Модель Агьона — Ховитта

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. В экономике существует три сектора: промежуточных товаров, конечных товаров и НИОКР. Сектор промежуточной продукции работает в условиях монополистической конкуренции. Сектор конечной продукции работает в условиях совершенной конкуренции. Сектор НИОКР продаёт свои патенты сектору промежуточных товаров. Экономический рост в модели происходит за счёт увеличения качества промежуточных товаров. Время ${\displaystyle \tau }$ изменяется непрерывно[15].

В модели не учитывается накопление капитала, выпуск ${\displaystyle y}$ предполагается равным потреблению ${\displaystyle c}$: ${\displaystyle y=c}$[15].

Трудовые ресурсы считаются постоянными во времени ${\displaystyle L=const}$. ${\displaystyle L=L_{F}+n}$, где ${\displaystyle L_{F}}$ — трудовые ресурсы, занятые в производстве, ${\displaystyle n}$ — трудовые ресурсы, занятые в научно-исследовательском секторе.

Все промежуточные товары ${\displaystyle x_{j}}$ для простоты предполагаются равными: ${\displaystyle x_{j}=x}$ ${\displaystyle \forall j}$.

Производственная функция промежуточного продукта линейна относительно трудовых ресурсов и описывается формулой: ${\displaystyle x=L_{F}}$[15].

Производственная функция конечного продукта обладает убывающей предельной полезностью и описывается следующей формулой: ${\displaystyle y=Ax^{\alpha }}$[17], где ${\displaystyle \alpha }$ — эластичность выпуска по промежуточному продукту, ${\displaystyle 0<\alpha <1}$, ${\displaystyle \alpha =const}$, ${\displaystyle A}$ — технологический параметр, который в свою очередь описывается формулой: ${\displaystyle A_{t}=A_{0}{\gamma }^{t}}$, где ${\displaystyle A_{0}}$ — изначальный технологический уровень, ${\displaystyle t}$ — поколение промежуточного продукта, ${\displaystyle \gamma }$ — коэффициент, ${\displaystyle \gamma >1}$, ${\displaystyle \gamma =const}$.

Функция полезности потребителя в модели выбрана так, чтобы межвременные предпочтения были линейными[15][17]:

${\displaystyle u(y)=\int \limits _{0}^{\infty }y_{\tau }e^{-r{\tau }}d\tau }$,

где ${\displaystyle r}$ — норма межвременных предпочтений потребителя (субъективная дисконтная ставка[17]), которая в модели принята равной процентной ставке.

Инновации возникают в зависимости от занятых в научно-исследовательском секторе трудовых ресурсов ${\displaystyle n}$, но не линейно, а с некоторой вероятностью. Количество инноваций ${\displaystyle v}$ распределено по закону Пуассона[15][18]:

${\displaystyle v\sim P(\lambda n)}$,

где ${\displaystyle {\lambda }}$ — производительность исследовательской технологии, ${\displaystyle \lambda >0}$, ${\displaystyle \lambda =const}$.

Количества труда в научно-исследовательском секторе ${\displaystyle n}$ определяется следующим условием[15]:

${\displaystyle w_{t}={\lambda }V_{t+1}}$,

где ${\displaystyle t}$ — порядковый номер инновации, ${\displaystyle w_{t}}$ — заработная плата, ${\displaystyle V_{t+1}}$ — ожидаемая дисконтированная стоимость (приведённая к текущему периоду) ${\displaystyle t+1}$-й инновации.

${\displaystyle V_{t+1}}$ определяется из уравнения доходности активов[19][15]:

${\displaystyle \left(1+{\frac {r}{\lambda n_{t+1}}}\right)V_{t+1}={\frac {\pi _{t+1}}{\lambda n_{t+1}}}}$,

где ${\displaystyle \pi _{t+1}}$ — монопольная прибыль от обладания ${\displaystyle t+1}$-й технологией, ${\displaystyle r}$ — процентная ставка[19].

Сектор конечной продукции работает в условиях совершенной конкуренции. Из этого следует, что в результате решения задачи фирмы цена ${\displaystyle p_{x}}$ промежуточного товара ${\displaystyle x}$ равна его предельной производительности[20]:

${\displaystyle p_{x}(t)=A_{t}{\alpha }x^{\alpha -1}}$.

Фирма-разработчик нового продукта определяет свою прибыль как монополист[15][20]:

${\displaystyle \pi _{t}={\underset {x}{\max }}(p_{x}(t)x-w_{t}x)}$.

Отсюда выводится функция спроса на трудовые ресурсы в производстве ${\displaystyle x={\tilde {x}}({\omega }_{t})}$[15][20], где

${\displaystyle \omega _{t}={\frac {w_{t}}{A_{t}}}}$ — заработная плата на единицу производительности,

${\displaystyle {\tilde {x}}={\frac {x_{t}}{A_{t}}}}$ — выпуск промежуточных товаров на единицу производительности,

${\displaystyle {\tilde {\pi }}={\frac {\pi _{t}}{A_{t}}}}$ — прибыль на единицу производительности.

Модель Агьона — Ховитта, равновесие на рынке труда

Модель Агьона — Ховитта, рост выпуска при появлении инноваций

Из уравнения для ${\displaystyle V_{t+1}}$и задачи максимизации для ${\displaystyle \pi _{t}}$ получены условия равенства заработной платы в производственном и научно-исследовательском секторах и равенства на рынке труда[21]:

${\displaystyle w_{t}={\lambda }{\frac {\gamma {\tilde {\pi }}({\omega _{t+1}})}{r+\lambda n_{t+1}}}}$,

${\displaystyle L=n_{t}+{\tilde {x}}(\omega _{t})}$.

В устойчивом состоянии ${\displaystyle \omega _{t}=\omega _{t+1}=\omega }$ и ${\displaystyle n_{t}=n_{t+1}=n}$, откуда равновесное значение ${\displaystyle {\hat {n}}}$ будет равно[22]:

${\displaystyle {\hat {n}}={\frac {\gamma {\frac {1-\alpha }{\alpha }}L-{\frac {r}{\lambda }}}{1+\gamma {\frac {1-\alpha }{\alpha }}}}}$.

Равновесие на рынке труда в модели представлено на графике. По оси абсцисс отложена занятость в секторе НИОКР ${\displaystyle n}$, а по оси ординат — эффективная заработная плата ${\displaystyle \omega }$. Красная кривая отражает совокупность точек, в которых выполняется арбитражное равновесие в заработной плате между производственным и научно-исследовательским сектором. Синяя кривая отражает равновесные состояния на рынке труда. Поскольку красная кривая наклонена отрицательно, а синяя — положительно, то существует единственное равновесное состояние. Равновесный уровень занятости в секторе НИОКР ${\displaystyle {\hat {n}}}$, от которого зависят темпы роста в модели, растёт при снижении процентной ставки ${\displaystyle r}$ и при росте величины инновации ${\displaystyle \gamma }$, производительности труда в секторе НИОКР ${\displaystyle \lambda }$ и трудовых ресурсов ${\displaystyle L}$[23][15].

Подставляя полученное решение в производственную функцию конечного продукта, получим математическое ожидание устойчивого темпа эндогенного роста экономики[24]:

${\displaystyle E{\biggl (}{\frac {\ln y_{\tau +1}}{\ln y_{\tau }}}{\biggr )}=\lambda {\hat {n}}\ln \gamma }$.

Рост логарифма объёма выпуска с возникновением инноваций представлен на графике. По оси абсцисс отложено время ${\displaystyle \tau }$, по оси ординат — натуральный логарифм выпуска ${\displaystyle \ln y}$. Рост имеет стохастическую природу, поскольку инновации ${\displaystyle t}$ возникают с некоторой вероятностью. При возникновении инновации логарифм выпуска скачкообразно растёт на величину ${\displaystyle \ln \gamma }$[25].

Поскольку в модели принята предпосылка о равенстве нормы межвременных предпочтений ставке процента, то оптимальный темп роста совпадает с найденным выше устойчивым[26].