}$,

где ${\displaystyle b}$ — производительность в научно-исследовательском секторе, ${\displaystyle b=const}$, ${\displaystyle {\dot {N}}}$ — производная количества промежуточных продуктов по времени, также предполагается положительный внешний эффект от количества промежуточных товаров ${\displaystyle N_{t}}$.

Научно-исследовательский сектор работает в условиях совершенной конкуренции, потому цена патента ${\displaystyle q}$ равна предельным издержкам по разработке новой технологии ${\displaystyle \eta }$[18]:

${\displaystyle q={\frac {w}{bN}}=const=\eta }$.

Доходы индивида расходуются либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережений). С учетом того, что население постоянно, бюджетное ограничение имеет вид:

${\displaystyle {\dot {a}}=w_{t}+r_{t}a_{t}-c}$.

Задача потребителя, как и в большинстве других моделей экономического роста, в том, чтобы максимизировать свою полезность. Максимум функции полезности ${\displaystyle U(c)}$ находится путём построения функции Гамильтона и нахождения её максимума с помощью принципа максимума Понтрягина.

Решение выглядит следующим образом[19][20]:

${\displaystyle {\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-{\rho })}$,

где ${\displaystyle {\dot {c}}}$ — производная потребления на душу населения по времени.

В устойчивом состоянии темпы роста потребления равны темпам роста выпуска и капитала, а в равновесном состоянии цена патента ${\displaystyle q}$ постоянна, потому[24][25]:

${\displaystyle r_{t}={\frac {\pi }{q}}}$,

${\displaystyle {\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {\dot {Y}}{Y}}={\frac {\dot {K}}{K}}={\frac {1}{\theta }}\left({\frac {\pi }{q}}-{\rho }\right)={\frac {1}{\theta }}({\alpha }bL_{Y}-{\rho })=const}$,

где ${\displaystyle {\dot {Y}}}$ — производная выпуска по времени.

Таким образом, внутренние параметры модели определяют темпы экономического роста без участия экзогенно задаваемой нормы сбережений.

Оптимальные с точки зрения общества в целом темпы роста находятся из решения следующей задачи централизованного планирования[12][26]:

${\displaystyle \max \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {C^{1-{\theta }}}{1-{\theta }}}e^{-{\rho }t}dt}$

при условиях

${\displaystyle {\dot {K}}=Y_{t}-C_{t}=K_{t}^{\alpha }AL_{Y}^{1-\alpha }N^{1-\alpha }-C_{t}}$,

${\displaystyle {\dot {N}}=bL_{RD}N_{t}}$,

${\displaystyle L_{Y}+L_{RD}=L}$.

Исходя из фазовых координат и условий максимума первого порядка находятся оптимальные темпы роста[28]:

${\displaystyle {\Biggl (}{\frac {\dot {Y}}{Y}}{\Biggr )}_{opt}={\frac {1}{\theta }}((1-\alpha )^{-{\frac {1}{\alpha }}}\alpha bL-{\rho })}$.

Более высокие темпы роста при централизованном планировании (поскольку ${\displaystyle (1-\alpha )^{-{\frac {1}{\alpha }}}>1}$)[28], чем при максимизации прибылей фирм-монополистов, достигаются за счёт того, что, во-первых, учитывается весь объём выпуска, а не только прибыль монополистов, во-вторых, учитывается отдача всех трудовых ресурсов ${\displaystyle L}$, а не только тех, которые формируют прибыль монополистов, и в-третьих, уровень финансирования научно-исследовательского сектора выше. Однако данные темпы роста достижимы лишь в теории, механизма перехода к оптимальным параметрам модель не предполагает[29].