Модель Рамсея — Касса — Купманса

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт ${\displaystyle Y}$, используемый, как для потребления ${\displaystyle C}$, так и для инвестиций ${\displaystyle I}$. Темпы технологического прогресса ${\displaystyle g}$, роста населения ${\displaystyle n}$ и норма выбытия капитала ${\displaystyle \delta }$ — постоянны и задаются экзогенно. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Время ${\displaystyle t}$ изменяется непрерывно[3][4][11][12].

Доходы индивида состоят из заработной платы ${\displaystyle w_{t}}$ и поступлений от активов ${\displaystyle ra_{t}}$. Активы индивида ${\displaystyle a_{t}}$ могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка ${\displaystyle r_{t}}$ по доходам с активов и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новых[13]:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }a_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geq 0}$,

где ${\displaystyle a_{t}={\frac {K_{t}}{L_{t}}}=k_{t}}$ — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида ${\displaystyle a}$ совпадает с запасом капитала на одного работающего ${\displaystyle k}$.

Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт и импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: ${\displaystyle S=I}$, ${\displaystyle Y=C+I}$[14].

Производственная функция ${\displaystyle Y(K,L,E)}$ удовлетворяет неоклассическим предпосылкам[15][16]:

1) технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду): ${\displaystyle Y_{t}=Y(K_{t},L_{t}E_{t}),E_{t}=e^{gt},g=const}$.

2) в производственной функции используются труд ${\displaystyle L}$ и капитал ${\displaystyle K}$, она обладает постоянной отдачей от масштаба: ${\displaystyle Y(aK,aLE)=aY(K,LE)}$.

3) предельная производительность факторов положительная и убывающая: ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}<0,{\frac {\partial Y}{\partial L}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial L^{2}}}<0}$.

4) производственная функция удовлетворяет условиям Инады, а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала: ${\displaystyle \lim _{K\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial L}}=+\infty ,\lim _{K\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial L}}=0}$.

5) для производства необходим каждый фактор: ${\displaystyle Y(K,0)=Y(0,LE)=0}$.

Население ${\displaystyle L_{t}}$, равное в модели совокупным трудовым ресурсам, растет с постоянным темпом ${\displaystyle n}$[17]: ${\displaystyle L_{t}=e^{nt},n=const}$[17].

Индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает натуральную заработную плату (в единицах товара). Функция полезности бесконечно живущего индивида-потребителя имеет вид[17][2]:

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }u(c_{t})e^{-(\rho -n)t}dt}$,

где ${\displaystyle c_{t}={\frac {C_{t}}{L_{t}}}}$ — потребление на душу населения в момент времени ${\displaystyle t}$; ${\displaystyle \rho }$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя,${\displaystyle \rho >0,\rho =const}$.

Функция полезности ${\displaystyle u(c_{t})}$ является сепарабельной, то есть потребление прошлых и будущих периодов не влияют на текущую полезность, влияет только потребление текущего периода. Она удовлетворяет условиям ${\displaystyle u'(c)>0,u''(c)<0}$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю)[18][4]: ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u'(c)=+\infty$ ;\lim _{c\to \infty }u'(c)=0} .

Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу труда ${\displaystyle y={\frac {Y}{L}}}$, выпуск на единицу эффективного труда ${\displaystyle {\hat {y}}={\frac {Y}{LE}}}$, запас капитала на единицу эффективного труда ${\displaystyle {\hat {k}}={\frac {K}{LE}}}$, потребление на единицу эффективного труда ${\displaystyle {\hat {c}}={\frac {C}{LE}}}$[19].

Доходы индивида расходуются либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережений). Население растет темпом ${\displaystyle n}$, поэтому активы на одного человека сокращаются с этим же темпом, то есть скорость изменения активов в каждый момент времени уменьшается на ${\displaystyle na_{t}}$. Таким образом, производная активов по времени ${\displaystyle {\dot {a}}}$, выступающая в качестве бюджетного ограничения индивида, имеет вид[20]:

${\displaystyle {\dot {a}}=w_{t}+r_{t}a_{t}-c-na_{t}}$.

Задача потребителя заключается в максимизации полезности ${\displaystyle U}$ при бюджетном ограничении и при ограничении на отсутствие схемы Понци. Поскольку бюджетное ограничение представлено как производная по времени, то задача потребителя представлена в виде задачи динамической оптимизации. Её решение можно найти путём построения функция Гамильтона и нахождения её максимума с помощью принципа максимума Понтрягина[21][22].

Искомое решение имеет вид[24][25]:

${\displaystyle r_{t}-n=\rho -n-{\biggl (}{\frac {u''(c)}{u'(c)}}c{\biggr )}{\frac {\dot {c}}{c}}}$,

где ${\displaystyle {\dot {c}}}$ — производная потребления по времени, ${\displaystyle {\frac {u''(c)}{u'(c)}}c}$ — эластичность предельной полезности по потреблению.

Поскольку для дальнейшего анализа необходимо, чтобы эта величина была постоянной, вводится дополнительная предпосылка о виде функции полезности: в качестве неё используют функцию с постоянной эластичностью замещения[26]:

${\displaystyle u(c)={\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}}$.

В таком случае, ${\displaystyle {\frac {u''(c)}{u'(c)}}c=-{\theta }}$, а значит[25]:

${\displaystyle {\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-\rho )}$,

где ${\displaystyle {\dot {c}}}$ — производная потребления на душу населения по времени.

Найденное решение называется правилом Кейнса — Рамсея. Оно было получено Фрэнком Рамсеем, а содержательную интерпретацию ему дал Джон Кейнс[1][27].

Производственную функцию ${\displaystyle Y=f(K,LE)=f({\hat {k}})LE}$ можно записать через удельные показатели: ${\displaystyle {\hat {y}}=f({\hat {k}})}$. Задача фирмы состоит в максимизации прибыли ${\displaystyle \pi }$[28]:

${\displaystyle \pi =f(K_{t},L_{t}E_{t})-(r+\delta )K_{t}-wL_{t}=L_{t}E_{t}{\biggl (}f({\hat {k_{t}}})-(r+\delta ){\hat {k_{t}}}-{\frac {w}{E_{t}}}{\biggr )}\rightarrow \max }$

Поскольку фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции, то предельные производительности факторов производства равны их ценам[15][28]:

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial K}}=f'({\hat {k_{t}}})=r_{t}+\delta }$,

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial L}}=(f({\hat {k_{t}}})-{\hat {k_{t}}}f'({\hat {k_{t}}}))e^{gt}=w_{t}}$.

Модель Рамсея — Касса — Купманса, фазовая плоскость

Модель Рамсея — Касса — Купманса, динамика нормы сбережений

Учитывая, что ${\displaystyle a=k}$, подставив полученные из решения задачи фирмы значения ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle w}$ в уравнение динамики активов, получим[29]:

${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}=f({\hat {k_{t}}})-{\hat {c}}-(\delta +n+g){\hat {k_{t}}}}$.

Поскольку ${\displaystyle {\frac {\dot {\hat {c}}}{\hat {c}}}={\frac {\dot {c}}{c}}-g}$[30], решение задачи потребителя можно записать в следующем виде[31]:

${\displaystyle {\frac {\dot {\hat {c}}}{\hat {c}}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-\rho -g\theta )={\frac {1}{\theta }}(f'({\hat {k_{t}}})-\delta -\rho -\theta g{\biggr )}}$.

В стационарном состоянии ${\displaystyle {\dot {\hat {c}}}={\dot {\hat {k}}}={\dot {\hat {y}}}=0}$. Откуда, получаем, что ${\displaystyle f'({\hat {k_{t}}})=\delta +\rho +\theta g}$. В итоге, устойчивое состояние описывается системой уравнений[30][29]:

${\displaystyle {\begin{cases}{\hat {c}}^{*}=f({\hat {k}}^{*})-(\delta +n+g){\hat {k}}^{*},\\f'({\hat {k}}^{*})=\delta +\rho +\theta g,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle {\hat {c}}^{*}}$ — потребление, а ${\displaystyle {\hat {k}}^{*}}$ — капиталовооружённость на единицу эффективного труда в устойчивом состоянии.

По условию трансверсальности[29]:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\biggl (}{\hat {k}}_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}({f'({\hat {k}}_{\nu })-\delta -g-n})d\nu }{\biggr )}=0}$,

откуда следует что ${\displaystyle f'({\hat {k}})>\delta +n+g}$. С учетом уравнения для ${\displaystyle {\frac {\dot {\hat {c}}}{\hat {c}}}}$, это условие означает, что для существование устойчивого состояния необходимо, чтобы ${\displaystyle \rho +\theta g>g+n}$. Также это означает, что в модели Рамсея — Касса — Купманса накопление капитала ниже, чем уровень максимизирующий потребление (модифицированное Золотое правило: ${\displaystyle {\frac {\partial f({\hat {k}}^{**})}{\partial k}}=\delta +n+g}$, где ${\displaystyle {\hat {k}}^{**}}$ — капиталовооружённость на единицу эффективного труда, соответствующая Золотому правилу), а значит, невозможна динамическая неэффективность в виде избыточного накопления капитала[32][33].

Достижение равновесия в модели можно проиллюстрировать при помощи фазовой плоскости. Линии ${\displaystyle {\dot {\hat {c}}}=0}$ и ${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}=0}$ делят диаграмму на четыре квадранта. Слева от линии ${\displaystyle {\dot {\hat {c}}}=0}$ траектория капиталовооружённости идет вверх, а справа от линии ${\displaystyle {\dot {\hat {c}}}=0}$ — вниз. Выше линии ${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}=0}$ траектория капиталовооружённости идет влево, а ниже линии ${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}=0}$ — вправо. Таким образом, в квадранте I траектория идет влево и вверх, в квадранте II — влево и вниз, в квадранте III — вправо и вниз, в квадранте IV — вправо и вверх. В итоге, в модели существует только одна траектория, ведущая к равновесию — зеленая линия на иллюстрации. На этой линии расположено множество точек ${\displaystyle {\hat {c}}_{0}}$ и ${\displaystyle {\hat {k}}_{0}}$, из которых система приходит в устойчивое состояние. Варианты траектории из других точек показаны красным, в этом случае в конечном итоге становится равной нулю либо капиталовооружённость (${\displaystyle {\hat {k}}=0}$), либо потребление (${\displaystyle {\hat {c}}=0}$)[34]. Поскольку оптимальная траектория капиталовооружённости в модели имеет вид седла, её также называют «седловой путь»[35].

Динамика нормы сбережений по мере приближения к равновесному состоянию также показана на иллюстрации.

В рассматриваемой модели равновесия для централизованной и децентрализованной экономики одинаковы[36].

Модель предполагает наличие условной конвергенции, то есть, что страны с малым уровнем капиталовооружённости будут расти более высокими темпами, чем страны с большим уровнем капиталовооружённости ${\displaystyle k}$, при условии, что устойчивое состояние у них одинаково. Скорость приближения к устойчивому состоянию можно оценить при помощи линейной аппроксимации посредством разложения в ряд Тейлора дифференциальных уравнений для ${\displaystyle {\dot {\hat {c}}}}$ и ${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}}$[37]:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\hat {c}}}\approx {\frac {\partial {\dot {\hat {c}}}}{\partial {\hat {k_{t}}}}}\vert _{{\hat {k_{t}}}={\hat {k}}^{*}}({\hat {k_{t}}}-{\hat {k}}^{*})+{\frac {\partial {\dot {\hat {c}}}}{\partial {\hat {c_{t}}}}}\vert _{{\hat {c_{t}}}={\hat {c}}^{*}}({\hat {c_{t}}}-{\hat {c}}^{*}),\\{\dot {\hat {k}}}\approx {\frac {\partial {\dot {\hat {k}}}}{\partial {\hat {k_{t}}}}}\vert _{{\hat {k}}={\hat {k}}^{*}}({\hat {k_{t}}}-{\hat {k}}^{*})+{\frac {\partial {\dot {\hat {k}}}}{\partial {\hat {c}}_{t}}}\vert _{{\hat {c_{t}}}={\hat {c}}^{*}}({\hat {c_{t}}}-{\hat {c}}^{*}).\end{cases}}}$

Из условий устойчивости следует, что угловой коэффициент у второго слагаемого (${\displaystyle c_{t}-{\hat {c}}^{*}}$) во втором уравнении равен -1, а в первом — 0. Используя уравнения устойчивого состояния, можно записать линейные аппроксимации в следующем виде[38]:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\hat {c}}}\approx {\frac {f''({\hat {k}}^{*}){\hat {c}}}{\theta }}({\hat {k_{t}}}-{\hat {k}}^{*}),\\{\dot {\hat {k}}}\approx (\rho +\theta g-g)({\hat {k_{t}}}-{\hat {k}}^{*})-({\hat {c_{t}}}-{\hat {c}}^{*}).\end{cases}}}$

Решение этой системы уравнений имеет вид[38]:

${\displaystyle {\begin{cases}{\hat {k}}_{t}-{\hat {k}}^{*}=({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})e^{\mu t},\\{\hat {c}}_{t}-{\hat {c}}^{*}=({\hat {c}}_{0}-{\hat {c}}^{*})e^{\mu t},\end{cases}}}$

где ${\displaystyle \mu }$ — коэффициент, характеризующий скорость конвергенции.

Расчеты скорости конвергенции по модели Рамсея — Касса — Купманса с использованием параметров, близких к параметрам экономики США, предсказывают высокую скорость конвергенции, не наблюдаемую на реальных данных[39].

Модель Рамсея — Касса — Купманса, фазовая плоскость, фискальная политика

Модель позволяет оценить влияние фискальной политики на равновесие. Предполагается, что величина налогов предполагается равной величине государственных расходов, которые не влияют на полезность индивидов и будущий выпуск. В этом случае уравнение для ${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}}$ примет следующий вид[40]:

${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}=f({\hat {k_{t}}})-{\hat {c}}-{\hat {G}}-(\delta +n+g){\hat {k_{t}}}}$,

где ${\displaystyle {\hat {G}}}$ — величина государственных расходов на единицу труда с постоянной эффективностью.

В результате фискальной политики кривая ${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}=0}$ сдвигается вниз на величину ${\displaystyle {\hat {G}}}$ и равновесие в модели устанавливается на прежнем уровне капиталовооружённости, но потребление снизится на величину ${\displaystyle {\hat {G}}}$. Таким образом, в модели государственные расходы вытесняют потребление[41].

Влияние фискальной политики на равновесие проиллюстрировано при помощи фазовой плоскости.