Технологическое множество

Технологическое множество — понятие, используемое в микроэкономике, формализующее множество всех технологически допустимых векторов чистых выпусков продукции.

Определение

Пусть в экономике имеется благ. В процессе производства из них благ расходуются. Обозначим вектор этих благ (затрат) (размерность вектора ). Другие благ выпускаются в процессе производства (размерность вектора — ). Обозначим вектор этих благ . Тогда вектор (размерность — ) называется вектором чистых выпусков. Совокупность всех технологически допустимых векторов чистых выпусков и составляют технологическое множество. Фактически это некоторое подмножество пространства .

Свойства

  • Непустота: технологическое множество не пусто. Непустота означает принципиальную возможность производства.
  • Допустимость бездеятельности: нулевой вектор принадлежит технологическому множеству. Это формальное свойство означает, что нулевой выпуск при нулевых затратах является допустимым.
  • Замкнутость: технологическое множество содержит свою границу и предел любой последовательности технологически допустимых векторов чистых выпусков тоже принадлежит технологическому множеству.
  • Свобода расходования: если данный вектор принадлежит технологическому множеству, то ему принадлежит и любой вектор . Это означает, что формально тот же объем выпуска можно производить и большими затратами.
  • Отсутствие «рога изобилия»: из неотрицательных векторов чистого выпуска технологическому множеству принадлежит только нулевой вектор. Это означает, что для производства продукции в положительном количестве необходимы ненулевые затраты.
  • Необратимость: для любого допустимого вектора , противоположный вектор не принадлежит технологическому множеству. То есть из выпущенной продукции невозможно произвести ресурсы в том же количестве, в котором они используются для производства этой продукции.
  • Аддитивность : сумма двух допустимых векторов также является допустимым вектором. То есть допускается комбинирование технологий.
  • Свойства, связанные с отдачей от масштаба производства:
    • Невозрастающая отдача от масштаба: для любого если z принадлежит технологическому множеству, то также принадлежит технологическому множеству.
    • Неубывающая отдача от масштаба: для любого если z принадлежит технологическому множеству, то также принадлежит технологическому множеству.
    • Постоянная отдача от масштаба: одновременное выполнение двух предыдущих свойств, то есть для любого положительного если принадлежит технологическому множеству, то также принадлежит технологическому множеству. Свойство постоянной отдачи означает, что технологическое множество является конусом.

8. Выпуклость: для любых двух допустимых векторов допустимыми являются также любые векторы , где . Свойство выпуклости означает возможность «смешивать» технологии. Оно, в частности, выполнено, если технологическое множество обладает свойством аддитивности и невозрастающей отдачи от масштаба. Более того, в этому случае технологическое множество является выпуклым конусом.

Эффективная граница технологического множества

Допустимую технологию называют эффективной, если не существует другой, отличной от неё, допустимой технологии . Множество эффективных технологий образуют эффективную границу технологического множества.

Если выполнено условие свободы расходования и замкнутости технологического множества, то невозможно бесконечно увеличивать производство одного блага без уменьшения выпуска других. В этом случае для любой допустимой технологии есть эффективная технология . В таком случае, вместо всего технологического множества можно использовать только его эффективную границу. Обычно эффективную границу можно задать некоторой производственной функцией.

Производственная функция

Рассмотрим однопродуктовые технологии , где  — вектор размерности , а  — вектор затрат размерности . Рассмотрим множество , включающее в себя все возможные векторы затрат , таких, что для каждого существует , такой что векторы чистых выпусков принадлежат к технологическому множеству.

Числовая функция на называется производственной функцией, если для каждого данного вектора затрат значение определяет максимальное значение допустимого выпуска (такого, что вектор чистого выпуска (-x, y) принадлежит технологическому множеству).

Любая точка эффективной границы технологического множества представима в виде , а обратное верно в том случае, если является возрастающей функцией (в таком случае  — уравнение эффективной границы). Если технологическое множество обладает свойством свободы расходования и допускает описание производственной функцией, то технологическое множество определяется на основе неравенства .

Для того, чтобы технологическое множество можно было бы задавать с помощью производственной функции достаточно, чтобы для любого множество допустимых выпусков при данных затратах , являлось ограниченным и замкнутым. В частности, это условие выполнено, если для технологического множества выполнены свойства замкнутости, невозрастающей отдачи от масштаба и отсутствия рога изобилия.

Если технологическое множество выпукло, то производственная функция вогнута и непрерывна на внутренности множества . Если выполнено условие свободы расходования, то является неубывающей функцией (в этом случае также из вогнутости функции следует выпуклость технологического множества). Наконец, если выполнены одновременно и условие отсутствия рога изобилия и допустимость бездеятельности, то .

Если производственная функция является дифференцируемой, то можно определить локальную эластичность масштаба следующими эквивалентными способами:

где  — вектор-градиент производственной функции.

Определив таким образом эластичность масштаба можно показать, что если технологическое множество обладает свойством постоянной отдачи от масштаба, то , если убывающей отдачи от масштаба, то , если возрастающей отдачи, то .

Задача производителя

Если задан вектор цен , то произведение представляет собой прибыль производителя. Задача производителя сводится к поиску такого вектора , чтобы при заданном векторе цен прибыль была максимальна. Множество цен благ, при которых эта задача имеет решение, обозначим . Можно показать, что при непустом, замкнутом технологическом множестве с невозрастающей отдачей от масштаба задача производителя имеет решение на множестве цен , дающих отрицательную прибыль на так называемых рецессивных направлениях (это векторы технологического множества, для которых при любом неотрицательном векторы также принадлежат технологическому множеству). В частности, если множество рецессивных направлений совпадает с , то решение существует при любых положительных ценах.

Функция прибыли определяется как , где  — решение задачи производителя при данных ценах (это так называемая функция предложения, возможно многозначная). Функция прибыли является положительно однородной (первой степени), то есть и непрерывной на внутренности . Если технологическое множество строго выпукло, то функция прибыли является к тому же непрерывно дифференцируемой. Если технологическое множество замкнуто, то функция прибыли выпукла на любом выпуклом подмножестве допустимых цен .

Функция (отображение) предложения является положительно однородной нулевой степени. Если технологическое множество строго выпукло, то функция предложения является однозначной на P и непрерывной на внутренности . Если функция предложения дважды дифференцируема, то матрица Якоби этой функции симметрична и неотрицательно определена.

Если технологическое множество представлено посредством производственной функции, то прибыль определяется как , где  — вектор цен на факторы производства, в данном случае цена выпускаемой продукции. Тогда для любого внутреннего решения (то есть принадлежащего внутренности ) задачи производителя справедливо равенство предельного продукта каждого фактора его относительной цене, то есть в векторной форме .

Если задана функция прибыли , являющаяся дважды непрерывно дифференцируемой, выпуклой и положительно однородной (первой степени) функцией, то можно восстановить технологическое множество, как множество, содержащее при любом неотрицательном векторе цен векторы чистых выпусков , удовлетворяющих неравенству . Можно также показать, что если функция предложения является положительно однородной нулевой степени и матрица её первых производных непрерывна, симметрична и неотрицательно определена, то соответствующая функция прибыли удовлетворяет вышеуказанным требованиям (верно также и обратное утверждение).

См. также

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.