Модель пересекающихся поколений

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность своих трат. Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт ${\displaystyle Y}$, используемый как для потребления ${\displaystyle C}$, так и для производственных нужд (учитывается как инвестиции) ${\displaystyle I}$. Темпы технологического прогресса ${\displaystyle g}$, роста населения ${\displaystyle n}$ и норма выбытия оборудования (капитала) ${\displaystyle \delta }$ — постоянны и задаются экзогенно. Индивидуумы живут два периода: в первом они работают, потребляют и сберегают, во втором — только потребляют, тратя накопленные в первом периоде сбережения (выходят на пенсию). Альтруистические связи между поколениями отсутствуют: молодые не помогают старикам и не получают наследство. Время ${\displaystyle t}$ изменяется дискретно[6][7][8]. Один период в модели соответствует смене поколений, то есть в реальном выражении эквивалентен примерно 25—30 годам[9].

Закрытость экономики означает, что произведённый продукт тратится только на сбережение и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, инвестиции равны сбережениям:${\displaystyle S=I}$, ${\displaystyle Y=C+I}$[10][11].

Производственная функция ${\displaystyle Y(K,L,E)}$ удовлетворяет неоклассическим предпосылкам[12]:

1. технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду): ${\displaystyle Y_{t}=Y(K_{t},L_{t}E_{t}),E_{t}=(1+g)E_{t-1},g=const}$.
2. в производственной функции используются труд ${\displaystyle L}$ и капитал ${\displaystyle K}$, она обладает постоянной отдачей от масштаба: ${\displaystyle Y(aK,aLE)=aY(K,LE)}$.
3. предельная производительность факторов положительная и убывающая: ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}<0,{\frac {\partial Y}{\partial L}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial L^{2}}}<0}$.
4. производственная функция удовлетворяет условиям Инады, а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала: ${\displaystyle \lim _{K\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial L}}=+\infty ,\lim _{K\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial L}}=0}$.
5. для производства необходим каждый фактор: ${\displaystyle Y(K,0)=Y(0,LE)=0}$.

Население ${\displaystyle L_{t}}$ растёт с постоянным темпом ${\displaystyle n}$: ${\displaystyle L_{t}=(1+n)L_{t-1},n=const}$. В каждом периоде ${\displaystyle t}$ живёт ${\displaystyle L_{t}}$ молодых и ${\displaystyle L_{t-1}}$ пожилых индивидов. Совокупное потребление ${\displaystyle C}$ равно[13]:

${\displaystyle C_{t}=c_{1t}L_{t}+c_{2t}L_{t-1}}$,

где ${\displaystyle c_{1t}L_{t}}$ — потребление работающего поколения, ${\displaystyle c_{2t}L_{t-1}}$ — потребление вышедшего на пенсию поколения.

Молодой индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает натуральную заработную плату (неким количеством единственного товара, деньги отсутствуют). Каждый индивид выбирает и разделяет полученное между потреблением в молодости или сбережением и потреблением в старости, максимизируя межвременную полезность своих трат, которая описывается следующей функцией[14]:

${\displaystyle U_{t}={\frac {c_{1t}^{1-\theta }-1}{1-\theta }}+{\frac {1}{1+\rho }}\times {\frac {c_{2t+1}^{1-\theta }-1}{1-\theta }}}$,

где ${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}}$ — эластичность замещения по времени, ${\displaystyle \theta >0}$, ${\displaystyle \theta =const}$, ${\displaystyle {\rho }}$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, ${\displaystyle \rho >-1}$, ${\displaystyle \rho =const}$.

Функция удовлетворяет условиям ${\displaystyle u'(c)>0,u''(c)<0}$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности; при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u'(c)=+\infty$ ;\lim _{c\to \infty }u'(c)=0} .

Вначале весь капитал ${\displaystyle K_{0}}$ находится у пожилых, они его полностью тратят в течение первого периода. Сбережения равны инвестициям, которые делает молодое поколение. Инвестиции в свою очередь равны капиталу в следующем периоде[6][15]:

${\displaystyle S_{t}=s_{t}L_{t}=I_{t}=K_{t+1}}$,

где ${\displaystyle s_{t}}$ — сбережения в расчёте на одного работника.

Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу эффективного труда ${\displaystyle y={\frac {Y}{LE}}}$, капитал на единицу эффективного труда ${\displaystyle k={\frac {K}{LE}}}$[16].

Потребитель максимизирует межвременную полезность своих трат. Поскольку, согласно модели, индивид работает только в молодости (первом периоде), межвременное бюджетное ограничение потребителя соответствует формуле[17]:

${\displaystyle c_{1t}+{\frac {c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}}=w_{t}E_{t}}$.

Таким образом, задача потребителя имеет следующий вид:

${\displaystyle U_{t}\rightarrow max}$

при условии:

${\displaystyle w_{t}E_{t}-c_{1t}-{\frac {c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}}=0}$,

где ${\displaystyle w_{t}}$ — реальная заработная плата в периоде ${\displaystyle t}$.

Для решения этой задачи составляется функция Лагранжа и находится её максимум[17].

Результатом решения этой системы уравнений является норма сбережений ${\displaystyle {\bar {s}}_{t}}$ для периода ${\displaystyle t}$[15]:

${\displaystyle {\bar {s}}_{t}={\frac {{(1+r_{t+1})}^{\frac {1-\theta }{\theta }}}{(1+\rho )^{\frac {1}{\theta }}+{(1+r_{t+1})}^{\frac {1-\theta }{\theta }}}}}$.

Фирма максимизирует свою прибыль ${\displaystyle \pi }$. Выпуск фирмы описывается неоклассической производственной функцией[18]:

${\displaystyle y_{t}=f({\hat {k}}_{t})}$, где ${\displaystyle {\hat {k}}_{t}={\frac {K_{t}}{L_{t}E_{t}}}}$.

Задача фирмы выглядит следующим образом:

${\displaystyle \pi =F(K_{t},L_{t})-r_{t}K_{t}-w_{t}L_{t}\rightarrow \max }$

В условиях совершенной конкуренции решение задачи фирмы приводит к тому, что плата за труд (заработная плата) ${\displaystyle w}$ и плата за капитал ${\displaystyle r}$ (процентная ставка) равны соответствующим предельным производительностям[19][18]:

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial L}}=w_{t}=f({\hat {k}}_{t})-{\hat {k}}_{t}f'({\hat {k}}_{t})}$,

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial K}}=r_{t}+\delta =f'({\hat {k}}_{t})}$.

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, вариант 1

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, вариант 2

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, производственная функция Кобба — Дугласа, логарифмическая функция полезности: достижение равновесия

По предпосылкам модели:${\displaystyle K_{t+1}=s_{t}L_{t}}$. Откуда с учётом решения задач потребителя и фирмы, получаем[19]:

${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}={\frac {1}{(1+n)(1+g)}}\times {\frac {(1+f'({\hat {k}}_{t+1})-\delta )^{\frac {1-\theta }{\theta }}}{(1+\rho )^{\frac {1}{\theta }}+(1+f'({\hat {k}}_{t+1})-\delta )^{\frac {1-\theta }{\theta }}}}\times (f({\hat {k}}_{t})-{\hat {k}}_{t}f'({\hat {k}}_{t}))}$.

Поскольку ${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}}$ входит как в правую, так и в левую части уравнения, найти явные решения этого уравнения можно только введя дополнительные предпосылки. При условии, что потребление в первом периоде и потребление во втором периоде являются совершенными заменителями, то равновесие существует. Если при этом сбережения монотонно возрастают по процентной ставке (${\displaystyle s_{t}'(r_{t})>0}$), то это равновесие является единственным.

Если обозначить ${\displaystyle s(r_{t+1},w_{t})={\frac {s_{t}}{E_{t}}}}$, где ${\displaystyle s(r_{t+1},w_{t})}$ — сбережения в расчёте на единицу труда с постоянной эффективностью в периоде ${\displaystyle t}$, то уравнение примет вид[20]:

${\displaystyle (1+n)(1+g){\hat {k}}_{t+1}=s{\bigl (}[f'({\hat {k}}_{t+1})-\delta ],[f({\hat {k}}_{1})-{\hat {k}}_{t}f'({\hat {k}}_{t})]{\bigr )}}$.

Откуда можно выразить динамику капиталовооружённости[20]:

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}={\frac {-s'_{w}{\hat {k}}_{t}f''({\hat {k}}_{t})}{(1+n)(1+g)-s'_{r}f''({\hat {k}}_{t+1})}}}$.

В результате может получиться два варианта фазовой плоскости (см. иллюстрации). В первом варианте кривая ${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}}$ выходит из начала координат под углом более чем 45° (выше линии ${\displaystyle {\hat {k}}_{t}={\hat {k}}_{t+1}}$), и в модели будет нечётное число равновесных состояний (пересечения ${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}}$ и ${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}={\hat {k}}_{t}}$), из которых пересечения, по порядку идущие нечётными от начала координат (первое, третье, пятое и т. д.), будут устойчивыми равновесиями, а идущие чётными (второе, четвёртое и т. д.) — неустойчивыми. Во втором варианте кривая ${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}}$ выходит из начала координат под углом менее чем 45° (ниже линии ${\displaystyle {\hat {k}}_{t}={\hat {k}}_{t+1}}$), и в модели будет чётное число равновесных состояний, из которых пересечения, идущие чётными от начала координат (второе, четвёртое и т. д.), будут устойчивыми равновесиями, а идущие нечётными (первое, третье и т. д.) — неустойчивыми[21].

Наглядно достижение равновесия можно продемонстрировать в случае логарифмической функции полезности и производственной функции Кобба-Дугласа. В этом случае ${\displaystyle \theta =0}$, а полезность трат для индивида описывается функцией[22]:

${\displaystyle U=\ln(c_{1t})+{\frac {\ln(c_{2t+1})}{1+\rho }}}$.

Выпуск ${\displaystyle Y}$ описывается следующей функцией:

${\displaystyle Y=K^{\alpha }(LE)^{1-\alpha }}$.

Тогда, норма сбережений равна: ${\displaystyle {\bar {s}}_{t}={\bar {s}}={\frac {1}{2+\rho }}}$, а устойчивый уровень капиталовооружённости (в данном случае существует только одно равновесное состояние) равен[22][23]: ${\displaystyle {\hat {k}}^{*}={\biggl (}{\frac {1-\alpha }{(1+n)(1+g)(2+\rho )}}{\biggr )}^{\frac {1}{1-\alpha }}}$.

Процесс достижения равновесия на фазовой плоскости для рассматриваемого случая показан на иллюстрации.

Устойчивый уровень выпуска на единицу труда с постоянной эффективностью ${\displaystyle {\hat {y}}^{*}}$ в этом случае составляет:

${\displaystyle {\hat {y}}^{*}={\hat {k}}^{*\alpha }={\biggl (}{\frac {1-\alpha }{(1+n)(1+g)(2+\rho )}}{\biggr )}^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}$.

Как и в моделях Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, потребление максимально в том случае, если ${\displaystyle f'({\hat {k}}^{*})=n+g+\delta }$. Таким образом, в модели возможна динамическая неэффективность (избыточное накопление капитала), в том случае, если[24]:

${\displaystyle {\frac {\alpha (1+n)(1+g)(2+\rho )}{1-\alpha }}<n+g+\delta }$.

Модель предполагает наличие условной конвергенции, то есть, что страны с малым уровнем капиталовооружённости будут расти более высокими темпами, чем страны с большим уровнем капиталовооружённости, при условии, что устойчивое состояние у них одинаково. Частный случай с производственной функцией Кобба — Дугласа и логарифмической полезностью позволяет оценить, насколько быстро она происходит. Скорость приближения к устойчивому состоянию можно оценить при помощи линейной аппроксимации ${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}}$ в зависимости от ${\displaystyle {\hat {k}}_{t}}$ посредством разложения в ряд Тейлора[25]:

${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}\approx {\hat {k}}^{*}+{\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}\vert _{{\hat {k}}_{t}={\hat {k}}^{*}}({\hat {k}}_{t}-{\hat {k}}^{*})}$.

Если обозначить производную в точке равновесия ${\displaystyle \lambda ={\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}\vert _{{\hat {k}}_{t}={\hat {k}}^{*}}}$, то путем рекуррентных постановок получается следующее уравнение приближения к равновесному состоянию:

${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}-{\hat {k}}^{*}=\lambda ^{t}({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})}$.

Для рассматриваемого случая, ${\displaystyle \lambda =\alpha }$, потому:

${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}-{\hat {k}}^{*}=\lambda ^{t}({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})=\alpha ^{t}({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})}$.

Таким образом, в рассматриваемом случае скорость конвергенции напрямую зависит от ${\displaystyle \alpha }$ — доли дохода на капитал в общем доходе. Чем меньше доля дохода на капитал, тем быстрее происходит движение к равновесному состоянию, и тем быстрее бедные страны догоняют богатые[9].

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, фискальная политика

Модель позволяет оценить влияние фискальной политики на равновесие. В рамках модели, увеличение налогов и государственных расходов приводит к равновесию с меньшим уровнем капиталовооружённости, выпуска и потребления. Влияние бюджетно-налоговой политики показано на диаграмме. Кривая ${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}}$ сдвигается вниз на величину ${\displaystyle {\hat {G}}_{t}={\hat {T}}_{t}}$ — налогов (государственных расходов) на единицу эффективного труда, величина налогов предполагается равной величине государственных расходов, которые не влияют на полезность индивидов и будущий выпуск. Равновесие сдвигается из точки ${\displaystyle A}$ (устойчивое равновесие) в точку ${\displaystyle B}$ (устойчивое равновесие), и устанавливается на более низком уровне капиталовооружённости ${\displaystyle {\hat {k}}^{*}:{\hat {k}}_{B}^{*}<{\hat {k}}_{A}^{*}}$ и потребления. Появившаяся третья равновесная точка ${\displaystyle C}$ является неустойчивым равновесием. Равенство Рикардо — Барро не выполняется[6][26]. Таким образом, в модели государственные расходы вытесняют как потребление, так и инвестиции[27].