Модель Харрода — Домара

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль и функционируют в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт ${\displaystyle Y}$, используемый, как для потребления ${\displaystyle C}$, так и для инвестиций ${\displaystyle I}$. Темпы роста населения ${\displaystyle n}$ и производительности труда ${\displaystyle \delta }$ экзогенны и постоянны. Предложение труда ${\displaystyle L}$ избыточно. Уровень цен ${\displaystyle P}$ в экономике постоянен. Норма сбережений ${\displaystyle s}$ задаётся экзогенно и постоянна. Фискальная политика (государственные расходы и налоги) в модели отсутствует. Время ${\displaystyle t}$ изменяется дискретно. Инвестиционный лаг равен нулю[15][16][17][18][19][20].

Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведённый продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям (${\displaystyle c}$ — норма потребления): ${\displaystyle S=I=sY=\Delta K}$, ${\displaystyle C=cY}$, ${\displaystyle Y=C+I}$, ${\displaystyle c+s=1}$[15].

В базовой версии модели население и производительность труда считаются постоянными (${\displaystyle n=0}$, ${\displaystyle \delta =0}$)[15].

Производственная функция ${\displaystyle Y(K,L)}$ описывается функцией Леонтьева: ${\displaystyle Y(K,L)=\min {\biggl (}{\frac {K}{a}};{\frac {L}{b}}{\biggr )}}$[15]. Поскольку предложение труда ${\displaystyle L}$ избыточно, фактически, выпуск зависит только от одного параметра — капитала ${\displaystyle K}$, а отношение капитала к объёму выпуска ${\displaystyle Y}$, называемое капиталоемкостью, постоянно: ${\displaystyle {\frac {K}{Y}}={\frac {\Delta K}{\Delta Y}}=a=const}$[21].

Прирост совокупного спроса зависит от размера инвестиций, которые равны сбережениям[22]:

${\displaystyle \Delta Y_{t}=m\Delta Y_{t-1}={\frac {1}{1-c}}\Delta Y_{t-1}={\frac {1}{s}}\Delta I_{t-1}}$,

где ${\displaystyle m}$ — кейнсианский мультипликатор (мультипликатор расходов).

Поскольку прирост предложения, фактически, зависит только от капитала, то можно записать его в следующем виде[21]:

${\displaystyle \Delta Y_{t}={\frac {\Delta K_{t-1}}{a}}={\frac {I_{t-1}}{a}}}$

Откуда получаем темп прироста инвестиций при условии равенства спроса и предложения[21]:

${\displaystyle {\frac {\Delta I_{t-1}}{I_{t-1}}}={\frac {s}{a}}}$.

Поскольку норма сбережений ${\displaystyle s}$ постоянна, то равновесный темп роста выпуска (при котором совокупный спрос равен совокупному предложению) равен[23][15][24][6]:

${\displaystyle {\frac {\Delta Y}{Y}}={\frac {\Delta I}{I}}={\frac {s}{a}}}$.

Это соотношение было названо Харродом «гарантированным темпом роста», оно соответствует темпу роста при полной загрузке производственных мощностей. Если фактический темп роста отличается от гарантированного, то это значит, что система отдаляется от равновесия. Понятие «гарантированного темпа роста» не тождественно понятию «естественного темпа роста», поскольку последнее предполагает полную занятость, а первое — нет. Если гарантированный темп роста выше естественного, то это значит, что фактический темп роста будет ниже гарантированного. А это, в свою очередь, означает, что фактический спрос будет ниже ожиданий фирм, следовательно, они будут сокращать инвестиции, и наступит депрессия. Если гарантированный темп роста ниже естественного, то фактический темп роста будет выше гарантированного. А это означает, что фактический спрос будет выше ожиданий фирм, они будут наращивать инвестиции и наступит экономический бум. Только в случае равенства всех трёх темпов роста (гарантированного, естественного и фактического) в экономике сохраняется равновесие спроса и предложения. Поскольку любое отклонение инвестиций от равновесного значения выводит систему из равновесия, динамическое равновесие в модели неустойчиво, а механизмов возврата в равновесное состояние не существует, модель Харрода — Домара называют моделью «на острие ножа»[25][18].

С учётом межстрановой (или межрегиональной) торговли уравнение для инвестиций примет вид[18]:

${\displaystyle I=\Delta K=S+NX}$,

где ${\displaystyle NX}$ — чистый экспорт (разница между экспортом и импортом) страны или региона.

В этом случае равновесный темп роста будет равен[18]:

${\displaystyle {\frac {\Delta Y}{Y}}={\frac {\Delta I+\Delta NX}{I+NX}}={\frac {s+nx}{a}}}$,

где ${\displaystyle nx={\frac {NX}{Y}}}$ — отношение чистого экспорта к выпуску (может быть отрицательным, если импорт превышает экспорт).

Модель Харрода — Домара, графическая интерпретация эффектов мультипликатора и акселератора

Графически действие эффекта акселератора показано на иллюстрации. При равновесном росте плановые сбережения равны плановым инвестициям, загрузка созданных производственных мощностей полная, и спрос и предложение растут на ${\displaystyle {\frac {I}{a}}}$, а инвестиции растут на ${\displaystyle {\frac {s}{a}}}$ процентов в следующем периоде. Равновесный уровень выпуска ${\displaystyle Y}$ расположен на пересечении функции сбережения ${\displaystyle S(Y)}$ и функции инвестиции ${\displaystyle I=f(\Delta Y)}$. Предельная производительность капитала равна: ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {1}{a}}}$. Функция инвестиций ${\displaystyle I={\frac {\Delta K}{\Delta Y}}=a}$ — постоянна, её коэффициент наклона равен величине, обратной предельной производительности капитала. ${\displaystyle Y_{1}}$ — первоначальный доход при полной загрузки мощностей, влечёт поток инвестиций ${\displaystyle S_{1}=sY_{1}=\Delta K_{1}}$, благодаря которым вырастают мощности на ${\displaystyle S_{1}=I_{1}=\Delta K_{2}=sY_{1}}$, и совокупный выпуск растёт до уровня ${\displaystyle Y_{2}}$, ${\displaystyle Y_{2}>Y_{1}}$, ${\displaystyle Y_{2}-Y_{1}=\Delta Y_{2}={\frac {\Delta K_{2}}{a}}={\frac {s}{a}}Y_{1}}$. В следующем периоде инвестиций растут с ${\displaystyle I_{1}}$ до ${\displaystyle I_{2}}$, к росту производственных мощностей на ${\displaystyle S_{2}=I_{2}=\Delta K_{3}=sY_{2}}$, и совокупный выпуск растёт до уровня ${\displaystyle Y_{3}}$, ${\displaystyle Y_{3}>Y_{2}>Y_{1}}$, ${\displaystyle Y_{3}-Y_{2}=\Delta Y_{3}={\frac {\Delta K_{3}}{a}}={\frac {s}{a}}Y_{2}}$. Эффект акселератора заключается в том, что валовый прирост выпуска каждого следующего года больше, чем предыдущего (${\displaystyle \Delta Y_{3}>\Delta Y_{2}}$), и совокупные выпуск, спрос, инвестиции и сбережения растут экспоненциально[26].

Акселератор равен величине, обратной предельной производительности капитала: ${\displaystyle \nu =a}$[26][18].

Кейнсианский мультипликатор ${\displaystyle m}$, обратный предельной склонности к сбережению ${\displaystyle s}$ (обратный наклону функции ${\displaystyle S(Y)}$), равный ${\displaystyle m={\frac {\Delta Y}{\Delta I}}={\frac {1}{s}}}$, показывает величину смещения функции инвестиций ${\displaystyle I}$ от уровня ${\displaystyle I_{1}}$ до ${\displaystyle I_{2}}$ (а затем от ${\displaystyle I_{2}}$ до ${\displaystyle I_{3}}$ и так далее), которое приводит к дополнительному выпуску ${\displaystyle \Delta Y_{2}}$, порождая дополнительные сбережения. А акселератор показывает, как эти дополнительные сбережения превращаются в дополнительные инвестиции, обеспечивая равенство плановых сбережений и плановых инвестиций как условие равновесия. В модели предельная склонность к сбережению, предельная производительность капитала, и, соответственно, кейнсианский мультипликатор и акселератор — константы[26].