Аннуитет

Коэффициент аннуитета превращает разовый платёж сегодня в платёжный ряд. С помощью данного коэффициента определяется величина периодических равных выплат по кредиту:

${\displaystyle K={\frac {i\cdot (1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}}$,

где ${\displaystyle i}$ — процентная ставка за один период, ${\displaystyle n}$ — количество периодов на протяжении всего действия аннуитета (количество операций по капитализации процентов). На практике возможны некоторые отличия от математического расчёта, вызванные округлением, а также неодинаковой продолжительностью месяца и года; особенно это касается последнего по сроку платежа.

Предполагается, что выплаты производятся постнумерандо, то есть в конце каждого периода. И тогда величина периодической выплаты ${\displaystyle A=K\cdot S}$, где ${\displaystyle S}$ — величина кредита.

Рассчитаем ежемесячную выплату по трехлетнему кредиту суммой 12000 долларов по ставке 6 % годовых. Поскольку выплаты будут производиться каждый месяц, необходимо привести процентную ставку из годового значения к месячному:

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{100\%+6\%}}-1={\sqrt[{12}]{1,06}}-1\approx 1,00487-1=0,00487=0,487\%}$.

Подставляем в указанную выше формулу следующие значения: ${\displaystyle i=0,00487}$, ${\displaystyle n=36}$. Полученный коэффициент умножаем на сумму кредита — 12000. Получаем около 364 долларов 20 центов в месяц.

Обычно погашение долга предусматривает ежемесячные или ежеквартальные выплаты, и задаётся годовая процентная ставка ${\displaystyle i}$. Если выплаты производятся постнумерандо ${\displaystyle m}$ раз в год в течение ${\displaystyle n}$ лет, то точная формула для коэффициента аннуитета:

${\displaystyle K={\frac {({\sqrt[{m}]{1+i}})^{k}}{({\sqrt[{m}]{1+i}})^{k}-1}}\cdot ({\sqrt[{m}]{1+i}}-1)={\frac {({\sqrt[{m}]{1+i}}-1)\cdot (1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}}$

или по упрощенной формуле:

${\displaystyle K={\frac {{\sqrt[{m}]{1+i}}-1}{1-(1+i)^{-n}}}}$,

где ${\displaystyle k}$ (всегда показатель степени) — количество периодов = ${\displaystyle n\cdot m}$.

Представленная здесь формула коэффициента аннуитета основана на определении наращенной суммы долга с использованием формулы сложных процентов.

При заключении кредитного договора стороны договориваются о процентной ставке, сроке кредитования и размере первоначального взноса а также о методике расчета ежемесячных платежей. Некоторые банки разрешают клиентам самим выбирать схему выплат — дифференцированную или аннуитетную. Они отличаются способом начисления и взимания процентов и итоговой суммой кредита. При аннуитете кредит выплачивается равными частями — размер взноса остается неизменным на протяжении всего периода кредитования[2].

Расчёт равных месячных платежей (X), необходимых для выплаты ипотечной ссуды (P) в 100 тыс. руб. с процентной ставкой (r) 10 % годовых/100, взятой на (n) 20 лет.

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{1+r}}\approx 1,007974}$

Месячный платеж ${\displaystyle X={\frac {P({\sqrt[{12}]{1+r}})^{12n}\cdot ({\sqrt[{12}]{1+r}}-1)}{({\sqrt[{12}]{1+r}})^{12n}-1}}={\frac {100000\cdot 1,007974^{240}\cdot (1,007974-1)}{1,007974^{240}-1}}=936,64}$ ;[3]

Пример расчёта с учётом количества дней в месяцах и годах

Итого сумма процентов за 20 лет составляет 124668,85 руб.