Технологическое множество

Пусть в экономике имеется ${\displaystyle N}$ благ. В процессе производства из них ${\displaystyle n}$ благ расходуются. Обозначим вектор этих благ (затрат) ${\displaystyle x}$ (размерность вектора ${\displaystyle n}$). Другие ${\displaystyle m=N-n}$ благ выпускаются в процессе производства (размерность вектора — ${\displaystyle m}$). Обозначим вектор этих благ ${\displaystyle y}$. Тогда вектор ${\displaystyle z=(-x,y)}$ (размерность — ${\displaystyle N}$) называется вектором чистых выпусков. Совокупность всех технологически допустимых векторов чистых выпусков и составляют технологическое множество. Фактически это некоторое подмножество пространства ${\displaystyle R^{N}}$.

• Непустота: технологическое множество не пусто. Непустота означает принципиальную возможность производства.
• Допустимость бездеятельности: нулевой вектор принадлежит технологическому множеству. Это формальное свойство означает, что нулевой выпуск при нулевых затратах является допустимым.
• Замкнутость: технологическое множество содержит свою границу и предел любой последовательности технологически допустимых векторов чистых выпусков тоже принадлежит технологическому множеству.
• Свобода расходования: если данный вектор ${\displaystyle z}$ принадлежит технологическому множеству, то ему принадлежит и любой вектор ${\displaystyle z'\leqslant z}$. Это означает, что формально тот же объем выпуска можно производить и большими затратами.
• Отсутствие «рога изобилия»: из неотрицательных векторов чистого выпуска технологическому множеству принадлежит только нулевой вектор. Это означает, что для производства продукции в положительном количестве необходимы ненулевые затраты.
• Необратимость: для любого допустимого вектора ${\displaystyle z}$, противоположный вектор ${\displaystyle -z}$ не принадлежит технологическому множеству. То есть из выпущенной продукции невозможно произвести ресурсы в том же количестве, в котором они используются для производства этой продукции.
• Аддитивность : сумма двух допустимых векторов также является допустимым вектором. То есть допускается комбинирование технологий.
• Свойства, связанные с отдачей от масштаба производства:
  • Невозрастающая отдача от масштаба: для любого ${\displaystyle \lambda \in (0;1)}$ если z принадлежит технологическому множеству, то ${\displaystyle \lambda z}$ также принадлежит технологическому множеству.
  • Неубывающая отдача от масштаба: для любого ${\displaystyle \lambda >1}$ если z принадлежит технологическому множеству, то ${\displaystyle \lambda z}$ также принадлежит технологическому множеству.
  • Постоянная отдача от масштаба: одновременное выполнение двух предыдущих свойств, то есть для любого положительного ${\displaystyle \lambda }$ если ${\displaystyle z}$ принадлежит технологическому множеству, то ${\displaystyle \lambda z}$ также принадлежит технологическому множеству. Свойство постоянной отдачи означает, что технологическое множество является конусом.

8. Выпуклость: для любых двух допустимых векторов ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ допустимыми являются также любые векторы ${\displaystyle \alpha z_{1}+(1-\alpha )z_{2}}$, где ${\displaystyle 0<\alpha \leqslant 1}$. Свойство выпуклости означает возможность «смешивать» технологии. Оно, в частности, выполнено, если технологическое множество обладает свойством аддитивности и невозрастающей отдачи от масштаба. Более того, в этому случае технологическое множество является выпуклым конусом.

Допустимую технологию ${\displaystyle z}$ называют эффективной, если не существует другой, отличной от неё, допустимой технологии ${\displaystyle z'\geqslant z}$. Множество эффективных технологий образуют эффективную границу технологического множества.

Если выполнено условие свободы расходования и замкнутости технологического множества, то невозможно бесконечно увеличивать производство одного блага без уменьшения выпуска других. В этом случае для любой допустимой технологии ${\displaystyle z}$ есть эффективная технология ${\displaystyle z'\geqslant z}$. В таком случае, вместо всего технологического множества можно использовать только его эффективную границу. Обычно эффективную границу можно задать некоторой производственной функцией.

Рассмотрим однопродуктовые технологии ${\displaystyle (-x,y)}$, где ${\displaystyle y}$ — вектор размерности ${\displaystyle m=1}$, а ${\displaystyle x}$ — вектор затрат размерности ${\displaystyle n}$. Рассмотрим множество ${\displaystyle X}$, включающее в себя все возможные векторы затрат ${\displaystyle x}$, таких, что для каждого ${\displaystyle x}$ существует ${\displaystyle y}$, такой что векторы чистых выпусков ${\displaystyle (-x,y)}$ принадлежат к технологическому множеству.

Числовая функция ${\displaystyle f(x)}$ на ${\displaystyle X}$ называется производственной функцией, если для каждого данного вектора затрат ${\displaystyle x}$ значение ${\displaystyle f(x)}$ определяет максимальное значение допустимого выпуска ${\displaystyle y}$ (такого, что вектор чистого выпуска (-x, y) принадлежит технологическому множеству).

Любая точка эффективной границы технологического множества представима в виде ${\displaystyle (-x,f(x))}$, а обратное верно в том случае, если ${\displaystyle f(x)}$ является возрастающей функцией (в таком случае ${\displaystyle y=f(x)}$ — уравнение эффективной границы). Если технологическое множество обладает свойством свободы расходования и допускает описание производственной функцией, то технологическое множество определяется на основе неравенства ${\displaystyle y\leqslant f(x)}$.

Для того, чтобы технологическое множество можно было бы задавать с помощью производственной функции достаточно, чтобы для любого ${\displaystyle x}$ множество ${\displaystyle F(x)}$ допустимых выпусков при данных затратах ${\displaystyle x}$, являлось ограниченным и замкнутым. В частности, это условие выполнено, если для технологического множества выполнены свойства замкнутости, невозрастающей отдачи от масштаба и отсутствия рога изобилия.

Если технологическое множество выпукло, то производственная функция вогнута и непрерывна на внутренности множества ${\displaystyle X}$. Если выполнено условие свободы расходования, то ${\displaystyle f(x)}$ является неубывающей функцией (в этом случае также из вогнутости функции следует выпуклость технологического множества). Наконец, если выполнены одновременно и условие отсутствия рога изобилия и допустимость бездеятельности, то ${\displaystyle f(0)=0}$.

Если производственная функция является дифференцируемой, то можно определить локальную эластичность масштаба следующими эквивалентными способами:

${\displaystyle e(x)={\frac {df(\lambda x)}{d\lambda }}\cdot {\frac {\lambda }{f(x)}}|_{\lambda =1}={\frac {f'(x)x}{f(x)}}}$

где ${\displaystyle f'(x)}$ — вектор-градиент производственной функции.

Определив таким образом эластичность масштаба можно показать, что если технологическое множество обладает свойством постоянной отдачи от масштаба, то ${\displaystyle e(x)=1}$, если убывающей отдачи от масштаба, то ${\displaystyle e(x)\leqslant 1}$, если возрастающей отдачи, то ${\displaystyle e(x)\geqslant 1}$.

Если задан вектор цен ${\displaystyle p}$, то произведение ${\displaystyle pz}$ представляет собой прибыль производителя. Задача производителя сводится к поиску такого вектора ${\displaystyle z}$, чтобы при заданном векторе цен прибыль была максимальна. Множество цен благ, при которых эта задача имеет решение, обозначим ${\displaystyle P}$. Можно показать, что при непустом, замкнутом технологическом множестве с невозрастающей отдачей от масштаба задача производителя имеет решение на множестве цен ${\displaystyle P}$, дающих отрицательную прибыль на так называемых рецессивных направлениях (это векторы ${\displaystyle z}$ технологического множества, для которых при любом неотрицательном ${\displaystyle \lambda }$ векторы ${\displaystyle \lambda z}$ также принадлежат технологическому множеству). В частности, если множество рецессивных направлений совпадает с ${\displaystyle R_{-}^{N}}$, то решение существует при любых положительных ценах.

Функция прибыли ${\displaystyle \pi (p)}$ определяется как ${\displaystyle pz(p)}$, где ${\displaystyle z(p)}$ — решение задачи производителя при данных ценах (это так называемая функция предложения, возможно многозначная). Функция прибыли является положительно однородной (первой степени), то есть ${\displaystyle \pi (\lambda p)=\lambda \pi (p)}$ и непрерывной на внутренности ${\displaystyle P}$. Если технологическое множество строго выпукло, то функция прибыли является к тому же непрерывно дифференцируемой. Если технологическое множество замкнуто, то функция прибыли выпукла на любом выпуклом подмножестве допустимых цен ${\displaystyle P}$.

Функция (отображение) предложения ${\displaystyle z(p)}$ является положительно однородной нулевой степени. Если технологическое множество строго выпукло, то функция предложения является однозначной на P и непрерывной на внутренности ${\displaystyle P}$. Если функция предложения дважды дифференцируема, то матрица Якоби этой функции симметрична и неотрицательно определена.

Если технологическое множество представлено посредством производственной функции, то прибыль определяется как ${\displaystyle pf(x)-wx}$, где ${\displaystyle w}$ — вектор цен на факторы производства, ${\displaystyle p}$ в данном случае цена выпускаемой продукции. Тогда для любого внутреннего решения (то есть принадлежащего внутренности ${\displaystyle X}$) задачи производителя справедливо равенство предельного продукта каждого фактора его относительной цене, то есть в векторной форме ${\displaystyle f'(x)=w/p}$.

Если задана функция прибыли ${\displaystyle \pi (p)}$, являющаяся дважды непрерывно дифференцируемой, выпуклой и положительно однородной (первой степени) функцией, то можно восстановить технологическое множество, как множество, содержащее при любом неотрицательном векторе цен ${\displaystyle p}$ векторы чистых выпусков ${\displaystyle z}$, удовлетворяющих неравенству ${\displaystyle pz\leqslant \pi (p)}$. Можно также показать, что если функция предложения является положительно однородной нулевой степени и матрица её первых производных непрерывна, симметрична и неотрицательно определена, то соответствующая функция прибыли удовлетворяет вышеуказанным требованиям (верно также и обратное утверждение).

• Производственная функция
• Кривая производственных возможностей