Модель Эрроу — Дебрё

В экономике действуют ${\displaystyle n}$ фирм, выпускающих ${\displaystyle q}$ видов продукции. Технологическое множество ${\displaystyle j}$-й фирмы обозначим ${\displaystyle Y^{j}}$. Технологические множества фирм предполагаются замкнутыми и ограниченными и включают нулевой вектор (допустимость бездеятельности). Сумма Минковского технологических множеств фирм представляет общеэкономическое технологическое множество ${\displaystyle Y}$, являющееся выпуклым множеством.

Обозначим вектор цен ${\displaystyle p}$. Тогда ${\displaystyle py^{j}}$ — прибыль ${\displaystyle j}$-ой фирмы при чистом выпуске ${\displaystyle y^{j}\in Y^{j}}$. Фирмы максимизируют свою прибыль. Зависимость решения данной задачи от заданного вектора цен является функцией предложения ${\displaystyle {\overline {y}}(p)}$. Соответственно функция совокупного предложения равна ${\displaystyle {\overline {y}}(p)=\sum _{j}{\overline {y}}^{j}}$. Функции предложения являются однородными нулевой степени.

В экономике действуют также ${\displaystyle m}$ индивидов (потребителей) с начальными запасами благ ${\displaystyle z^{i}}$ функциями полезности ${\displaystyle u^{i}(x)}$, где ${\displaystyle x}$ — ${\displaystyle q}$-мерный вектор потребления, являющийся подмножеством ${\displaystyle R_{+}^{q}}$. Предполагается, что функции полезности имеют все частные производные и для любого заданного ${\displaystyle v}$ множество векторов ${\displaystyle x}$, таких, что ${\displaystyle u^{i}(x)>v}$, является строго выпуклым.

Доход потребителя ${\displaystyle M^{i}}$ состоит из стоимости начальных запасов ${\displaystyle M_{z}^{i}=pz^{i}}$ и доходов от участия в фирмах

${\displaystyle M_{y}^{i}=\sum _{j}\alpha _{ij}p{\overline {y}}^{j}(p)}$,

где ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ — фиксированная доля участия (в прибыли) ${\displaystyle i}$-го потребителя в ${\displaystyle j}$-ой фирме.

Каждый потребитель решает задачу максимизации полезности при бюджетном ограничении ${\displaystyle px^{i}\leqslant M^{i}}$. Решения этой задачи в зависимости от данного вектора цен ${\displaystyle {\overline {x}}^{i}(p)}$ представляют собой функции индивидуального спроса потребителей, а их сумма ${\displaystyle {\overline {x}}(p)}$ — функция совокупного спроса. Функции спроса являются однородными нулевой степени.

Функция совокупного избыточного спроса определяется как

${\displaystyle F(p)={\overline {x}}(p)-{\overline {y}}(p)-z}$,

где ${\displaystyle z}$ -суммарные начальные запасы потребителей.

По закону Вальраса при неотрицательном векторе цен ${\displaystyle p}$ должно выполняться равенство:

${\displaystyle pF(p)=0}$.

В модели предполагается, что существуют все рынки благ от которых зависят функции полезности и технологические множества, и все рынки являются связанными, то есть любое благо можно свободно обменять на любое другое благо. Предполагается, что каждый экономический субъект «достаточно мал», то есть каждый исходит из того, что он не может влиять на цены благ (для каждого из них вектор цен задан экзогенно) — условие совершенной конкуренции на рынках. Каждый субъект обладает полной информацией относительно цен и характеристик благ. Кроме этого предполагается, что отсутствуют транзакционные издержки и экстерналии.