Модель распространения технологий

В модели присутствуют два типа стран: страна-лидер (англ. Leader) и страна-последователь (англ. Follower). Страна-лидер разрабатывает новые технологии, а страна-последователь имитирует технологии, заимствованные у лидера. Однако при этом в модели рассматривается закрытая экономика: экспорт и импорт товаров отсутствуют. Мобильность капитала между странами также отсутствует. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. В экономике существует три сектора: промежуточных товаров, конечных товаров и НИОКР. Сектор конечной продукции работает в условиях совершенной конкуренции. Сектор промежуточной продукции работает в условиях монополистической конкуренции. Сектор НИОКР продает свои патенты на изобретенные продукты сектору промежуточных товаров. Экономический рост в модели происходит за счёт увеличения числа промежуточных товаров. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Время ${\displaystyle t}$ изменяется непрерывно[12][10][13][14].

Трудовые ресурсы ${\displaystyle L}$, считающиеся в модели постоянными в стране-лидере, распределены между секторами производства конечной продукции и НИОКР[12][10]:

${\displaystyle L_{1}=L_{1Y}+L_{1RD}}$,

где ${\displaystyle L_{1}}$ — совокупные трудовые ресурсы в стране-лидере, ${\displaystyle L_{1}=const}$, ${\displaystyle L_{1Y}}$ — трудовые ресурсы, занятые в производстве в стране-лидере, которые в модели считаются постоянными во времени, ${\displaystyle L_{1Y}=const}$, ${\displaystyle L_{1RD}}$ — трудовые ресурсы в научно-исследовательском секторе в стране-лидере, ${\displaystyle L_{1RD}=const}$.

В стране-последователе трудовые ресурсы распределены аналогично[10]:

${\displaystyle L_{2}=L_{2Y}+L_{2RD}}$,

где ${\displaystyle L_{2}}$ — совокупные трудовые ресурсы в стране-последователе, ${\displaystyle L_{2}=const}$, ${\displaystyle L_{2Y}}$ — трудовые ресурсы, занятые в производстве в стране-последователе, которые в модели считаются постоянными во времени, ${\displaystyle L_{2Y}=const}$, ${\displaystyle L_{2RD}}$ — трудовые ресурсы в научно-исследовательском секторе в стране-последователе, ${\displaystyle L_{2RD}=const}$.

Производственная функция одинакова в двух странах, она обладает убывающей предельной производительностью, постоянной отдачей от масштаба и представляет собой функцию Диксита — Стиглица[12][10]:

${\displaystyle Y_{t}=AL_{Y}^{1-\alpha }\int \limits _{0}^{N_{t}}x_{j}^{\alpha }dj}$,

где ${\displaystyle Y_{t}}$ — выпуск конечного продукта, ${\displaystyle A}$ — уровень технологической производительности в экономике, ${\displaystyle A=const}$, ${\displaystyle \alpha }$ — эластичность выпуска по промежуточному товару, ${\displaystyle 0<\alpha <1}$, ${\displaystyle \alpha =const}$, ${\displaystyle x_{j}}$ — количество используемого ${\displaystyle j}$-го промежуточного продукта, ${\displaystyle N_{t}}$ — количество промежуточных продуктов в экономике в момент времени ${\displaystyle t}$.

${\displaystyle N_{1t}}$ — количество промежуточных продуктов в стране-лидере, ${\displaystyle N_{2t}}$ — количество промежуточных продуктов в стране-последователе, ${\displaystyle N_{1t_{0}}\geqslant N_{2t_{0}}}$[10][7].

Физический капитал ${\displaystyle K}$ в экономике равен сумме промежуточных продуктов, каждый из которых полностью используется в производственном цикле[15]:

${\displaystyle K_{t}=\int \limits _{0}^{N_{t}}x_{j}dj}$.

Цена единицы выпуска конечного продукта в модели: ${\displaystyle P=1}$. Это означает, что цены промежуточных продуктов даны как отношение к цене конечного продукта: ${\displaystyle p_{j}={\frac {P_{j}}{P}}}$. Реальная заработная плата равна ${\displaystyle w={\frac {W}{P}}}$.

Инвестиции ${\displaystyle I}$ в модели в обеих странах равны сбережениям ${\displaystyle S}$ и вычисляются исходя из тождества системы национальных счетов[10]:

${\displaystyle I_{t}={\dot {K}}=Y_{t}-C_{t}}$,

где ${\displaystyle C_{t}=c_{t}L}$ — совокупное потребление, ${\displaystyle c_{t}}$ — потребление на единицу труда в момент времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle {\dot {K}}}$ — производная капитала по времени.

Функция полезности потребителя обладает в обеих странах постоянной эластичностью замещения по времени, как и в модели Рамсея — Касса — Купманса[10]:

${\displaystyle U(c)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\rho t}{\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}dt}$,

где ${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}}$ — эластичность замещения по времени, ${\displaystyle \theta >0}$, ${\displaystyle \theta =const}$, ${\displaystyle {\rho }}$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, ${\displaystyle \rho >-1}$, ${\displaystyle \rho =const}$. Функция удовлетворяет условиям ${\displaystyle u'(c)>0,u''(c)<0}$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u'(c)=+\infty$ ;\ \lim _{c\to \infty }u'(c)=0} .

Как и в модели Рамсея — Касса — Купманса, доходы индивида в обеих странах состоят из заработной платы ${\displaystyle w}$ и поступлений от активов ${\displaystyle ra_{t}}$. Активы индивида ${\displaystyle a_{t}}$ могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка ${\displaystyle r_{t}}$ по вложениям и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новых[10][16]:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }a_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geqslant 0}$,

где ${\displaystyle a_{t}={\frac {K_{t}}{L_{t}}}=k_{t}}$ — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида ${\displaystyle a}$ совпадает с запасом капитала на одного работающего.

Параметры общего экономического равновесия и темпы экономического роста в рассматриваемой модели в стране-лидере полностью аналогичны модели растущего разнообразия товаров[17]. Функция спроса на ${\displaystyle j}$-й промежуточный продукт имеет вид[10][12]:

${\displaystyle x_{1j}=x=L_{1Y}\left(A{\frac {\alpha }{p_{1x}}}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}}$.

В результате решения задачи фирмы прибыль производителя промежуточного продукта в стране-лидере (${\displaystyle {\pi }_{1x}}$) равна[10][12][18]:

${\displaystyle {\pi }_{1x}=(1-{\alpha }){\gamma }^{-\alpha }{\alpha }^{\frac {1+{\alpha }}{1-{\alpha }}}A^{\frac {1}{1-{\alpha }}}L_{1Y}=const}$.

В результате решения задачи потребителя, динамика потребления выглядит следующим образом[10][12][19][20]:

${\displaystyle {\frac {\dot {c_{1}}}{c_{1}}}={\frac {1}{\theta }}(r_{1t}-{\rho })}$,

где ${\displaystyle {\dot {c}}}$ — производная потребления на душу населения по времени.

Производственная функция научного-исследовательского сектора в модели находится из следующего дифференциального уравнения[10][12][17]:

${\displaystyle {\dot {N_{1}}}=bL_{1RD}N_{1t}}$

где ${\displaystyle b}$ — производительность в научно-исследовательском секторе, ${\displaystyle b=const}$, ${\displaystyle {\dot {N_{1}}}}$ — производная количества промежуточных продуктов в стране-лидере по времени, также предполагается положительный внешний эффект от количества промежуточных товаров ${\displaystyle N_{1t}}$.

Научно-исследовательский сектор работает в условиях совершенной конкуренции, потому цена патента ${\displaystyle q}$ равна предельным издержкам по разработке новой технологии ${\displaystyle \eta }$[10][12][17]:

${\displaystyle q={\frac {w}{bN_{1}}}=const=\eta }$.

В устойчивом состоянии темпы роста потребления равны темпам роста выпуска и капитала, а в равновесном состоянии цена патента ${\displaystyle q}$ постоянна (${\displaystyle {\dot {q}}=0}$), потому[10][12][21][22][23]:

${\displaystyle r_{1t}={\frac {\pi }{\eta }}}$,

${\displaystyle {\frac {\dot {c_{1}}}{c_{1}}}={\frac {\dot {Y_{1}}}{Y_{1}}}={\frac {\dot {K_{1}}}{K_{1}}}={\frac {1}{\theta }}\left({\frac {\pi _{1}}{\eta }}-{\rho }\right)={\frac {1}{\theta }}({\alpha }bL_{1Y}-{\rho })=g_{1}=const}$,

где ${\displaystyle {\dot {Y_{1}}}}$ — производная выпуска в стране-лидере по времени.

Модель распространения технологий, функция издержек имитации продукта

Страна последователь может не только разрабатывать новые технологии, но и имитировать те, что уже разработаны в стране-лидере. Издержки имитации (${\displaystyle \nu }$) ниже, чем издержки разработки новой технологии (${\displaystyle \eta }$). Они описываются следующей функцией[24][25][10][26]:

${\displaystyle \nu =\nu {\biggr (}{\frac {N_{2}}{N_{1}}}{\biggl )},\nu <=\eta }$

Чем больше разница между странами в количестве технологий, тем дешевле их имитации для страны-последователя[24][10][26]:

${\displaystyle {\frac {\partial \nu }{\partial {\frac {N_{2}}{N_{1}}}}}>0;{\frac {\partial ^{2}\nu }{\partial {\bigr (}{\frac {N_{2}}{N_{1}}}{\bigl )}^{2}}}<0}$.

Если же ${\displaystyle N_{2}>=N_{1}}$, то издержки имитации ${\displaystyle \nu }$ становятся равными издержкам разработки ${\displaystyle \eta }$[10]. Пример функции, удовлетворяющей таким предпосылкам, приведён на иллюстрации[24].

В качестве примера функции издержек имитации часто используется функция с постоянной эластичностью[10][24]:

${\displaystyle \nu ={\biggr (}{\frac {N_{2}}{N_{1}}}{\biggl )}^{\phi }}$,

где ${\displaystyle 0<\phi <1}$ — эластичность издержек имитации по соотношению числа технологий.

Задачи фирмы и потребителя в стране-последователе аналогичны задачам фирмы и потребителя в стране-лидере, в устойчивом состоянии темпы роста потребления равны темпам роста выпуска и капитала, потому[10][24][27]:

${\displaystyle {\frac {\dot {c_{2}}}{c_{2}}}={\frac {1}{\theta }}(r_{2t}-{\rho })}$

${\displaystyle r_{2t}={\frac {\pi _{2}}{\nu }}+{\frac {\dot {\nu }}{\nu }}}$,

где ${\displaystyle {\dot {\nu }}}$ — производная издержек имитации по времени.

Таким образом, темпы экономического роста в стране-последователе равны[10][28]:

${\displaystyle {\frac {\dot {c_{2}}}{c_{2}}}={\frac {\dot {Y_{2}}}{Y_{2}}}={\frac {\dot {K_{2}}}{K_{2}}}={\frac {1}{\theta }}\left({\frac {\pi _{2}}{\nu }}+{\frac {\dot {\nu }}{\nu }}-{\rho }\right)=g_{2}}$,

где ${\displaystyle {\dot {Y_{2}}}}$ — производная выпуска в стране-последователе по времени.

Далее вводится предпосылка о том, что прибыли монополистов в обеих странах одинаковы: ${\displaystyle \pi _{1}=\pi _{2}=\pi }$. В этом случае получается, что процентная ставка и темпы роста выпуска в стране-последователе выше, чем в стране лидере[10][29]:

${\displaystyle {\frac {\pi }{\eta }}<={\frac {\pi }{\nu }}<{\frac {\pi }{\nu }}+{\frac {\dot {\nu }}{\nu }}\Rightarrow r_{2}>r_{1}\Rightarrow g_{2}>g_{1}}$

В том случае, если в качестве функции издержек имитации используется функция с постоянной эластичностью ${\displaystyle \phi }$, темпы роста в стране-последователе равны[10][24]:

${\displaystyle g_{2}={\frac {g_{\nu }}{\phi }}+g_{1}}$,

где ${\displaystyle g_{\nu }}$ — темп роста издержек имитации.

В итоге, мы получаем, что процентная ставка и темпы роста выпуска в стране-последователе выше, чем в стране-лидере. Поскольку ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\nu }{\partial {\bigr (}{\frac {N_{2}}{N_{1}}}{\bigl )}^{2}}}<0}$, темп роста издержек имитации со временем замедляется, а значит, со временем темпы роста и процентная ставка в стране-последователе снижаются до уровня страны-лидера[29].