Модель обучения в процессе деятельности

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт ${\displaystyle Y}$, используемый как для потребления ${\displaystyle C}$, так и для инвестиций ${\displaystyle I}$. Темпы роста населения ${\displaystyle n}$ и норма выбытия капитала ${\displaystyle \delta }$ — постоянны и задаются экзогенно. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Фискальная политика (государственные расходы и налоги) в модели отсутствует. Время ${\displaystyle t}$ изменяется непрерывно[5].

Доходы индивида состоят из заработной платы ${\displaystyle w_{t}}$ и поступлений от активов ${\displaystyle r_{t}a_{t}}$. Активы индивида ${\displaystyle a_{t}}$ могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка ${\displaystyle r_{t}}$ по вложениям и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новых[14]:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }a_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geq 0}$,

где ${\displaystyle a_{t}={\frac {K_{t}}{L_{t}}}=k_{t}}$ — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида ${\displaystyle a_{t}}$ совпадает с запасом капитала на одного работающего ${\displaystyle k}$.

Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: ${\displaystyle S=I=sY}$, ${\displaystyle Y=C+I}$.

Производственные функции ${\displaystyle Y_{it}(K_{it},L_{it},E_{t})}$ фирм одинаковы ${\displaystyle \forall i}$[15]. Они удовлетворяют неоклассическим предпосылкам[16][5]:

1) технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду): ${\displaystyle Y_{it}=Y(K_{it},L_{it}E_{t})}$.

2) в производственной функции используются труд ${\displaystyle L}$ и капитал ${\displaystyle K}$ она обладает постоянной отдачей от масштаба: ${\displaystyle Y(aK_{i},aL_{i}E)=aY(K_{i},L_{i}E)}$.

3) предельная производительность факторов положительная и убывающая: ${\displaystyle {\frac {\partial Y_{i}}{\partial K_{i}}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y_{i}}{\partial K_{i}^{2}}}<0,{\frac {\partial Y_{i}}{\partial L_{i}}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y_{i}}{\partial L_{i}^{2}}}<0}$.

4) производственная функция удовлетворяет условиям Инады, а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала: ${\displaystyle \lim _{K_{i}\to 0}{\frac {\partial Y_{i}}{\partial K_{i}}}=\lim _{L_{i}\to 0}{\frac {\partial Y_{i}}{\partial L_{i}}}=+\infty ,\lim _{K_{i}\to +\infty }{\frac {\partial Y_{i}}{\partial K_{i}}}=\lim _{L_{i}\to +\infty }{\frac {\partial Y_{i}}{\partial L_{i}}}=0}$.

5) для производства необходим каждый фактор: ${\displaystyle Y(K_{i},0)=Y(0,L_{i}E)=0}$.

Наиболее часто в качестве конкретного примера производственной функции, удовлетворяющей предпосылкам модели, используется производственная функция Кобба-Дугласа[16]:

${\displaystyle Y(K_{it},L_{it}E_{t})=K_{it}^{\alpha }(L_{it}E_{t})^{1-\alpha },0<\alpha <1}$,

где ${\displaystyle \alpha }$ — эластичность выпуска по капиталу, ${\displaystyle (1-\alpha )}$ — эластичность выпуска по труду.

Поскольку предполагается, что в экономике функционирует множество одинаковых фирм, предполагается наличие эффекта распространения знаний: работники могут обучать друг друга, и переходить из одной фирмы в другую, таким образом, фирмы получают внешний эффект от общего запаса капитала ${\displaystyle K}$ (эффект перелива знаний) в экономике не неся никаких издержек[16]. Совокупный запас капитала ${\displaystyle K_{t}}$ и совокупные трудовые ресурсы ${\displaystyle L_{t}}$ в экономике равны сумме (в непрерывной постановке — интегралу) капитала и трудовых ресурсов отдельных фирм[13].

${\displaystyle \int _{0}^{1}K_{it}di=K_{t},}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}L_{it}di=L_{t}}$.

В модели предполагается, что технический прогресс зависит от знаний, приобретённых работниками на практике (отсюда и название модели — обучения в процессе деятельности). А эти знания зависят сложности используемого оборудования, или в терминах модели — от общего объема задействованного в экономике капитала[17]. Размер фирм относительно общего размера экономики мал, потому каждая фирма считает значение ${\displaystyle E_{t}}$ экзогенно заданным (${\displaystyle {\frac {\partial E_{t}}{\partial K_{it}}}={\frac {\partial K_{t}}{\partial K_{it}}}=0}$), на которое её решения не влияют[13]:

${\displaystyle E_{t}=BK_{t}}$,

где ${\displaystyle B}$ — технологический параметр, ${\displaystyle B=const}$.

Население растет ${\displaystyle L_{t}}$, равное в модели совокупным трудовым ресурсам, растет с постоянным темпом ${\displaystyle n}$: ${\displaystyle L_{t}=L_{0}e^{nt},n=const}$.

Индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает натуральную заработную плату (в единицах товара). Функция полезности бесконечно живущего индивида-потребителя ${\displaystyle u(c_{t})}$ является сепарабельной, то есть потребление прошлых и будущих периодов не влияют на текущую полезность, влияет только потребление текущего периода. Она удовлетворяет условиям ${\displaystyle u'(c)>0,u''(c)<0}$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u'(c)=+\infty$ ;\lim _{c\to \infty }u'(c)=0} , а также обладает постоянной эластичностью замещения ${\displaystyle {\frac {u''(c)}{u'(c)}}c}$, и имеет вид[14]:

${\displaystyle U(c)=\int _{0}^{\infty }{\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}e^{-(\rho -n)t}dt}$,

где ${\displaystyle \rho }$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, ${\displaystyle \rho >0,\rho =const}$.

Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу труда ${\displaystyle y={\frac {Y}{L}}}$, запас капитала на единицу труда ${\displaystyle k={\frac {K}{L}}}$, потребление на единицу труда ${\displaystyle c={\frac {C}{L}}}$[17].

Доходы индивида расходуются либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережений). Население растет темпом ${\displaystyle n}$, поэтому активы на одного человека сокращаются с этим же темпом, то есть скорость изменения активов в каждый момент времени уменьшаются на ${\displaystyle na_{t}}$. Таким образом, производная активов по времени ${\displaystyle {\dot {a}}}$, выступающая в качестве бюджетного ограничения индивида, имеет вид[14]:

${\displaystyle {\dot {a}}=w+ra_{t}-c-na_{t}}$.

Задача потребителя заключается в максимизации полезности ${\displaystyle U}$ при бюджетном ограничении и при ограничении на отсутствие схемы Понци. Решение задачи потребителя аналогично модели Рамсея — Касса — Кумпанса. Поскольку бюджетное ограничение представлено как производная по времени, то задача потребителя представлена в виде задачи динамической оптимизации. Её решение можно найти путём построения функция Гамильтона и нахождения её максимума с помощью принципа максимума Понтрягина[18][5].

Искомое решение, называемое также правилом Кейнса — Рамсея[22], имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-\rho )}$,

где ${\displaystyle {\dot {c}}}$ — производная потребления на единицу труда по времени.

С учетом принятых предпосылок, производственную функцию можно записать следующим образом[5]:

${\displaystyle {\frac {Y_{t}}{K}}={\frac {F(K_{t}.BK_{t}L_{t})}{K}}=F(1,BL_{t})={\tilde {f}}(L_{t})}$.

Тогда[17]:

${\displaystyle y_{t}={\frac {Y_{t}}{K_{t}}}\times {\frac {K_{t}}{L_{t}}}=k_{t}{\tilde {f}}(L_{t})}$.

Поскольку производственная функция у фирм одинакова, задачу фирмы ${\displaystyle i}$ по максимизации прибыли ${\displaystyle \pi _{i}}$ можно записать в агрегированном виде[5]:

${\displaystyle \pi _{i}=F(K_{it},BK_{t}L_{it})-(r_{t}+\delta )K_{it}-w_{t}L_{it}=L_{it}(k_{t}{\tilde {f}}(L_{it})-(r_{t}+\delta )k_{it}-w_{t})\to \max }$

В условиях совершенной конкуренции, и учитывая, что производственные функции фирм одинаковые, предельные производительности факторов производства равны их ценам[18]:

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial L}}=w_{t}=K_{t}{\tilde {f}}'(L_{t})}$,

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial K}}=r_{t}+\delta ={\tilde {f}}(L_{t})-L_{t}{\tilde {f}}'(L_{t})}$.

Учитывая, что ${\displaystyle a=k}$, обозначив темп роста потребления ${\displaystyle g_{c}^{*}={\frac {\dot {c}}{c}}}$, темп роста выпуска ${\displaystyle g_{y}^{*}={\frac {\dot {y}}{y}}}$ и подставив полученные из решения задачи фирмы значения ${\displaystyle r_{t}}$ и ${\displaystyle w_{t}}$ в уравнение динамики активов, получим[18]:

${\displaystyle {\frac {\dot {c}}{c}}=g_{c}^{*}={\frac {1}{\theta }}({\tilde {f}}(L_{t})-L_{t}{\tilde {f}}'(L_{t})-\delta -\rho )}$.

${\displaystyle g_{c}^{*}<g_{y}^{*}}$ противоречило бы условию трансверсальности, а ${\displaystyle g_{c}^{*}>g_{y}^{*}}$ — бюджетному ограничению потребителя, потому в равновесном состоянии ${\displaystyle g_{c}^{*}=g_{y}^{*}}$[23].

В рамках принятых предпосылок, ${\displaystyle {\tilde {f}}(L_{t})-L_{t}{\tilde {f}}'(L_{t})}$ строго возрастает по ${\displaystyle L_{t}}$[24]. Что можно показать на примере функции Кобба-Дугласа:

${\displaystyle {\tilde {f}}(L_{t})-L_{t}{\tilde {f}}'(L_{t})=(BL)^{\alpha }-\alpha B^{\alpha }L^{\alpha -1}=(1-\alpha )(BL)^{\alpha }}$.

Потому в модели присутствует эффект масштаба: чем больше рабочая сила ${\displaystyle L}$, тем выше темпы роста[24].

Поскольку в экономике присутствуют внешние эффекты, которые не учитываются фирмами при принятии решений (согласно предпосылкам, каждая фирма считает значение ${\displaystyle E_{t}}$ экзогенно заданным), потому децентрализованное равновесие в модели не является оптимальным. В этой модели при централизованном планировании можно достичь более высокого равновесного уровня потребления ${\displaystyle c}$[24]. Бюджетное ограничение для централизованного планирования можно записать в следующем виде[25]:

${\displaystyle {\dot {k}}=y_{t}-c_{t}-\delta k_{t}-nk_{t}=k_{t}{\tilde {f}}(L_{t})-c_{t}-\delta k_{t}-nk_{t}}$,

где ${\displaystyle {\dot {k}}}$ — производная запаса капитала на единицу труда по времени

Задачей централизованного планирования является максимизация потребления выглядит при заданном ограничении[25].

Решение этой задачи имеет вид[25]:

${\displaystyle {\frac {\dot {c}}{c}}=g_{c}^{*}={\frac {1}{\theta }}({\tilde {f}}(L_{t})-\delta -\rho )=g_{y}^{*}}$.

Таким образом, темпы роста потребления и выпуска в модели при централизованном планировании выше, чем темпы роста при конкурентном равновесии[25][26][27].