Модель Солоу

Ключевым предположением модели роста Solow-Swan является то, что капитал подвержена убыванию доходности в закрытой экономике.

Учитывая фиксированный запас труда, влияние на выпуск последнего блока накопленного капитала всегда будет меньше, чем ранее.

Предполагая, что для простоты нет технологического прогресса или роста рабочей силы, убывающая доход подразумевает, что в какой-то момент объем нового произведенного капитала только достаточно, чтобы составить на сумму существующего капитала, потерянного из-за амортизации.[7] На данный момент из-за допущений нет технологического прогресса или роста рабочей силы, мы видим, что экономика перестает расти.

Предполагая, что ненулевые показатели роста труда усложняют вопросы, но основная логика по-прежнему применяется — в краткосрочной перспективе, скорость роста замедляется как уменьшающаяся доходность, и экономика сходится к постоянному «устойчивому состоянию» Ставка роста (то есть без экономического роста на душу населения).

Включая ненулевой технологический прогресс очень похож на предположение о росте ненулевой рабочей силы, с точки зрения «эффективного труда»: новое устойчивое состояние достигается с постоянным выходом на рабочий день, необходимый для единицы выпуска. Однако в этом случае выход на душу населения растет на уровне технологического прогресса в «устойчивом состоянии»[8] (то есть скорости роста производительности).

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль. Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт ${\displaystyle Y}$, используемый, как для потребления ${\displaystyle C}$, так и для инвестиций ${\displaystyle I}$. Темпы технологического прогресса ${\displaystyle g}$, роста населения ${\displaystyle n}$ и норма выбытия капитала ${\displaystyle \delta }$ — постоянны и задаются экзогенно. Норма сбережений ${\displaystyle s}$ также задаётся экзогенно[9]. Фискальная политика (государственные расходы и налоги) в модели отсутствует. Время ${\displaystyle t}$ изменяется непрерывно[3][2].

Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: ${\displaystyle S=I=sY}$, ${\displaystyle Y=C+I}$[10].

Производственная функция ${\displaystyle Y(K,L,E)}$ удовлетворяет неоклассическим предпосылкам[11][12]:

1) технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду): ${\displaystyle Y_{t}=Y(K_{t},L_{t}E_{t}),\ E_{t}=E_{0}e^{gt},\ g=const}$;

2) в производственной функции используются труд ${\displaystyle L}$ и капитал ${\displaystyle K}$, она обладает постоянной отдачей от масштаба: ${\displaystyle Y(aK,aLE)=aY(K,LE)}$;

3) предельная производительность факторов положительная и убывающая: ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}>0,\ {\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}<0,\ {\frac {\partial Y}{\partial L}}>0,\ {\frac {\partial ^{2}Y}{\partial L^{2}}}<0}$;

4) производственная функция удовлетворяет условиям Инады, а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала: ${\displaystyle \lim _{K\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial L}}=+\infty ,\ \lim _{K\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial L}}=0}$;

5) для производства необходим каждый фактор: ${\displaystyle Y(K,0)=Y(0,LE)=0}$.

Население ${\displaystyle L_{t}}$, равное в модели совокупным трудовым ресурсам, растет с постоянным темпом ${\displaystyle n}$[3]: ${\displaystyle L_{t}=L_{0}e^{nt},\ n=const}$.

Для поиска решения модели используются удельные показатели[10]: выпуск на единицу эффективного труда ${\displaystyle y={\frac {Y}{LE}}}$, запас капитала на единицу эффективного труда ${\displaystyle k={\frac {K}{LE}}}$, потребление на единицу эффективного труда ${\displaystyle c={\frac {C}{LE}}}$, инвестиции на единицу эффективного труда ${\displaystyle i={\frac {I}{LE}}}$.

Тогда производственную функцию можно записать в следующем виде: ${\displaystyle y={\frac {Y}{LE}}=Y{\biggl (}{\frac {K}{LE}},1{\biggr )}=f(k)}$.

Наиболее часто в качестве конкретного примера производственной функции, удовлетворяющей предпосылкам модели, используется производственная функция Кобба-Дугласа[11][13]:

${\displaystyle Y(K,LE)=K^{\alpha }(LE)^{1-\alpha },\ y=k^{\alpha },\ 0<\alpha <1}$,

где ${\displaystyle \alpha }$ — эластичность выпуска по капиталу, ${\displaystyle (1-\alpha )}$ — эластичность выпуска по труду.

Поведение потребителей в явном виде в модели не рассматривается. Функция полезности отсутствует. Вместо этого имеется экзогенно задаваемая норма сбережений ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle 0<s<1}$, означающая, что домохозяйства сберегают долю своего дохода ${\displaystyle s}$, а оставшуюся долю ${\displaystyle 1-s}$ тратят на потребление, и это соотношение не зависит от происходящих в экономике событий[14].

Модель Солоу, фазовая плоскость, равновесие

Исходя из предпосылок модели, в каждый момент времени ${\displaystyle t}$ капитал увеличивается на величину инвестиций, то есть на ${\displaystyle sY}$, и изнашивается на ${\displaystyle \delta K}$, таким образом, можно записать производную капитала по времени ${\displaystyle {\dot {K}}}$ в следующем виде[15]:

${\displaystyle {\dot {K}}=sY_{t}-\delta K_{t}}$.

Учитывая, что ${\displaystyle k={\frac {K}{LE}}}$, производную капиталовооружённости труда с постоянной эффективностью ${\displaystyle {\dot {k}}}$ по времени можно выразить следующим образом[15]:

${\displaystyle {\dot {k}}={\frac {\dot {K}}{L_{t}E_{t}}}-{\frac {K_{t}({\dot {L}}E_{t}+L_{t}{\dot {E}})}{(L_{t}E_{t})^{2}}}={\frac {sY_{t}-\delta K_{t}}{L_{t}E_{t}}}-{\frac {K}{LE}}({\frac {\dot {L}}{L_{t}}}+{\frac {\dot {E}}{E_{t}}})=sf(k_{t})-(n+g+\delta )k_{t}}$,

где ${\displaystyle {\dot {L}}}$ — производная размера населения по времени, ${\displaystyle {\dot {E}}}$ — производная эффективности труда по времени. Исходя из ранее принятых предпосылок: ${\displaystyle {\frac {\dot {L}}{L_{t}}}=n}$ и ${\displaystyle {\frac {\dot {E}}{E_{t}}}=g}$.

Если инвестиции на единицу эффективного труда ${\displaystyle i_{t}=sf(k_{t})}$ превышают выбытие капитала на единицу эффективного труда ${\displaystyle (n+g+\delta )k_{t}}$, то капиталовооружённость труда с постоянной эффективностью ${\displaystyle k}$ растет, в противном случае — падает[16]. В стационарном состоянии уровень капитала на единицу эффективного труда ${\displaystyle k}$ постоянен, то есть ${\displaystyle {\dot {k}}=0}$, а значит устойчивый уровень капиталовооружённости труда с постоянной эффективностью ${\displaystyle k^{*}}$ находится из уравнения[17][18]:

${\displaystyle sf(k^{*})=(n+g+\delta )k^{*}}$.

Модель Солоу, фазовая плоскость, изменение нормы сбережений

Графически достижение равновесия в модели Солоу показано на иллюстрации. В модели Солоу в стационарном состоянии темп роста производительности труда равен темпу технического прогресса, а темп экономического роста — сумме темпа технического прогресса и темпа роста населения[19].

При росте нормы сбережений инвестиции превышают выбытие капитала, ${\displaystyle k}$ растет до достижения равновесия при более высоком уровне ${\displaystyle k}$. В процессе перехода к новому стационарному состоянию темп роста производительности труда будет опережать темп технического прогресса и при достижении нового равновесия они сравняются. Переход к новому стационарному состоянию при изменении нормы сбережений показан графически на иллюстрации.

В стационарном состоянии темп прироста показателей на единицу эффективного труда равен нулю[19]:

${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{y}}=g_{y}={\frac {\dot {c}}{c}}=g_{c}={\frac {\dot {k}}{k}}=g_{k}=0}$.

Показатели на единицу труда растут с темпом технологического прогресса ${\displaystyle g}$[19]:

${\displaystyle {\frac {{\bigl (}{\dot {\frac {Y}{L}}}{\bigr )}}{\frac {Y}{L}}}=g_{Y/L}={\frac {{\bigl (}{\dot {\frac {C}{L}}}{\bigr )}}{\frac {C}{L}}}=g_{C/L}={\frac {{\bigl (}{\dot {\frac {K}{L}}}{\bigr )}}{\frac {K}{L}}}=g_{K/L}=g}$.

Валовые показатели растут с темпом равным сумме темпов прироста технологического прогресса ${\displaystyle g}$ и населения ${\displaystyle n}$[19]:

${\displaystyle {\frac {\dot {Y}}{Y}}=g_{Y}={\frac {\dot {C}}{C}}=g_{C}={\frac {\dot {K}}{K}}=g_{K}=g+n}$.

Модель Солоу, фазовая плоскость, «Золотое правило»

Модель Солоу, переход к «Золотому правилу», вариант 1

Модель Солоу, переход к «Золотому правилу», вариант 2

После нахождения устойчивого уровня ${\displaystyle k^{*}}$ следующей задачей является нахождение такого значения нормы сбережений ${\displaystyle s^{*}}$, при котором в устойчивом состоянии потребление на единицу эффективного труда ${\displaystyle c}$ максимально. То есть, необходимо решить задачу[20][21]:

${\displaystyle \max _{s}{c[k(s)]}}$

при условии:

${\displaystyle {\dot {k}}=0}$.

Выразив ${\displaystyle c}$ через ${\displaystyle k}$, получим[22]:

${\displaystyle c[k(s)]=(1-s)y=f[k(s)]-(n+g+\delta )k(s)}$.

Производная ${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial s}}}$ равна[22]:

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial s}}={\biggl (}{\frac {\partial f}{\partial k}}-(n+g+\delta ){\biggr )}{\frac {\partial k}{\partial s}}}$.

В точке максимума ${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial s}}=0}$. С ростом нормы сбережений капиталовооружённость на единицу эффективного труда растет, потому ${\displaystyle {\frac {\partial k}{\partial s}}>0}$. Значит, в точке максимума должно выполняться равенство[22]:

${\displaystyle {\frac {\partial f(k^{**})}{\partial k}}=n+g+\delta }$,

где ${\displaystyle k^{**}}$ — устойчивый уровень капиталовооружённости на единицу эффективного труда, соответствующий максимальному потреблению.

Таким образом, норма сбережений ${\displaystyle s^{*}}$, максимизирующая потребление ${\displaystyle c}$, находится из решения системы уравнений[22]:

${\displaystyle {\begin{cases}s^{*}f(k^{**})=(n+g+\delta )k^{**},\\{\frac {\partial f(k^{**})}{\partial k}}=n+g+\delta .\end{cases}}}$

В результате решения этой системы оптимальная норма сбережения, соответствующие «Золотому правилу», равна эластичности выпуска по капиталу[23]:

${\displaystyle s^{*}={\frac {k^{**}}{f(k^{**})}}\times {\frac {\partial f(k^{**})}{\partial k}}}$.

Графически «Золотое правило» нормы сбережения в модели Солоу показано на иллюстрации. Выбирается такая норма сбережений, при которой наклон кривой ${\displaystyle f(k)}$ равен ${\displaystyle n+g+\delta }$, поскольку именно в этой точке превышение кривой ${\displaystyle f(k)}$ над кривой ${\displaystyle (n+g+\delta )k}$, которое и составляет потребление ${\displaystyle c}$, максимально. Таким образом, норма сбережений, обеспечивающая максимальный устойчивый уровень потребления, равна эластичности выпуска по капиталу в устойчивом состоянии, соответствующему этой норме сбережений. Полученное значение ${\displaystyle s^{*}}$ называют «Золотым правилом» нормы сбережения, а ${\displaystyle k^{**}}$ — капиталовооружённостью на единицу эффективного труда, соответствующей «Золотому правилу»[23].

Если норма сбережений ${\displaystyle s}$ выше «Золотого правила», то при её снижении до уровня «Золотого правила» потребление ${\displaystyle c}$ сначала резко растет, затем снижается, но в итоге стабилизируется на уровне выше исходного[24]. Изменение показателей с течением времени при таком переходе к «Золотому правилу» представлено на иллюстрации вариант 1.

Если норма сбережений ${\displaystyle s}$ ниже «Золотого правила», то при её росте до уровня «Золотого правила» потребление ${\displaystyle c}$ сначала снижается, но затем растет и превышает исходный уровень[23]. Изменение показателей с течением времени при таком переходе к «Золотому правилу» представлено на иллюстрации вариант 2.

Если в качестве производственной функции в модели используется функция Кобба-Дугласа ${\displaystyle Y(K,LE)=K^{\alpha }(LE)^{1-\alpha }}$, у которой эластичность выпуска по капиталу постоянна, то ${\displaystyle s^{*}=\alpha }$[23].

Для оценки скорости приближения к устойчивому состоянию, нужно оценить величину ${\displaystyle {\frac {\dot {k}}{k}}}$. Для этого нужно разделить уравнение ${\displaystyle {\dot {k}}=0}$ на ${\displaystyle k}$ (с учетом того, что в стационарном состоянии${\displaystyle sf(k^{*})=(n+g+\delta )k^{*}}$)[25]:

${\displaystyle {\frac {\dot {k}}{k}}={\frac {sf(k)}{k}}-(n+g+\delta )=(n+g+\delta ){\biggl (}{\frac {f(k)k^{*}}{f(k^{*})k}}-1{\biggr )}}$

Таким образом, при условии ${\displaystyle k_{0}<k^{*}}$, чем дальше страна находится от равновесного состояния, тем выше темпы роста. Линейная аппроксимация ${\displaystyle {\dot {k}}}$ в зависимости от ${\displaystyle k}$ при помощи разложения в ряд Тейлора вокруг точки ${\displaystyle k=k^{*}}$ выглядит следующим образом[26]:

${\displaystyle {\dot {k}}\approx {\frac {\partial {\dot {k}}}{\partial k}}\vert _{k=k^{*}}(k-k^{*})}$,

где ${\displaystyle {\frac {\partial {\dot {k}}}{\partial k}}\vert _{k=k^{*}}=s{\frac {\partial f(k^{*})}{\partial k}}-(n+g+\delta )=(n+g+\delta ){\biggl (}{\frac {k^{*}}{f(k^{*})}}\times {\frac {\partial f(k^{*})}{\partial k}}-1{\biggr )}=(n+g+\delta )(\epsilon _{fk}^{*}-1)}$,

где ${\displaystyle \epsilon _{fk}^{*}}$ — эластичность выпуска по капиталу в устойчивом состоянии.

Это уравнение можно представить в следующем виде[26]:

${\displaystyle k_{t}-k^{*}=e^{-\lambda t}(k_{0}-k^{*})}$,

где ${\displaystyle \lambda }$ — коэффициент, характеризующий скорость конвергенции.

Таким образом, модель Солоу предполагает условную конвергенцию, то есть, что бедные страны будут расти быстрее богатых и в конце концов достигнут их уровня благосостояния при условии, что структурные параметры их экономик одинаковы[27].

Сомнения в том, что модель Солоу адекватно описывает экономические показатели, появились уже в 1960-х годах, когда исследователи пытались объяснить японское экономическое чудо. В 1950 году размер ВВП на душу населения (в терминах модели ${\displaystyle {\frac {Y}{L}}}$) в Японии был в 5 раз меньше размера ВВП на душу населения США[37]. Исходя из модели и предполагая одинаковую технологическую структуру экономик США и Японии, получим[38]:

${\displaystyle {\frac {Y}{L}}=A{\biggl (}{\frac {K}{L}}{\biggr )}^{\alpha }}$,

${\displaystyle {\frac {\partial f(k)}{\partial k}}={\frac {\partial (AK^{\alpha }L^{1-\alpha })}{\partial K}}=\alpha A{\biggl (}{\frac {K}{L}}{\biggr )}^{\alpha -1}=\alpha A^{\frac {1}{\alpha }}{\biggl (}{\frac {Y}{L}}{\biggr )}^{-{\frac {1-\alpha }{\alpha }}}}$,

${\displaystyle r={\frac {\partial f(k)}{\partial k}}-\delta }$,

${\displaystyle {\frac {r_{JPN}+\delta }{r_{USA}+\delta }}={\frac {{\biggl (}{\frac {Y}{L}}{\biggr )}_{USA}^{\frac {1-\alpha }{\alpha }}}{{\biggl (}{\frac {Y}{L}}{\biggr )}_{JPN}^{\frac {1-\alpha }{\alpha }}}}=5^{\frac {1-\alpha }{\alpha }}}$,

где ${\displaystyle r_{JPN}}$ — ставка процента в Японии, ${\displaystyle r_{USA}}$ — ставка процента в США, ${\displaystyle {\biggl (}{\frac {Y}{L}}{\biggr )}_{JPN}}$ — ВВП на душу населения в Японии, ${\displaystyle {\biggl (}{\frac {Y}{L}}{\biggr )}_{USA}}$ — ВВП на душу населения в США.

Используя обычно применяемые в расчетах ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{3}}}$ , ${\displaystyle \delta =0,1}$, а также оценку ${\displaystyle r_{USA}}$ на начало 1950-х годов, равную 0,065, мы получим, что ${\displaystyle r_{JPN}=4,025}$, то есть, что ставка процента в Японии в 1950 году по модели должна быть равна 402,5 %. Что, очевидно, очень далеко от реальных значений. Таким образом, уже в 1960-х годах стало понятно, что модель Солоу — только начальный этап в понимании природы экономического роста[39].

Столь сильное отклонение реальных значений ставки процента от теоретических стало причиной развития более сложных моделей, предположения которых относительно процентной ставки были бы более реалистичными. Одни исследователи пошли путём расширения понятия капитал за счет включения в него человеческого капитала. При таком подходе значение ${\displaystyle \alpha }$ повышалось с примерно ⅓ до примерно ⅔ (если считать сумму человеческого и физического), и в результате разница в процентной ставке у развитой и догоняющей страны становится намного меньше, чем предсказанная по модели Солоу. Результатом такого подхода стала модель Менкью — Ромера — Вейла[40]. Другие исследователи стали разрабатывать модели, в которых сначала норма сбережений, а потом и темпы экономического роста не задавались бы экзогенно, а являлись бы следствием решений экономических агентов. Первым шагом в этом направлении стала модель Рамсея — Касса — Купманса, затем дополненная АК-моделями[41].

В 1987 году Шведская королевская академия наук наградила Роберта Солоу Нобелевской премией по экономике за «вклад в теорию экономического роста», который связан с разработкой данной модели[42].