Симметрия в математике

С каждым видом геометрии Феликс Клейн связывал лежащую в основе групп симметрии. Иерархия геометрий тогда представляется иерархией этих групп и иерархией их инвариантов. Например, длины, углы и площади сохраняются в евклидовой группе симметрий, в то время как только структура инцидентности и двойное отношение сохраняется в более общих проективных преобразованиях. Понятие параллельности, которое сохраняется в аффинной геометрии, не имеет смысла в проективной геометрии. Таким образом, отделяя группы симметрий от геометрий, связи между симметриями можно установить на уровне групп. Поскольку группа аффинной геометрии является подгруппой проективной геометрии, любое понятие инварианта в проективной геометрии априори имеет смысл в аффинной геометрии, что неверно в обратном направлении. Если добавить требуемые симметрии, получите более сильную теорию, но меньше понятий и теорем (которые будут глубже и более общими).

Уильям Тёрстон ввёл похожую версию симметрий в геометрии. Модель геометрии — это односвязное гладкое многообразие X вместе с транзитивной операцией группы Ли G на X с компактными стабилизаторами. Группу Ли можно рассматривать как группу симметрий геометрии.

Модель геометрии называется максимальной, если G максимальна среди групп, действующих гладко и транзитивно на X с компактными стабилизаторами, то есть, если она является максимальной группой симметрий. Иногда это определение включают в определение модели геометрии.

Геометрическая структура на многообразии M — это дифференцируемый морфизм из M в X/Γ для некоторой модели геометрии X, где Γ — это дискретная подгруппа G, действующая свободно на X. Если данное многообразие допускает геометрическую структуру, то оно допускает структуру, модель которой максимальна.

Трёхмерная модель геометрии X относится к теореме геометризации, если она максимальна и если существует по меньшей мере одно многообразие с геометрической структурой на X. Тёрстон классифицировал 8 моделей геометрий, удовлетворяющих этим условиям. Эти симметрии называются иногда геометриями Тёрстона. (Существует также бесконечно много моделей геометрий компактных стабилизаторов.)

ƒ(x) = x² является примером чётной функции.

Пусть f(x) — функция вещественной переменной с вещественными значениями. f является чётной, если в области определения f

${\displaystyle f(x)=f(-x)}$

Говоря геометрически, график чётной функции симметричен относительно оси y, что означает, что он не изменится при отражении относительно оси y.

Примерами чётных функций могут служить |x|, x², x⁴, cos(x) и cosh(x).

ƒ(x) = x³ является примером нечётной функции.

Снова пусть f(x) — функция вещественной переменной с вещественными значениями. f является нечётной, если в области определения f

${\displaystyle -f(x)=f(-x)\,,}$

или

${\displaystyle f(x)+f(-x)=0\,.}$

Геометрически граф нечётной функции имеет симметрию вращения относительно начала координат, в том смысле, что график функции не изменится, если его повернуть на 180 градусов относительно начала координат.

Нечётными функциями являются x, x³, sin(x), sinh(x) и erf(x).

Интеграл нечётной функции от −A до +A равен нулю (где A конечно и функция не имеет вертикальных асимптот между −A и A).

Интеграл чётной функции от −A до +A равен удвоенному интегралу от 0 до +A (где A конечно и функция не имеет вертикальных асимптот между −A и A. Это верно и для бесконечого A, но только в том случае, когда интеграл сходится).

• Ряд Маклорена чётной функции содержит только чётные степени.
• Ряд Маклорена нечётной функции содержит только нечётные степени.
• Ряд Фурье периодической чётной функции содержит только косинусы.
• Ряды Фурье периодической нечётной функции содержит синусы.

В линейной алгебре симметричная матрица — это квадратная матрица, которая не меняется при транспонировании. Формально матрица A симметрична, если

${\displaystyle A=A^{\top }}$

и, по определению равенства матриц, размеры матриц должны совпадать, так что только квадратная матрица может быть симметричной.

Элементы симметричной матрицы симметричны относительно главной диагонали. Таким образом, если элементы матрицы равны A = (a_ij), то a_ij = a_ji для всех индексов i и j.

Следующая матрица 3×3 симметрична:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}.}$

Любая квадратная диагональная матрица симметрична, поскольку все её недиагональные элементы равны нулю. Все диагональные элементы кососимметричной матрицы должны быть нулевыми, поскольку должны равняться своему отрицательному значению.

В линейной алгебре вещественная симметричная матрица представляет самосопряжённый оператор над вещественным унитарным пространством. Соответствующий объект для комплексного унитарного пространства — Эрмитова матрица с комплексными элементами, которая равна своей Эрмитово-сопряжённой матрице. Таким образом, в линейной алгебре над комплексными числами часто под симметричной матрицей подразумевается матрица с вещественными элементами. Симметричные матрицы появляются естественным образом в различных приложениях и, как правило, пакеты линейной алгебры для них имеют выделенные процедуры.

Симметрическая группа S_n на конечном множестве из n символов — это группа, элементами которой являются перестановки n символов и операция в этой группе — композиция таких перестановок. Эти операции трактуются как биективные функции множества символов на себя.[1]. Из того, что существует n! (n факториал) возможных перестановок множества из n символов, следует, что порядок группы (число элементов) симметрической группы S_n равен n!.

Симметрический многочлен — это многочлен P(X₁, X₂, …, X_n) от n переменных, не меняющийся при перестановке его переменных. Формально P — симметрический многочлен, если для любой перестановки σ индексов 1, 2, …, n имеем P(X_σ(1), X_σ(2), …, X_σ(n)) = P(X₁, X₂, …, X_n).

Симметрические многочлены появляются естественным образом при изучении связи корней многочлена одной переменной и его коэффициентов, поскольку коэффициенты можно выразить через полиномы от корней, и все корни в этих выражениях играют одинаковую роль. С этой точки зрения основные симметрические многочлены являются наиболее фундаментальными симметрическими многочленами. Фундаментальная теорема о симметрических многочленах утверждает, что любой симметрический многочлен может быть выражен через основные симметрические многочлены, из чего следует, что любое симметричное полиномиальное выражение над корнями нормированного многочлена можно представить как полиномиальное выражение над коэффициентами многочлена.

Для двух переменных X₁, X₂ симметрическими многочленами будут

• ${\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7}$
• ${\displaystyle 4X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{2}^{3}+(X_{1}+X_{2})^{4}}$

Для трёх переменных X₁, X₂, X₃ симметрическим будет, например,

• ${\displaystyle X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}}$

В математике симметричный тензор  — это тензор, не меняющийся при перестановке его аргументов:

${\displaystyle T(v_{1},v_{2},\dots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\dots ,v_{\sigma r})}$

для любой перестановки σ индексов {1,2,…,r}. Можно также представить симметричный тензор с валентностью r как

${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}.}$

Пространство симметричных тензоров валентности r над конечномерным пространством естественно изоморфно двойственному пространству однородных многочленов степени r на V. Над полем с нулевой характеристикой градуированное векторное пространство всех симметричных тензоров можно естественным образом отождествить с симметрической алгеброй на V. Связанной концепцией является антисимметричный тензор или альтернированная форма. Симметричные тензоры часто встречаются в инженерном деле, физике и математике.

Если задан многочлен, возможно, что некоторые корни связаны различными алгебраическими уравнениями. Например, может оказаться, что для двух корней, скажем, A и B, ${\displaystyle A^{2}+5B^{3}=7}$. Центральной идеей теории Галуа является факт, что при перестановке корней они продолжают удовлетворять всем этим уравнениям. Важно, что при этом мы ограничиваем себя алгебраическими уравнениями, коэффициенты которых являются рациональными числами. Таким образом, теория Галуа изучает симметрии, унаследованные от алгебраических уравнений.

В общей алгебре автоморфизм — это изоморфизм математического объекта на себя. Таким образом, в некотором смысле он является симметрией объекта и способом отображеннием объекта на себя с сохранением внутренней структуры. Множество всех автоморфизмов объекта образует группу, называемую группой автоморфизмов. Она является, грубо говоря, группой симметрии объекта.

• В теории множеств произвольная перестановка элементов множества X является автоморфизмом. Группа автоморфизмов X называется также симметрической группой на X.
• В элементарной арифметике множество целых чисел Z, если рассматривать его как группу по сложению, имеет единственный нетривиальный автоморфизм — отрицательное значение числа. Если же рассматривать его как кольцо, оно будет иметь только тривиальный автоморфизм. Вообще говоря, отрицание является автоморфизмом любой абелевой группы, но не кольца или поля.
• Автоморфизм группы — это изоморфизм группы группы на себя. Неформально, это перестановка элементов группы, при которой структура группы остаётся неизменной. Для любой группы G существует естественный гомоморфизм группы G → Aut(G), образ которого является группой Inn(G) внутреннего автоморфизма и ядро которого является центром G. Так, если G имеет тривиальный центр, она может быть вложена в свою собственную группу автоморфизмов[2].
• В линейной алгебре эндоморфизм векторного пространства V — это линейный оператор V → V. Автоморфизм — это обратимый линейный оператор на V. Если векторное пространство конечномерное, автоморфизм группы V — это то же самое, что полная линейная группа, GL(V).
• Автоморфизм поля — это биективный гомоморфизм поля на себя. В случае рациональных чисел (Q) и вещественных чисел (R) не существует нетривиальных автоморфизмов полей. Некоторые подполя R имеют нетривиальные автоморфизмы, которые, однако, нельзя распространить на всё поле R (поскольку они не сохраняют свойство числа иметь квадратный корень в R). В случае комплексных чисел C существует единственный нетривиальный автоморфизм, переводящий R в R — сопряжение числа, но также имеется бесконечно много (несчётно) «диких» автоморфизмов (если принимается аксиома выбора).[3] Автоморфизмы полей играют важную роль в теории расширения полей, в частности расширений Галуа. В случае расширений Галуа L/K подгруппа всех автоморфизмов L, сохраняющая K поточечно, называется группой Галуа расширения.

В квантовой механике бозоны имеют представления, симметричные относительно перестановки операторов, а фермионы имеют антисимметричные представления.

Из этого следует принцип исключения Паули для фермионов. Фактически принцип исключения Паули с однозначной волновой функцией многих частиц эквивалентен требованию антисимметричности волновой функции. Антисимметрия состояния двух частиц представляется как сумма состояний, в котором одна частица находится в состоянии ${\displaystyle \scriptstyle |x\rangle }$, а другая — в состоянии ${\displaystyle \scriptstyle |y\rangle }$:

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{x,y}A(x,y)|x,y\rangle }$

и антисимметрия при обмене переменных означает, что A(x,y) = −A(y,x). Из этого следует, что A(x,x) = 0, что является исключением Паули. Утверждение остаётся верным в любом базисе, поскольку единичные изменения базиса сохраняют антисимметричные матрицы антисимметричными, хотя и, строго говоря, величина A(x,y) не является матрицей, а является антисимметричным тензором второго порядка.

Обратно, если диагональные элементы A(x,x) нулевые в любом базисе, то составляющая волновой функции

${\displaystyle A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |(|x\rangle \otimes |y\rangle )}$

обязательно антисимметрична. Чтобы это проверить, рассмотрим элемент матрицы

${\displaystyle \langle \psi |((|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ))}$

Он равен нулю, поскольку две частицы имеют нулевую вероятность одновременно оказаться в состоянии ${\displaystyle \scriptstyle |x\rangle +|y\rangle }$. Но это эквивалентно

${\displaystyle \langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle }$

Первый и последний член в правой части являются диагональными элементами и равны нулю, и полная сумма равна нулю. Таким образом, для элементов матрицы волновой функции выполняется

${\displaystyle \langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0}$.

или

${\displaystyle A(x,y)=-A(y,x)}$

Мы называем отношение симметричным, если каждый раз, когда выполняется от A к B, то выполняется и от B к A. Заметим, что симметрия не является противоположностью антисимметрии.

Изометрия — это сохраняющее расстояние отображение метрических пространств. Пусть задано метрическое пространство, или множество и схема вычисления расстояния между элементами множества. Изометрия — это преобразование, которое отображает элементы в другое метрическое пространство, такое, что расстояние между элементами в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементами исходного пространства. В двумерном или трёхмерном пространстве две геометрические фигуры конгруэнтны, если они связаны изометрией — либо движением абсолютно твёрдого тела, либо композицией движения и отражения.