Условия Инады

Предполагается, что задана непрерывно дифференцируемая производственная функция ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$, где ${\displaystyle n}$ —  количество факторов производства. Например. для функции Кобба-Дугласа их традиционно два: капитал ${\displaystyle K}$ и труд ${\displaystyle L}$. Тогда к производственной функции можно предъявить следующие требования.

1. Значение функции в нуле равно нулю ${\displaystyle F(\mathbf {0} )=0}$. При этом требуют, чтобы функция была равна нулю даже если только один из факторов отсутствует.
2. Функция является монотонно возрастающей по каждому из факторов: ${\displaystyle F'_{X_{i}}(\mathbf {X} )>0,\,\forall i}$.
3. Функция является строго вогнутой, то есть вторая производная функции отрицательна: ${\displaystyle \partial ^{2}f(\mathbf {X} )/\partial X_{i}^{2}<0,\,\forall x_{i}}$.
4. Предел первой производной ${\displaystyle F(\mathbf {X} )}$ равен бесконечности при ${\displaystyle X_{i}}$, стремящемся к 0: ${\displaystyle \lim _{X_{i}\to 0}\partial F(\mathbf {X} )/\partial X_{i}=+\infty }$;
5. Предел первой производной ${\displaystyle F(\mathbf {X} )}$ равен 0 при ${\displaystyle X_{i}}$, стремящемся к бесконечности: ${\displaystyle \lim _{X_{i}\to +\infty }\partial F(\mathbf {X} )/\partial X_{i}=0}$.

Условиями Инады называют как все сформулированные выше требования[3], так и последнюю группу требований, накладывающих ограничения на поведение производной[4].

Условия Инады обладают следующим смыслом. Равенство функции нулю означает, что для производства требуются ресурсы и все факторы производства обязательно должны присутствовать. Возрастание означает, что большее количество факторов производства приносит больший выпуск. Вогнутость является следствием убывающего предельного продукта. Требования к поведению производной означают, что в начальный момент каждая дополнительная единица ресурсов дает экономике очень много выпуска, но со временем из-за убывающей отдачи расти становится все сложнее. Каждая дополнительная единица приносит все меньше.

С математической точки зрения, условия Инады гарантируют существование сбалансированной траектории роста экономики в модели (англ. balanced growth path, BGP).

Из класса функций CES всем перечисленным условиям удовлетворяет только функция Кобба — Дугласа. Не трудно проверить выполнение этих условий для функции ${\displaystyle Y=F(K,L)=K^{\alpha }L^{1-\alpha }}$ (${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$).[5][6]

В производстве отсутствует капитал или труд, тогда:[7]

${\displaystyle F(0,L)=0}$, ${\displaystyle F(K,0)=0}$.

Функция является монотонной по обоим факторам производства:

${\displaystyle F'_{K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{1-\alpha }>0}$

${\displaystyle F'_{L}=(1-\alpha )K^{\alpha }L^{-\alpha }}$.

Убывающая предельная отдача капитала и труда:

${\displaystyle F''_{K}=\alpha (\alpha -1)K^{\alpha -2}L^{1-\alpha }<0}$

${\displaystyle F''_{L}=-\alpha (1-\alpha )K^{\alpha }L^{-\alpha -1}<0}$.

Поведение первой производной в нуле:

${\displaystyle \lim _{K\to 0}F'_{K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{1-\alpha }=\infty }$

${\displaystyle \lim _{L\to 0}F'_{L}=(1-\alpha )K^{\alpha }L^{-\alpha }=\infty }$.

Поведение первой производной и на бесконечности:

${\displaystyle \lim _{K\to \infty }F'_{K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{1-\alpha }=0}$

${\displaystyle \lim _{L\to \infty }F'_{L}=(1-\alpha )K^{\alpha }L^{-\alpha }=0}$.

• Барро Р.Дж., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост (рус.). — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. — С. 41. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4.
• Ромер Д. Высшая макроэкономика (рус.). — М.: Изд. дом ВШЭ, 2014. — С. 28-29. — 855 с. — ISBN 978-5-7568-0406-2.
• Gandolfo, Giancarlo. [ в «Книгах Google» Economic Dynamics] (неопр.). — Third. — Berlin: Springer, 1996. — С. 176—178. — ISBN 3-540-60988-1.
• Uzawa, H. On a Two-Sector Model of Economic Growth II (англ.) // The Review of Economic Studies : journal. — 1963. — Vol. 30, no. 2. — P. 105—118. — .
• Ken-Ichi Inada On a Two-Sector Model of Economic Growth: Comments and a Generalization (англ.) // The Review of Economic Studies : journal. — 1963. — Vol. 30, no. 2. — P. 119—127. — .
• de la Fonteijne M. R. Do Inada Conditions imply Cobb-Douglas Asymptotic Behavior or only a Elasticity of Substitution equal to one (англ.). — 2015.