AK-модель

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. Экономика функционирует в условиях совершенной конкуренции. Производится два разных типа продуктов: один используется, для потребления ${\displaystyle C}$, другой - для инвестиций ${\displaystyle I}$. Норма выбытия капитала ${\displaystyle \delta }$ задается экзогенно. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Время ${\displaystyle t}$ изменяется непрерывно[9].

Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: ${\displaystyle S=I}$[9].

Капитал ${\displaystyle K}$, трактуемый в модели как совокупность физического и человеческого капитала, распределяется между двумя секторами, производящими инвестиционные и потребительские товары[9][11]:

${\displaystyle K_{Ct}+K_{It}=K_{t}}$,

где ${\displaystyle K_{t}}$ — совокупный запас капитала в момент времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle K_{Ct}}$ — капитал, используемый в производстве потребительских товаров в момент времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle K_{It}}$ — капитал, используемый в производстве инвестиционных товаров в момент времени ${\displaystyle t}$.

Если обозначить долю капитала, задействованного в производстве потребительских товаров в момент времени ${\displaystyle t}$ как ${\displaystyle \phi _{t}}$, ${\displaystyle 0<\phi _{t}<1}$, то ${\displaystyle K_{Ct}=\phi _{t}K_{t}}$ и ${\displaystyle K_{It}=(1-\phi _{t})K_{t}}$.

Производственная функция в секторе потребительских товаров описывается функцией Кобба — Дугласа[9][12]:

${\displaystyle C_{t}=BK_{Ct}^{\alpha }L_{t}^{1-\alpha }}$,

где ${\displaystyle C_{t}=c_{t}L_{t}}$ — совокупное потребление в момент времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle c_{t}}$ — потребление отдельного индивида в момент времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle L_{t}}$ — трудовые ресурсы в момент времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle B}$ — технологический параметр, ${\displaystyle B=const}$.

Производственная функция в секторе инвестиционных товаров не включает в себя труд как фактор производства, зависит только от капитала и описывается функцией[9][11]:

${\displaystyle I_{t}=AK_{It}}$,

где ${\displaystyle A}$ — технологический параметр, ${\displaystyle A=const}$.

Население ${\displaystyle L_{t}}$, равное в модели совокупным трудовым ресурсам, растет с постоянным темпом ${\displaystyle n}$: ${\displaystyle L_{t}=L_{0}e^{nt},n=const}$.

Индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает заработную плату (в единицах потребительского товара). Функция полезности бесконечно живущего индивида-потребителя ${\displaystyle u(c_{t})}$ является сепарабельной, то есть потребление прошлых и будущих периодов не влияют на текущую полезность, влияет только потребление текущего периода. Она удовлетворяет условиям ${\displaystyle u'(c)>0,u''(c)<0}$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u'(c)=+\infty$ ;\lim _{c\to \infty }u'(c)=0} , а также обладает постоянной эластичностью замещения ${\displaystyle {\frac {u''(c)}{u'(c)}}c=-\theta }$, и имеет вид[9]:

${\displaystyle U(c)=\int _{0}^{\infty }{\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}e^{-(\rho -n)t}dt}$,

где ${\displaystyle \rho }$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, ${\displaystyle \rho >0,\rho =const}$.

Доходы индивида состоят из заработной платы ${\displaystyle w}$ и поступлений от активов ${\displaystyle ra_{t}}$. Активы индивида ${\displaystyle a_{t}}$ могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка ${\displaystyle r_{t}}$ по вложениям и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новых[13][14]:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }a_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geq 0}$,

где ${\displaystyle a_{t}={\frac {K_{t}}{L_{t}}}=k_{t}}$ — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида ${\displaystyle a}$ совпадает с запасом капитала на одного работающего.

Накопление капитала в момент времени ${\displaystyle t}$ равно разности произведенных инвестиционных товаров и выбытия капитала[9][11]:

${\displaystyle {\dot {K}}=I_{t}-\delta K_{t}=AK_{It}-\delta K_{t}}$,

где ${\displaystyle \delta }$ — норма выбытия капитала, ${\displaystyle {\dot {K}}}$ — производная капитала по времени.

Для поиска решения модели используются удельные показатели[9]: выпуск на единицу труда ${\displaystyle y={\frac {Y}{L}}}$, запас капитала на единицу труда ${\displaystyle k={\frac {K}{L}}}$, потребление на единицу труда ${\displaystyle c={\frac {C}{L}}}$, инвестиции на единицу труда ${\displaystyle i={\frac {I}{L}}}$.

В интенсивной форме производственные функции имеют вид: ${\displaystyle i_{t}=Ak_{t}}$ (сектор инвестиционных товаров) и ${\displaystyle c_{t}=Bk_{t}^{\alpha }}$ (сектор потребительских товаров).

Задача фирм, работающие в двух секторах, состоит в максимизации прибыли (${\displaystyle \pi _{c}}$ и ${\displaystyle \pi _{i}}$ в потребительском и инвестиционном секторе соответственно)[9][15]:

${\displaystyle \pi _{i}=p_{it}AK_{It}-(r_{it}+\delta p_{it})K_{It}\rightarrow \max }$

${\displaystyle \pi _{c}=p_{ct}BK_{Ct}^{\alpha }L_{t}^{1-\alpha }-r_{ct}K_{Ct}-w_{t}L_{t}\rightarrow \max }$

В условиях совершенной конкуренции это означает, что предельная производительность капитала в производстве инвестиционных и потребительских товаров должна быть одинакова (${\displaystyle {\frac {\partial I_{t}}{\partial K_{I}}}={\frac {\partial C_{t}}{\partial K_{C}}}}$), при условии статичности цен[9][15]:

${\displaystyle {\frac {\partial I_{t}}{\partial K_{I}}}=r_{it}+\delta p_{it}=p_{it}A}$,

${\displaystyle {\frac {\partial C_{t}}{\partial K_{C}}}=r_{ct}=p_{ct}\alpha BK_{Ct}^{\alpha -1}L_{t}^{1-\alpha }=p_{ct}\alpha B(\phi _{t}k_{t})^{\alpha -1}}$,

где ${\displaystyle p_{it}}$ — цена инвестиционного товара в момент времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle p_{ct}}$ — цена потребительского товара в момент времени ${\displaystyle t}$. Из условия, что ${\displaystyle {\frac {\partial I_{t}}{\partial K_{I}}}={\frac {\partial C_{t}}{\partial K_{C}}}}$, следует[9][15]:

${\displaystyle p_{it}A=p_{ct}\alpha B(\phi _{t}k_{t})^{\alpha -1}}$.

Доходы индивида расходуются либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережений). Население растет темпом ${\displaystyle n}$, поэтому активы на одного человека сокращаются с этим же темпом, то есть скорость изменения активов в каждый момент времени уменьшаются на ${\displaystyle na_{t}}$. Таким образом, учитывая, что в этой версии модели ${\displaystyle w_{t}=0}$ производная активов по времени ${\displaystyle {\dot {a}}}$, выступающая в качестве бюджетного ограничения индивида, имеет вид[13]:

${\displaystyle {\dot {a}}=r_{ct}a_{t}+w_{t}-c-na_{t}}$.

Как и в модели Рамсея — Касса — Купманса, задача потребителя заключается в максимизации полезности ${\displaystyle U}$ при бюджетном ограничении и при ограничении на отсутствие схемы Понци. Поскольку бюджетное ограничение представлено как производная по времени, то задача потребителя представлена в виде задачи динамической оптимизации. Её решение можно найти путём построения функция Гамильтона и нахождения её максимума с помощью принципа максимума Понтрягина[16].

Искомое решение имеет вид правила Кейнса — Рамсея[13][9]:

${\displaystyle g_{c}={\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(r_{ct}-\rho )}$,

где ${\displaystyle {\dot {c}}}$ — производная потребления на душу населения по времени, ${\displaystyle g_{c}}$ — темп роста потребления на единицу населения.

С учетом изменения цен потребительского и инвестиционного товаров, в равновесном состоянии доходности на капитал в производстве инвестиционных (${\displaystyle r_{it}}$) и потребительских (${\displaystyle r_{ct}}$) товаров должны удовлетворять условию[15][9]:

${\displaystyle {\frac {r_{ct}}{p_{ct}}}+{\frac {\dot {p_{ct}}}{p_{ct}}}={\frac {r_{it}}{p_{it}}}+{\frac {\dot {p_{it}}}{p_{it}}}}$,

где ${\displaystyle {\dot {p_{it}}}}$ — производная цены инвестиционного товара по времени, ${\displaystyle {\dot {p_{ct}}}}$ — производная цены потребительского товара по времени.

На траектории стабильного роста ${\displaystyle \phi _{t}=const=\phi ^{*}}$. Если выбрать потребительский товар в качестве меры стоимости, ${\displaystyle p_{ct}=const=1}$, то ${\displaystyle {\dot {p_{ct}}}=0}$. Динамика цены инвестиционного товара определяется из равенства доходностей на капитал в секторах потребительских и инвестиционных товаров[20]:

${\displaystyle {\frac {\dot {p_{it}}}{p_{it}}}=(\alpha -1){\frac {\dot {k}}{k}}}$.

С учетом уравнения доходности капитала в производственном секторе, итоговое уравнение для ${\displaystyle r_{ct}}$ примет вид[20]:

${\displaystyle r_{ct}=A-\delta -(1-\alpha ){\frac {\dot {k}}{k}}}$.

Если подставить значение ${\displaystyle r_{ct}}$ в уравнение динамики потребления, то оно примет вид[20]:

${\displaystyle g_{c}={\frac {1}{\theta }}(A-\delta -(1-\alpha ){\frac {\dot {k}}{k}}-\rho )}$.

Производная производственной функции в секторе потребительских товаров по времени выглядит следующим образом[20]:

${\displaystyle {\frac {\dot {c}}{c}}=g_{c}=\alpha {\frac {\dot {k}}{k}}}$.

Решением системы из этих двух уравнений и будут равновесные темпы роста капиталовооружённости ${\displaystyle k}$ (${\displaystyle g_{k}^{*}}$), выпуска на единицу труда ${\displaystyle y}$ (${\displaystyle g_{y}^{*}}$), заработной платы ${\displaystyle w}$ (${\displaystyle g_{w}^{*}}$) и потребления на единицу труда ${\displaystyle c}$ (${\displaystyle g_{c}^{*}}$)[21][9]:

${\displaystyle g_{k}^{*}={\frac {\dot {k}}{k}}={\frac {A-\delta -\rho }{1-\alpha (1-\theta )}}}$,

${\displaystyle g_{c}^{*}=g_{y}^{*}=\alpha {\frac {A-\delta -\rho }{1-\alpha (1-\theta )}}}$,

${\displaystyle g_{w}^{*}={\frac {\dot {w}}{w}}={\frac {\dot {p_{ct}}}{p_{ct}}}+\alpha {\frac {\dot {k}}{k}}=g_{c}^{*}=\alpha {\frac {A-\delta -\rho }{1-\alpha (1-\theta )}}}$

Таким образом, в модели темпы роста выпуска и потребления являются постоянными, и не падают с ростом запаса капитала. Поскольку в модели отсутствуют внешние эффекты, найденное конкурентное равновесие является оптимальным по Парето, и не существует централизованного равновесия с более высокими темпами роста, в отличие от моделей обучения в процессе деятельности и Удзавы — Лукаса[22].

Совокупные налоговые поступления можно записать следующим образом[9]:

${\displaystyle T_{t}=\tau _{c}C_{t}+\tau _{i}p_{it}I_{t}}$,

где ${\displaystyle T_{t}}$ — совокупные налоговые поступления в момент времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \tau _{c}}$ — суммарная ставка налогов на потребление (например, НДФЛ, НДС), ${\displaystyle \tau _{i}}$ — суммарная ставка налогов на инвестиции (например, налог на прибыль).

Налоги на потребление не влияют на темпы роста капиталовооружённости ${\displaystyle k}$ и выпуска ${\displaystyle y}$, они лишь приводят к уменьшению текущего уровня потребления. Но налоги на инвестиции оказывают влияние на темпы роста В этом случае оптимальные темпы роста капиталовооружённости ${\displaystyle g_{k}^{*}}$ и выпуска ${\displaystyle g_{y}^{*}}$ изменится следующим образом[9]:

${\displaystyle g_{k}^{*}(\tau _{i})={\frac {{\frac {A}{1+\tau _{i}}}-\delta -\rho }{1-\alpha (1-\theta )}}}$,

${\displaystyle g_{c}^{*}(\tau _{i})=g_{y}^{*}(\tau _{i})=\alpha {\frac {{\frac {A}{1+\tau _{i}}}-\delta -\rho }{1-\alpha (1-\theta )}}}$.

Таким образом, в отличие от модели Рамсея — Касса — Купманса, в которой рост налогов вызывал только снижение текущего потребления, но не влиял на темпы экономического роста, в рассматриваемой модели даже небольшие изменения в налоговой политике могут привести к снижению не только текущего уровня потребления, но и темпов экономического роста (при определенных значениях параметров, они даже могут стать отрицательными)[23].

Во многих работах встречается упрощенная версия модели, в которой рассматривается односекторная экономика вместо двухсекторной в оригинальной модели: производится только один товар ${\displaystyle Y}$, используемый как для потребления, так и для инвестиций[7][8][24]. В этом случае в качестве совокупной производственной функции выступает производственная функция сектора инвестиционных товаров из оригинальной модели[25][26]:

${\displaystyle Y_{t}=AK_{t}}$

Поскольку производится только один товар, то больше нет необходимости в разных ценах ${\displaystyle p_{it}}$ и ${\displaystyle p_{ct}}$, и в этой версии, как и в модели модели Рамсея — Касса — Купманса, работники снова получают заработную плату в натуральной величине[25][26].

Задача фирмы состоит в максимизации прибыли ${\displaystyle \pi }$[27]:

${\displaystyle \pi =AK_{t}-(r+\delta )K_{t}-w_{t}L_{t}\rightarrow \max }$

Поскольку фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции, то предельные производительности факторов производства равны их ценам[27][14]:

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial K}}=r_{t}=A-\delta }$,

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial L}}=w_{t}=0}$.

Задача потребителя полностью аналогична задаче в оригинальной модели. Её решение имеет также вид правила Кейнса — Рамсея[14][13]:

${\displaystyle g_{c}={\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-\rho )}$,

В равновесном состоянии темпы роста потребления ${\displaystyle g_{c}^{*}}$, капитала ${\displaystyle g_{k}^{*}}$ и выпуска ${\displaystyle g_{y}^{*}}$ равны[16][28]:

${\displaystyle g_{c}^{*}=g_{k}^{*}=g_{y}^{*}={\frac {1}{\theta }}(A-\delta -\rho )}$.

Учитывая, что ${\displaystyle a=k}$, после решения задач фирмы и потребителя, можно записать следующую систему дифференциальных уравнений[16][14]:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {k}}=(A-\delta -n)k_{t}-c_{t},\\{\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(A-\delta -\rho ).\end{cases}}}$

при условии:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }k_{t}e^{-(A-\delta -n)t}=0}$.

Из решения этой системы уравнений находится равновесная норма сбережения ${\displaystyle s^{*}}$[29][30]:

${\displaystyle s^{*}={\frac {{\frac {\dot {k}}{k}}+n+\delta }{A}}={\frac {\delta +n}{A}}+{\frac {1}{\theta }}{\biggl (}1-{\frac {\delta +\rho }{A}}{\biggr )}}$.

В итоге, и в упрощенной модели темпы роста выпуска и потребления также являются постоянными, и не падают с ростом запаса капитала. Поскольку в модели отсутствуют внешние эффекты, найденное конкурентное равновесие также является оптимальным по Парето, и не существует централизованного равновесия с более высокими темпами роста[22].

Поскольку в упрощенной версии модели индивиды получают доход только от владения капиталом (${\displaystyle w_{t}=0}$), то и налоги могут быть в ней введены только на этот источник дохода. С учетом налогов, динамика активов потребителя примет вид[22]:

${\displaystyle {\dot {a}}=(1-\tau )r_{t}a_{t}-c-na_{t}}$,

где ${\displaystyle \tau }$ — ставка налога.

В этом случае равновесные темпы роста потребления ${\displaystyle g_{c}^{*}}$, капитала ${\displaystyle g_{k}^{*}}$ и выпуска ${\displaystyle g_{y}^{*}}$ в зависимости от ставки налога ${\displaystyle \tau }$ будут равны[22][31]:

${\displaystyle g_{c}^{*}(\tau )=g_{k}^{*}(\tau )=g_{y}^{*}(\tau )={\frac {1}{\theta }}((1-\tau )(A-\delta )-\rho )}$.

Норма сбережений ${\displaystyle s^{*}}$ также меняется в зависимости от${\displaystyle \tau }$[22][31]:

${\displaystyle s^{*}(\tau )={\frac {\delta +n}{A}}+{\frac {1}{\theta }}{\biggl (}{\frac {(1-\tau )(A-\delta )-\rho }{A}}{\biggr )}}$.

Как и в оригинальной модели, в упрощенной версии небольшие изменения в налоговой политике тоже могут привести к снижению не только текущего уровня потребления, но и темпов экономического роста (при определенных значениях параметров, они даже могут стать отрицательными). В целом, при более простых вычисления, упрощенная версия модели приходит к тем же общим выводам, что и оригинальная модель, за исключением вывода относительно уровня заработной платы ${\displaystyle w_{t}}$ и темпов его роста ${\displaystyle g_{w}^{*}}$. Но это важное различие, оно предполагает, что доля капитала в национальном доходе должна асимптотически стремиться к 100%[23].

В модели обучения в процессе деятельности производственная функция каждой отдельной фирмы удовлетворяет неоклассическим предпосылкам, однако общий запас капитала посредством эффекта перелива знаний повышает производительность труда в экономике. Модель также демонстрирует возможность устойчивого экономического роста без экзогенно задаваемых темпов научно-технического прогресса, но, поскольку устойчивый экономический рост в модели достигается за счет внешних эффектов от совокупного запаса капитала, который каждая отдельная фирма считает постоянной величиной, то достигаемое равновесие не является оптимальным по Парето. Потому в централизованном равновесии в модели темпы роста выпуска и потребления оказываются выше, чем в децентрализованном. Разработана Полом Ромером в 1986 году[33].

В модели Удзавы — Лукаса производственная функция каждой отдельной фирмы также удовлетворяет неоклассическим предпосылкам, однако общий запас человеческого капитала (в форме среднего уровня образования) повышает производительность труда в экономике. Модель демонстрирует возможность устойчивого экономического роста без экзогенно задаваемых темпов научно-технического прогресса, но, поскольку устойчивый экономический рост в модели достигается за счет внешних эффектов от среднего уровня образования, который каждая отдельная фирма считает постоянной величиной, то достигаемое равновесие не является оптимальным по Парето. Потому в централизованном равновесии в модели темпы роста выпуска и потребления оказываются выше, чем в децентрализованном. Разработана Робертом Лукасом на основе идей Хирофуми Удзавы в 1988 году[34].

Модель Мэнкью — Ромера — Вейла является расширенной за счёт включения человеческого капитала версией модели Солоу, она разработана Грегори Мэнкью, Дэвидом Ромером и Дэвидом Вейлом в 1990 году[35]. В том случае, если в модели Мэнкью — Ромера — Вейла вместо экзогенной ставки сбережений вводится функция полезности потребителя, и если выполняется условие ${\displaystyle \alpha +\beta =1}$, то она превращается в полный аналог упрощенный версии AK-модели[36].