Модель Диксита — Стиглица — Кругмана

П. Кругман дополняет базовую модель монополистической конкуренции (модель Диксита — Стиглица), интегрируя возрастающую отдачу от масштаба с несовершенной конкуренцией[1].

Модель имеет ряд допущений:

• Все потребители одинаковы (имеют одинаковые предпочтения)
• Потребители потребляют всего два товара (промышленные и сельскохозяйственные товары)
• Потребители имеют функцию предпочтения формы Кобба — Дугласа:

${\displaystyle U=M^{a}A^{1-a}}$,

где А – потребление агрегированного сельскохозяйственного товара, М – подфункция полезности от потребления этих товаров (индекс потребления этих товаров), a - постоянная доля каждого вида товаров в бюджете потребителей.

• Предпочтения промышленных товаров описываются функцией с постоянной эластичностью замещения:

${\displaystyle M=(\int _{0}^{n}m(i)^{p}di)^{1/p}}$,

где 0<p<1, n — разновидности промышленных товаров, каждая потребляется в объеме m (i), i – номер разновидности товара, p — степень заменяемости двух любых разновидностей друг другом.

• Эластичность замещения между разновидностями промышленных товаров:

${\displaystyle b=1/(1-p)}$,

• Бюджетное ограничение потребителя:

${\displaystyle Y=p^{A}A+\int _{0}^{n}p(i)m(i)di}$,

где ${\displaystyle p^{A}}$ — цена единицы продуктов питания, ${\displaystyle p(i)}$ - цена единицы промышленного товара разновидности i, Y – доход потребителя, который максимизирует полезность при ограниченном бюджете.

• Компенсированный спрос:

${\displaystyle m(j)=(p(j)/G)^{-b}M}$,

где G – индекс цен на промышленные товары, М – индекс потребления промышленных товаров (аналог их количества)

Максимизация полезности потребителя:

${\displaystyle maxU=M^{a}A^{1-a}}$,

при ${\displaystyle Y=GM+p^{A}A}$

Некомпенсированный спрос потребителя на сельскохозяйственные товары: ${\displaystyle A=(1-a)Y/p^{A}}$,

Некомпенсированный спрос потребителя на промышленные товары: ${\displaystyle m(j)=aYp(j)^{-b}/G^{-(b-1)}}$, для j є[0,n],

Максимизированная полезность потребителя: ${\displaystyle U=a^{a}(1-a)^{1-a}YG^{-a}(p^{A})^{-(1-a)}}$,

где ${\displaystyle G^{a}(p^{A})^{1-a}}$ - агрегированный индекс цен, отражающий стоимость жизни для потребителей

Цены на все промышленные товары: ${\displaystyle G=p^{M}n^{1/(1-b)}}$.

Включаем транспортные издержки, когда сельскохозяйственные и промышленные товары перевозятся между городами с издержками, так что из каждой единицы, отправленного из города r в город s доезжает меньше, разница тает по дороге (технологию транспортировки айсберга)[1]:

${\displaystyle G_{s}=(\sum _{r=1}^{R}n_{r}(p_{r}^{M}T_{rs}^{M})^{1-b})^{1/(1-b)}}$, s=1,…,R,

где ${\displaystyle G_{s}}$ — индекс цен в городе s, R – различные города, ${\displaystyle n_{r}}$ - производство разновидностей в городе r, ${\displaystyle p_{r}^{M}}$ - цена у ворот завода, ${\displaystyle p_{rs}^{M}=p_{r}^{M}T_{rs}^{M}}$— цена товара, привезенного в город s из r.

Суммарный спрос по всем городам s на разновидность товара, произведенную в городе r:

${\displaystyle q_{r}^{M}=a\sum _{s=1}^{R}Y_{s}(p_{r}^{M}T_{rs}^{M})^{-b}G_{s}^{1-b}T_{rs}^{M}}$,

Производство сельскохозяйственных товаров происходит с постоянной отдачей в условиях совершенной конкуренции, а производство промышленных товаров происходит в условиях экономии масштаба, который возникает из-за уровня разнообразия, но не за счет объема или множественности операций. Технология одинакова для всех разнообразий и во всех локациях (городах), а при условиях единственного фактора производства (труда) общие затраты на производство промышленных товаров составят[1]:

${\displaystyle l^{M}=F+c^{M}q^{M}}$,

где ${\displaystyle F}$ — постоянные издержки труда, ${\displaystyle c^{M}}$ — предельные затраты труда, ${\displaystyle q^{M}}$ — количество продукции.

Так как потребители получают полезность от разнообразия, а количество разновидностей не ограничено, то каждый производитель создает свой продукт, таким образом в каждой местности находится своя специализированная фирма.

Прибыль фирмы, работающие в городе r:

${\displaystyle h_{r}=p_{r}^{M}q_{r}^{M}-w_{r}^{M}(F+c^{M}q_{r}^{M})}$,

где ${\displaystyle w_{r}^{M}}$ — стоимость единицы труда работников, занятых в производстве промышленных товаров в городе r.

При заданном индексе цен ${\displaystyle G_{s}}$, с учетом эластичности спроса, максимизирующая прибыль подразумевает:

${\displaystyle p_{r}^{M}=w_{r}^{M}c^{M}b/(b-1)}$,

${\displaystyle q^{E}=F(b-1)/c^{M}}$, при h=0

где ${\displaystyle q^{E}}$ — выпуск фирмы в ситуации равновесия, не зависящий от расположения фирмы, размера рынка, а только от параметров технологии и эластичности спроса, когда менее эластичный спрос (при меньшей величине b) уменьшает размеры фирм и увеличивает количество разновидностей при заданном бюджете потребителей

${\displaystyle l^{E}=F+c^{M}q^{E}=Fb}$, при h=0

где ${\displaystyle l^{E}}$, - спрос фирмы на труд в ситуации равновесия

${\displaystyle n_{r}^{E}=L_{r}^{M}/l^{E}=L_{r}^{M}/Fb}$, при h=0

где число фирм в городе r, в котором предлагается ${\displaystyle L_{r}^{M}}$ в условиях равновесия. Отсюда размер рынка не влияет ни на процент надбавки к предельным издержкам, ни на масштаб производства отдельных товаров. Возрастающая отдача от масштаба работает через изменения в ассортименте (разнообразии) товаров[1].

Уравнение оплаты труда при производстве промышленных товаров в условиях равновесия, то есть производители, максимизируя прибыль, находятся в точке безубыточности, а потребители максимизируют полезность с учетом бюджетного ограничения[1]:

${\displaystyle w_{r}^{M}=((b-1)/c^{M}b)(a/q^{E}\sum _{s=1}^{R}Y_{s}(T_{rs}^{M})^{1-b}G_{s}^{b-1})^{1/b}}$,

Оплата труда выше, чем ниже транспортные издержки, богаче рынки сбыта фирмы и выше уровень цен на этих рынках, лучший доступ на этот рынок, меньше конкуренции на рынке.

Реальный уровень зарплаты сотрудников промышленности в местности r:

${\displaystyle w_{r}^{M}=w_{r}^{M}G^{-a}(p^{A})^{-(1-a)}}$,

Реальный доход в каждой точке пропорционален номинальному доходу с поправкой на индекс стоимости жизни: ${\displaystyle G^{a}(p^{A})^{1-a}}$

Сделав ряд допущений[1]: при ${\displaystyle c^{m}=(b-1)/b=p}$ и ${\displaystyle p_{r}^{M}=w_{r}^{M}}$, чтобы ${\displaystyle n_{r}^{E}=L_{r}^{M}/a}$, а ${\displaystyle F=a/b}$, тогда ${\displaystyle q^{E}=l^{E}=a}$:

${\displaystyle G_{r}=(1/a\sum _{s=1}^{R}L_{s}^{M}(w_{s}^{M}T_{rs}^{M})^{(}1-b))^{1/(1-b)}}$

${\displaystyle w_{r}^{M}=(\sum _{s=1}^{R}Y_{s}(T_{rs}^{M})^{(1-b)}G_{s}^{b-1})^{1/b}}$,

Два последних уравнения характеризуют равновесие и устойчивость модели, что смещает анализ от количества производителей и цен на продукты к анализу количества промышленных рабочих и к уровню их зарплаты.

При условии существовании двух городов, транспортные издержки внутри каждого города равны нулю[1]. ${\displaystyle (1-b)dG/G=L/a(G/w)^{b-1}(1-T^{1-b})(dL/L+(1-b)dw/w)}$,

${\displaystyle bdw/w=Y/w(G/w)^{b-1}(1-T^{1-b})(dY/Y+(1-b)dG/G)}$,

Отсюда отмечаем эффект индекса цен — прямой эффект изменения в распределении промышленности от индекса промышленных товаров. Предложение труда совершенно эластично ${\displaystyle dw=0}$, таким образом увеличение занятости в промышленности снижает индекс цен (при 1-b<0 и T>1). Снижение цен происходит из-за уменьшения числа перевозок разновидностей товара из одного города в другой, что приводит к снижению общих транспортных расходов.

Эффект будет слабее (нивелирован) при неэластичном предложении труда и низких фиксированных издержках ${\displaystyle dw>0}$, то есть при высокой конкуренции на рынке труда со стороны нанимателей.

${\displaystyle (b/Z+Z(1-b))dw/w+ZdL/L=dY/Y}$,

где ${\displaystyle Z=(1-T)^{1-b}/(1+T)^{1-b}}$,

Отсюда отмечаем эффект домашнего рынка — более крупный рынок производит больше товаров и экспортирует промышленные товары из-за того, что рост спроса увеличивает число разновидностей товара на рынке, что снижает индекс цен, при прочих равных условиях. При совершенно эластичном предложении рабочей силы (dw=0) увеличение спроса на 1% ведет к увеличению занятости, а значит и производства, более чем на 1%. При dw>0 часть расходов уходит в рост зарплат, а значит при прочих равных условиях на более крупных рынках более высокие номинальные и реальные зарплаты. А в целом дает кумулятивный эффект для создания агломерации: небольшой прирост спроса вызывает диспропорционально больший прирост занятости, а значит еще прирост спроса и т.д.

При рассмотрении закрытой экономики при Z=1[1]:

${\displaystyle dw/w=(1-a)dY/Y+(ab/(b-1)-1)dL/L}$,

При условии (1-a)>0, рост дохода увеличивает реальную зарплату при фиксированной занятости, поскольку производители производят больше, а труд единственный фактор производства.

При росте занятости в промышленном секторе закрытой экономики до уровня постоянных расходов (dY=0), постоянных номинальных доходах и при фиксированном спросе, реальная зарплата стремится к снижению (бюджет потребителей фиксирован и распределяется на большее число работников). Однако рост занятости в производстве увеличивает количество разновидностей изготовления продукции, уменьшает G, и стремится повысить реальный доход. Последний эффект может быть сильней предыдущего: при сильном эффекте экономии от масштаба экономика страны начинает агломерировать в единую точку. Чтобы исключить ситуацию, когда прирост занятости будет увеличивать реальную зарплату в одном городе, а в этот город начнут приезжать еще рабочие, от этого зарплата будет расти и т.д., пока этот город не соберет всех рабочих в экономике, то есть станет «черной дырой» на рынке труда, используем условие отсутствия «черной дыры»:

${\displaystyle (ab/(b-1)-1)<0}$ или ${\displaystyle (b-1)/b=p>a}$.

Распределение промышленности между двумя регионами, изначально поровну наделёнными трудовыми ресурсами. Сплошной линией обозначено устойчивое равновесие, пунктирной — неустойчивое равновесие; K — точка бифуркации

Задаем динамику перемещения работников между городами: рабочие едут в регионы, в которых реальная зарплата выше средневзвешенной, из регионов, где реальная зарплата ниже средневзвешенной[1]:

${\displaystyle dv_{r}/dt=y(w_{r}-\sum _{r}v_{r}w_{r})v_{r}=0}$,

где производство сельскохозяйственной продукции имеет постоянную экономию от масштаба и бесплатный провоз; фермеры получают одинаковую зарплату во всех регионах (${\displaystyle w^{A}=p^{A}=1}$); а промышленные с издержками ${\displaystyle 1/T_{rs}}$ единиц; рабочие не могут быть фермерами, и наоборот; модель двухсекторная (сельскохозяйственный и промышленный сектор); суммарное фиксированное предложение фермеров (${\displaystyle L^{A}}$) и рабочих (${\displaystyle L^{M}}$); в каждом регионе (r) фиксированная доля общего числа фермеров (${\displaystyle f_{r}}$) и рабочих (${\displaystyle v_{r}}$); ${\displaystyle L^{M}=a}$ и ${\displaystyle L^{A}=1-a}$; a — параметр предпочтения потребителей, технологии производства промышленных товаров и предложения труда.

Равновесие в модели наступает при решении системы 4R уравнений, определяющих доход потребителей (${\displaystyle Y_{r}}$), индекс цен на промышленные товары (${\displaystyle G_{r}}$), номинальные (${\displaystyle w_{r}^{M}}$) и реальные зарплаты (${\displaystyle w_{r}}$)[1]:

${\displaystyle Y_{r}=av_{r}w_{r}+(1-a)f_{r}}$,

${\displaystyle G_{r}=(\sum _{s=1}^{R}v_{s}(w_{s}^{M}T_{sr}^{M})^{1-b})^{1/(1-b)}}$,

${\displaystyle w_{r}^{M}=(\sum _{s=1}^{R}Y_{s}(T_{sr}^{M})^{1-b}G_{s}^{b-1})^{1/b}}$,

${\displaystyle w_{r}=w_{r}G_{r}^{-a}}$.

При относительно высоких транспортных издержках равновесие (устойчивое) наступает при симметрическом распределении рабочих по регионам. При относительно низких транспортных издержках равновесие неустойчиво, а значит, при любом колебании происходит полное концентрация в одном из регионов. При средних транспортных издержках модель имеет пять равновесий, два из которых неустойчиво: при большом или малом v равновесие с полной концентрацией промышленности в одном из регионов, в противном случае – симметрическое равновесие, которые отражены на диаграмме, что позволяет модель Диксита—Стиглица—Кругмана использовать в качестве базовой Новой экономической географии[10].