Дисконтированная стоимость

Если через 1 год ожидается сумма 121 рубль, то при ставке дисконтирования 10 % годовых дисконтированная стоимость будет равна ${\displaystyle 121/(1+0{,}1)=110}$ рублей. Если эта же сумма ожидается только через два года, то дисконтированная стоимость равна ${\displaystyle 121/(1+0{,}1)^{2}=121/1{,}21=100}$ рублей.

В табличных процессорах в состав финансовых функций входит функция для вычисления дисконтированной стоимости. В OpenOffice.org Calc для вычисления дисконтированной стоимости различных видов платежей применяется функция PV.

Денежным потоком называют распределённое во времени движение денежных средств. Во многих случаях (депозиты, кредиты, ценные бумаги и др.) денежный поток представляет собой упорядоченную по времени совокупность денежных сумм (платежей) — это так называемый дискретный денежный поток или поток платежей. Таким образом, поток платежей ${\displaystyle CF=(CF_{1},CF_{2},....,CF_{n})}$, где ${\displaystyle CF_{k}}$ — платёж, осуществляемый в момент времени ${\displaystyle t_{k}}$, ${\displaystyle k=1..n}$. При этом формально n может быть также и бесконечным (бесконечный поток платежей). Если платежи осуществляются через равные промежутки времени, то иногда такой поток платежей называют финансовой рентой. Рента с постоянной величиной платежа называется аннуитетом (в некоторых источниках финансовая рента и аннуитет — эквивалентные понятия).

В некоторых случаях частота платежей может быть настолько большой, что денежный поток можно считать непрерывным. В частности, это имеет место для денежных потоков от обычной операционной деятельности компаний, потоков от инвестиционных проектов и т. д. Формально для непрерывных потоков можно ввести функцию плотности потока ${\displaystyle c(t)}$. Однако, на практике непрерывное время заменяется дискретным. А именно анализируемый период разбивается на равные периоды (месяц, квартал, год) и каждый период получает последовательный номер (это и есть дискретное время). Тогда денежный поток за каждый такой период ${\displaystyle CF_{t}}$ является фактически платежом в дискретный момент времени, соответствующий этому периоду. Таким образом непрерывный поток сводится, точнее моделируется как дискретный поток (поток платежей), описанный выше. Часто это интерпретируется также как платежи, осуществляемые в конце соответствующего периода — это так называемый поток постнумерандо. В некоторых случаях потоки рассматривают как платежи в начале каждого периода — поток пренумерандо.

Таким образом, можно считать, что денежный поток CF задаётся всегда упорядоченной совокупностью денежных сумм ${\displaystyle CF_{t}}$ — элементов денежного потока (платежей).

Дисконтированная стоимость потока платежей ${\displaystyle CF=(CF_{1},CF_{2},....,CF_{n})}$, где ${\displaystyle CF_{k}}$ — платёж, осуществляемый в момент времени ${\displaystyle t_{k}}$, ${\displaystyle k=1..n}$, равна сумме дисконтированных стоимостей каждого из составляющих потока:

${\displaystyle PV=\sum _{k=1}^{n}{{\frac {CF_{k}}{(1+i)^{t_{k}}}}\,}}$

Если платежи осуществляются через равные промежутки времени, то формулу можно записать без дополнительного индекса нумерации платежей ${\displaystyle k}$. Время ${\displaystyle t}$ и будет представлять просто номер платежа:

${\displaystyle PV=\sum _{t=1}^{n}{\frac {CF_{t}}{(1+i)^{t}}}}$

Необходимо отметить, что в этих формулах время измеряется в единицах периода ставки дисконтирования i. Обычно ставка даётся годовая, а время может быть дано в днях, месяцах, кварталах и т. д. В этом случае в качестве времени необходимо использовать отношение времени в заданных единицах к продолжительности года в тех же единицах (например, если выплата через квартал, то это 0,25 года). Если платежи осуществляются через равные промежутки времени можно пересчитать ставку на этот период по формуле сложных процентов: ${\displaystyle i'=(1+i)^{1/T}-1}$, где T — продолжительность года в единицах этого периода (например для ежемесячного платежа — это 12, для ежеквартального — 4 и т. д.).

Имеется облигация номиналом в 1000 рублей со сроком до погашения 1 год и ежеквартальным купоном 20 рублей, что соответствует купонной ставке 8 % годовых (20 x 4 / 1000 = 0,08). Владелец облигации получает в первые три квартала по 20 рублей, а в четвёртом квартале — 20 рублей и сумму погашения. Таким образом, структура выплат следующая: 20 + 20 + 20 + 1020. Периоды между платежами равные.

Теперь продисконтируем данный поток платежей. Допустим, ставка дисконтирования равна 6,14 % годовых (например, это ожидаемая инфляция или 5,5 % безрисковая ставка плюс премия за риск 0,64 % для инструментов с данным риском — цифра условная для примера). Можно посчитать квартальную ставку как ${\displaystyle 1{,}0614^{1/4}-1}$ получаем примерно 1,5 % в квартал. Таким образом, дисконтированная стоимость данного потока платежей при квартальной ставке в 1,5 % будет равна

${\displaystyle {\frac {20}{1{,}015}}+{\frac {20}{1{,}015^{2}}}+{\frac {20}{1{,}015^{3}}}+{\frac {1020}{1{,}015^{4}}}=19{,}704+19{,}413+19{,}126+960{,}995=1019{,}24}$

То же самое можно рассчитать непосредственно через годовую ставку, не рассчитывая квартальную ставку, а используя время в долях от года:

${\displaystyle {\frac {20}{1{,}0614^{0{,}25}}}+{\frac {20}{1{,}0614^{0{,}5}}}+{\frac {20}{1{,}0614^{0{,}75}}}+{\frac {1020}{1{,}0614}}=1019{,}24}$

Если поток платежей аннуитетный, то есть платежи имеют одинаковую величину и выплачиваются через равные промежутки времени, то эта формула принимает вид (исходя из известной формулы суммы геометрической прогрессии):

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {CF}{i}}\cdot [1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}]\,=\,CF\cdot {\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}}$,

где ${\displaystyle CF}$ — аннуитетный платёж, осуществляемый ${\displaystyle n}$ раз; ${\displaystyle i}$ — ставка дисконтирования; ${\displaystyle PV}$ — дисконтированная стоимость аннуитетных платежей ${\displaystyle CF}$.

Для вечного аннуитета, то есть при бесконечно большом ${\displaystyle n}$, выражение в квадратных скобках в формуле дисконтированной стоимости аннуитета, становится равным единице, поэтому формула ещё более упрощается:

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {CF}{i}}}$

Если платежи растут с постоянным темпом прироста g, то их дисконтированная стоимость вычисляется по формуле:

${\displaystyle PV\,=\,{CF_{1} \over i-g}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]}$,

где ${\displaystyle CF_{1}}$ — платёж, осуществляемый в первый период, ${\displaystyle n}$ — число периодов, ${\displaystyle i}$ — ставка дисконтирования.

В пределе (при бесконечно большом n) при ${\displaystyle g<i}$ получается следующая простая формула (модели Гордона):

${\displaystyle PV\,=\,{CF_{1} \over i-g}}$