Модель Мэнкью — Ромера — Вейла

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль. Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт ${\displaystyle Y}$, используемый, как для потребления ${\displaystyle C}$, так и для инвестиций ${\displaystyle I}$. Темпы технологического прогресса ${\displaystyle g}$, роста населения ${\displaystyle n}$ и норма выбытия капитала (как человеческого, так и физического) ${\displaystyle \delta }$ — постоянны и задаются экзогенно. В модели присутствуют две нормы сбережений для физического (${\displaystyle s_{K}}$) и человеческого капитала (${\displaystyle s_{H}}$) обе они задаются экзогенно, Фискальная политика (государственные расходы и налоги) в модели отсутствует. Время ${\displaystyle t}$ изменяется непрерывно[5].

Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведённый продукт тратится на инвестиции в физический и человеческий капитал, и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: ${\displaystyle S=I=s_{K}Y+s_{H}Y}$, ${\displaystyle Y=C+I}$.

Производственная функция ${\displaystyle Y(K,H,L,E)}$ удовлетворяет неоклассическим предпосылкам[12][13]:

1) технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду): ${\displaystyle Y_{t}=Y(K_{t},H_{t},L_{t}E_{t}),E_{t}=E_{0}e^{gt},g=const}$.

2) в производственной функции используются труд ${\displaystyle L}$ и физический капитал ${\displaystyle K}$ и человеческий капитал ${\displaystyle H}$, она обладает постоянной отдачей от масштаба: ${\displaystyle Y(aK,aH,aLE)=aY(K,H,LE)}$.

3) предельная производительность факторов положительная и убывающая: ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}<0,{\frac {\partial Y}{\partial H}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial H^{2}}}<0,{\frac {\partial Y}{\partial L}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial L^{2}}}<0}$.

4) производственная функция удовлетворяет условиям Инады, а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала: ${\displaystyle \lim _{K\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{H\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial H}}=\lim _{L\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial L}}=+\infty ,\lim _{K\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{H\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial H}}=\lim _{L\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial L}}=0}$.

5) для производства необходим каждый фактор: ${\displaystyle Y(0,H,LE)=Y(K,0,LE)=Y(K,H,0)=0}$.

Население ${\displaystyle L_{t}}$, равное в модели совокупным трудовым ресурсам, растёт с постоянным темпом ${\displaystyle n}$: ${\displaystyle L_{t}=L_{0}e^{nt},n=const}$[14].

Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу эффективного труда ${\displaystyle y={\frac {Y}{LE}}}$, запас физического капитала на единицу эффективного труда ${\displaystyle k={\frac {K}{LE}}}$, запас человеческого капитала на единицу эффективного труда ${\displaystyle h={\frac {H}{LE}}}$,потребление на единицу эффективного труда ${\displaystyle c={\frac {C}{LE}}}$, инвестиции на единицу эффективного труда ${\displaystyle i={\frac {I}{LE}}}$.

Тогда производственную функцию можно записать в следующем виде:${\displaystyle y={\frac {Y}{LE}}=Y{\biggl (}{\frac {K}{LE}},{\frac {H}{LE}},1{\biggr )}=f(k,h)}$.

Наиболее часто в качестве конкретного примера производственной функции, удовлетворяющей предпосылкам модели, используется производственная функция Кобба — Дугласа[5][15]:

${\displaystyle Y(K,H,LE)=K^{\alpha }H^{\beta }(LE)^{1-\alpha -\beta },y=k^{\alpha }h^{\beta },0<\alpha ,0<\beta ,\alpha +\beta <1}$,

где ${\displaystyle \alpha }$ — эластичность выпуска по физическому капиталу, ${\displaystyle \beta }$ — эластичность выпуска по человеческому капиталу, ${\displaystyle (1-\alpha -\beta )}$ — эластичность выпуска по труду.

Как и в модели Солоу, поведение потребителей в явном виде в модели не рассматривается. Функция полезности отсутствует. Вместо этого имеется две экзогенно задаваемые нормы сбережений физического и человеческого капитала ${\displaystyle s_{K}}$ и ${\displaystyle s_{H}}$,${\displaystyle 0<s_{K},0<s_{H},s_{K}+s_{H}<1}$, означающие, что домохозяйства сберегают долю своего дохода ${\displaystyle s_{K}+s_{H}}$, а оставшуюся долю ${\displaystyle 1-s_{K}-s_{H}}$ тратят на потребление, и это соотношение не зависит от происходящих в экономике событий[16].

Модель Мэнкью — Ромера — Вейла, фазовая плоскость

Исходя из предпосылок модели, в каждый момент времени ${\displaystyle t}$ физический и человеческий капиталы увеличиваются на величину инвестиций, то есть на ${\displaystyle s_{K}Y}$ и ${\displaystyle s_{H}Y}$ соответственно, и уменьшаются на ${\displaystyle \delta K}$ и ${\displaystyle \delta H}$, таким образом, мы можем записать производные физического капитала ${\displaystyle {\dot {K}}}$ и человеческого капитала ${\displaystyle {\dot {H}}}$ по времени в следующем виде[14]:

${\displaystyle {\dot {K}}=s_{K}Y_{t}-\delta K_{t}}$,

${\displaystyle {\dot {H}}=s_{H}Y_{t}-\delta H_{t}}$.

Учитывая, что ${\displaystyle k={\frac {K}{LE}}}$ и ${\displaystyle h={\frac {H}{LE}}}$, производные капиталовооружённости труда с постоянной эффективностью ${\displaystyle {\dot {k}}}$ и запаса человеческого капитала на единицу эффективного труда ${\displaystyle {\dot {h}}}$ по времени можно выразить следующим образом[17]:

${\displaystyle {\dot {k}}={\frac {\dot {K}}{L_{t}E_{t}}}-{\frac {K_{t}({\dot {L}}E_{t}+L_{t}{\dot {E}})}{(L_{t}E_{t})^{2}}}={\frac {s_{K}Y_{t}-\delta K_{t}}{L_{t}E_{t}}}-{\frac {K_{t}}{L_{t}E_{t}}}({\frac {\dot {L}}{L_{t}}}+{\frac {\dot {E}}{E_{t}}})=s_{K}f(k_{t},h_{t})-(n+g+\delta )k_{t}}$

${\displaystyle {\dot {h}}={\frac {\dot {H}}{L_{t}E_{t}}}-{\frac {H_{t}({\dot {L}}E_{t}+L_{t}{\dot {E}})}{(L_{t}E_{t})^{2}}}={\frac {s_{H}Y_{t}-\delta H_{t}}{L_{t}E_{t}}}-{\frac {H_{t}}{L_{t}E_{t}}}({\frac {\dot {L}}{L_{t}}}+{\frac {\dot {E}}{E_{t}}})=s_{H}f(k_{t},h_{t})-(n+g+\delta )h_{t}}$

где ${\displaystyle {\dot {L}}}$ — производная размера населения по времени, ${\displaystyle {\dot {E}}}$ — производная эффективности труда по времени. Исходя из ранее принятых предпосылок, ${\displaystyle {\frac {\dot {L}}{L_{t}}}=n}$ и ${\displaystyle {\frac {\dot {E}}{E_{t}}}=g}$.

Если инвестиции на единицу эффективного труда в физический ${\displaystyle i_{K_{t}}=s_{K}f(k_{t},h_{t})}$ и человеческий капитал ${\displaystyle i_{H_{t}}=s_{H}f(k_{t},h_{t})}$ превышают выбытие капитала на единицу эффективного труда ${\displaystyle (n+g+\delta )k_{t}}$ и ${\displaystyle (n+g+\delta )h_{t}}$ соответственно, то ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle h}$ растут, в противном случае — падают. В стационарном состоянии состоянии уровень физического ${\displaystyle k}$ и человеческого капитала ${\displaystyle h}$ на единицу эффективного труда постоянен, то есть ${\displaystyle {\dot {k}}=0}$ и ${\displaystyle {\dot {h}}=0}$, а значит устойчивые уровни капиталовооружённости труда с постоянной эффективностью ${\displaystyle k^{*}}$ и запаса человеческого капитала на единицу эффективного труда ${\displaystyle h^{*}}$ и находятся из системы уравнений[17]:

${\displaystyle {\begin{cases}s_{K}f(k^{*},h^{*})=(n+g+\delta )k^{*}\\s_{H}f(k^{*},h^{*})=(n+g+\delta )h^{*}\end{cases}}}$

Если в качестве производственной функции в модели используется используется функция Кобба — Дугласа ${\displaystyle Y(K,H,LE)=K^{\alpha }H^{\beta }(LE)^{1-\alpha -\beta }}$, то ${\displaystyle k^{*}}$ и ${\displaystyle h^{*}}$ принимают следующие значения[18][19][5]:

${\displaystyle k^{*}={\biggl (}{\frac {s_{K}^{1-\beta }s_{H}^{\beta }}{n+g+\delta }}{\biggr )}^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}$

${\displaystyle h^{*}={\biggl (}{\frac {s_{K}^{1-\alpha }s_{H}^{\alpha }}{n+g+\delta }}{\biggr )}^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}$

Графически достижение стационарного состояния в модели Мэнкью — Ромера — Вейла можно проиллюстрировать при помощи фазовой плоскости. Линии ${\displaystyle {\dot {k}}=0}$ (синяя) и ${\displaystyle {\dot {h}}=0}$ (зелёная) делят диаграмму на четыре квадранта. Выше линии ${\displaystyle {\dot {h}}=0}$ траектория капиталовооружённости идёт вниз, а ниже — вверх. Слева от линии ${\displaystyle {\dot {k}}=0}$ траектория капиталовооружённости идёт вправо, а справа — влево. Таким образом, в квадранте I траектория идёт вправо и вниз, в квадранте II — влево и вниз, в квадранте III — влево и вверх, в квадранте IV — вправо и вверх. Возможные траектории капиталовооружённости показаны красным. В итоге, в модели из любой начальной точки система приходит к равновесию ${\displaystyle (k^{*};h^{*})}$[20].

В стационарном состоянии темп прироста показателей на единицу эффективного труда равен нулю[21]:

${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{y}}=g_{y}={\frac {\dot {c}}{c}}=g_{c}={\frac {\dot {h}}{h}}=g_{h}={\frac {\dot {k}}{k}}=g_{k}=0}$.

Показатели на единицу труда растут с темпом технологического прогресса ${\displaystyle g}$[21]:

${\displaystyle {\frac {{\bigl (}{\dot {\frac {Y}{L}}}{\bigr )}}{\frac {Y}{L}}}=g_{Y/L}={\frac {{\bigl (}{\dot {\frac {C}{L}}}{\bigr )}}{\frac {C}{L}}}=g_{C/L}={\frac {{\bigl (}{\dot {\frac {H}{L}}}{\bigr )}}{\frac {H}{L}}}=g_{H/L}={\frac {{\bigl (}{\dot {\frac {K}{L}}}{\bigr )}}{\frac {K}{L}}}=g_{K/L}=g}$

Валовые показатели растут с темпом равным сумме темпов прироста технологического прогресса ${\displaystyle g}$ и населения ${\displaystyle n}$[21]:

${\displaystyle {\frac {\dot {Y}}{Y}}=g_{Y}={\frac {\dot {C}}{C}}=g_{C}={\frac {\dot {H}}{H}}=g_{H}={\frac {\dot {K}}{K}}=g_{K}=g+n}$.

Как и в модели Солоу, после нахождения устойчивых уровней ${\displaystyle k^{*}}$ и ${\displaystyle h^{*}}$ можно найти такие значения норм сбережений ${\displaystyle s_{K}^{*}}$ и ${\displaystyle s_{H}^{*}}$, при котором в устойчивом состояние потребление на единицу эффективного труда ${\displaystyle c}$ максимально. То есть, необходимо решить задачу[22]:

${\displaystyle \max _{s_{K},s_{H}}{c[k(s),h(s)]}}$

при условиях:

${\displaystyle {\dot {k}}=0}$,

${\displaystyle {\dot {h}}=0}$.

Выразив ${\displaystyle c}$ через ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle h}$ получим[23]:

${\displaystyle c[k(s),h(s)]=(1-s_{K}-s_{H})y=f[k(s),h(s)]-(n+g+\delta )k(s)-(n+g+\delta )h(s)}$.

Производные ${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial s_{K}}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial s_{H}}}}$ равны[23]:

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial s_{K}}}={\biggl (}{\frac {\partial f}{\partial k}}-(n+g+\delta ){\biggr )}{\frac {\partial k}{\partial s_{K}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial s_{H}}}={\biggl (}{\frac {\partial f}{\partial h}}-(n+g+\delta ){\biggr )}{\frac {\partial h}{\partial s_{H}}}}$

В точке максимума ${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial s_{K}}}=0}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial s_{H}}}=0}$. С ростом нормы сбережений капиталовооружённость на единицу эффективного труда и запас человеческого капитала на единицу эффективного труда растут, потому ${\displaystyle {\frac {\partial k}{\partial s_{K}}}>0}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial s_{H}}}>0}$. Значит, в точке максимума должны выполняться равенство[23]:

${\displaystyle {\frac {\partial f(k^{**},h^{**})}{\partial k}}=n+g+\delta }$,

${\displaystyle {\frac {\partial f(k^{**},h^{**})}{\partial h}}=n+g+\delta }$,

где ${\displaystyle k^{**}}$ — устойчивый уровень капиталовооружённости на единицу эффективного труда, ${\displaystyle h^{**}}$ — устойчивый уровень запаса человеческого капитала на единицу эффективного труда, соответствующие максимальному потреблению.

Таким образом, нормы сбережений ${\displaystyle s_{K}^{*}}$ и ${\displaystyle s_{H}^{*}}$, максимизирующие потребление ${\displaystyle c}$, находятся из решения системы уравнений[23]:

${\displaystyle {\begin{cases}s_{K}^{*}f(k^{**},h^{**})=(n+g+\delta )k^{**},\\s_{H}^{*}f(k^{**},h^{**})=(n+g+\delta )h^{**},\\{\frac {\partial f(k^{**},h^{**})}{\partial k}}=n+g+\delta ,\\{\frac {\partial f(k^{**},h^{**})}{\partial h}}=n+g+\delta .\end{cases}}}$

В результате решения этой системы оптимальные нормы сбережения, соответствующие Золотому правилу, равны эластичностям выпуска по соответствующему вида капитала[24]:

${\displaystyle s_{K}^{*}={\frac {k^{**}}{f(k^{**},h^{**})}}\times {\frac {\partial f(k^{**},h^{**})}{\partial k}}}$

${\displaystyle s_{H}^{*}={\frac {h^{**}}{f(k^{**},h^{**})}}\times {\frac {\partial f(k^{**},h^{**})}{\partial h}}}$

Если в качестве производственной функции в модели используется используется функция Кобба — Дугласа ${\displaystyle Y(K,H,LE)=K^{\alpha }H^{\beta }(LE)^{1-\alpha -\beta }}$, у которой эластичности выпуска по физическому и человеческому капиталу постоянны, то ${\displaystyle s_{K}^{*}=\alpha }$ и ${\displaystyle s_{H}^{*}=\beta }$[25].

Для оценки скорости приближения к устойчивому состоянию, нужно оценить величины ${\displaystyle {\frac {\dot {k}}{k}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\dot {h}}{h}}}$. Для этого нужно разделить уравнения ${\displaystyle {\dot {k}}=0}$ на ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle {\dot {h}}=0}$ на ${\displaystyle h}$ (с учётом того, что в стационарном состоянии ${\displaystyle s_{K}f(k^{*},h^{*})=(n+g+\delta )k^{*}}$ и ${\displaystyle s_{H}f(k^{*},h^{*})=(n+g+\delta )h^{*}}$)[26]:

${\displaystyle {\frac {\dot {k}}{k}}={\frac {s_{K}f(k,h)}{k}}-(n+g+\delta )=(n+g+\delta ){\biggl (}{\frac {f(k,h)k^{*}}{f(k^{*},h^{*})k}}-1{\biggr )}}$

${\displaystyle {\frac {\dot {h}}{h}}={\frac {s_{H}f(k,h)}{h}}-(n+g+\delta )=(n+g+\delta ){\biggl (}{\frac {f(k,h)h^{*}}{f(k^{*},h^{*})h}}-1{\biggr )}}$

Таким образом, при условиях ${\displaystyle k_{0}<k^{*}}$ и ${\displaystyle h_{0}<h^{*}}$, чем дальше страна находится от равновесного состояния, тем выше темпы роста. Линейные аппроксимации ${\displaystyle {\dot {k}}}$ в зависимости от ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle {\dot {h}}}$ в зависимости от ${\displaystyle h}$ при помощи разложения в ряд Тейлора вокруг точек ${\displaystyle k=k^{*}}$ и ${\displaystyle h=h^{*}}$ выглядит следующим образом[27]:

${\displaystyle {\dot {k}}\approx {\frac {\partial {\dot {k}}}{\partial k}}\vert _{k=k^{*}}(k-k^{*})}$,

${\displaystyle {\dot {h}}\approx {\frac {\partial {\dot {h}}}{\partial h}}\vert _{h=h^{*}}(h-h^{*})}$,

где ${\displaystyle {\frac {\partial {\dot {k}}}{\partial k}}\vert _{k=k^{*}}=s_{K}{\frac {\partial f(k^{*},h^{*})}{\partial k}}-(n+g+\delta )=(n+g+\delta ){\biggl (}{\frac {k^{*}}{f(k^{*},h^{*})}}\times {\frac {\partial f(k^{*},h^{*})}{\partial k}}-1{\biggr )}=(n+g+\delta )(\epsilon _{fk}^{*}-1)}$,

${\displaystyle {\frac {\partial {\dot {h}}}{\partial h}}\vert _{h=h^{*}}=s_{H}{\frac {\partial f(k^{*},h^{*})}{\partial h}}-(n+g+\delta )=(n+g+\delta ){\biggl (}{\frac {h^{*}}{f(k^{*},h^{*})}}\times {\frac {\partial f(k^{*},h^{*})}{\partial h}}-1{\biggr )}=(n+g+\delta )(\epsilon _{fh}^{*}-1)}$,

где ${\displaystyle \epsilon _{fk}^{*}}$ — эластичность выпуска по физическому капиталу в устойчивом состоянии, ${\displaystyle \epsilon _{fh}^{*}}$ — эластичность выпуска по человеческому капиталу в устойчивом состоянии.

Эти уравнения можно представить в следующем виде[28]:

${\displaystyle k_{t}-k^{*}=e^{-\lambda t}(k_{0}-k^{*})}$,

${\displaystyle h_{t}-h^{*}=e^{-\mu t}(h_{0}-h^{*})}$,

где ${\displaystyle \lambda }$ — коэффициент, характеризующий скорость конвергенции физического капитала, ${\displaystyle \mu }$ — коэффициент, характеризующий скорость конвергенции человеческого капитала.

Таким образом, модель Мэнкью — Ромера — Вейла, как и модель Солоу, предполагает условную конвергенцию, то есть, что бедные страны будут расти быстрее богатых и в конце концов достигнут их уровня благосостояния при условии, что структурные параметры их экономик одинаковы[24].