Кривая производственных возможностей

Формальное определение отражает математическую взаимосвязь между различными комбинациями товаров и услуг. Эта зависимость может быть задана уравнением на плоскости:

${\displaystyle F(Y_{1},Y_{2})=0}$

Построение кривой производственных возможностей опирается на ряд предположений[1]:

1. Экономика эффективна, то есть в экономике достигается полная занятость и полный объём производства.
2. Количество и качество ресурсов в экономике постоянно в течение некоторого периода времени.
3. Уровень технологий является постоянным.
4. Экономика является двухсекторной.

На графике кривая производственных возможностей обычно представляется выпуклой вверх гладкой линией, полностью лежащей в первой четверти координатной плоскости. На осях отложены количества выпускаемых благ. Точки пересечения с осями соответствуют ситуациям, когда все ресурсы сосредоточены в производстве одного из благ. Выпуклость вверх означает, что ради увеличения производства одного блага на единицу нужно жертвовать все большим количеством второго блага. Тем самым кривая отражает закон убывающей предельной отдачи.

Точки А, Б, В, Г, Д лежат на кривой и отражают различные комбинации выпуска при полном использовании ресурсов. Точка E внутри графика с соответствует неполному (нерациональному) использованию имеющихся ресурсов. Точка Ж над графиком недостижима при заданном количестве ресурсов и имеющемся уровне технологий. Попасть в эту точку можно, если увеличить количество используемых ресурсов или усовершенствовать технологии производства, повысив производительность труда. Например, можно заменить ручной труд на машинный.

Кривую производственных возможностей для двухсекторной экономики можно получить формально из следующих предположений.

1. Производство каждого товара описывается неоклассической производственной функцией: ${\displaystyle Y_{i}=A_{i}F(K_{i},L_{i}),i\in \{1,2\}}$.
2. Количество капитала в каждом секторе задано :${\displaystyle K_{i}={\bar {K_{i}}},i\in \{1,2\}}$.
3. Уровень технологий не меняется: ${\displaystyle A_{i}={\bar {A_{i}}},i\in \{1,2\}}$.
4. Количество труда в целом в экономике задано: ${\displaystyle {\bar {L}}=L_{1}+L_{2}}$

Тогда построение кривой сводится к поиску значений выпуска при различных вариантах использования трудовых ресурсов в экономике. Переток рабочей силы из одного сектора экономики в другой приводит к росту выпуска в первом секторе и падению во втором. Так как предельная отдача труда является убывающей функцией, то изменение выпуска в разных секторах не являются одинаковыми. В первом секторе предельная отдача падает, а во втором растет. Это приводит к тому, что кривая имеет выпуклую (вверх) форму.

Предположим, что количество капитала и уровень технологий в обоих секторах одинаков. Выпуск описывается производственной функций Кобба-Дугласа с одинаковыми параметрами ${\displaystyle Y_{i}=AK^{\alpha }L_{i}^{1-\alpha },i\in \{1,2\}}$. Количество труда задано ${\displaystyle {\bar {L}}=L_{1}+L_{2}}$. Тогда кривая производственных возможностей описывается уравнением:

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {Y_{1}}{AK^{\alpha }}}{\Bigg )}^{\dfrac {1}{1-\alpha }}+{\Bigg (}{\frac {Y_{2}}{AK^{\alpha }}}{\Bigg )}^{\dfrac {1}{1-\alpha }}={\bar {L}}}$

Аналогичным образом можно получить границу производственных возможностей для произвольных значений параметров (общей факторной производительности, капитала, параметра производственной функции и т. д.), а также для произвольного количества благ. Для произвольного количества благ граница производственных возможностей будет являться поверхностью (гиперповерхностью) в n-мерном пространстве.