Характер группы

Для произвольной конечнопорождённой абелевой группы ${\displaystyle (G,\circ )}$ также можно[5] явно и конструктивно описать множество характеров в ${\displaystyle U(1)}$. Для этого используется теорема о разложении такой группы в прямое произведение циклических групп.

Поскольку любая циклическая группа порядка ${\displaystyle h}$ изоморфна группе ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{h}}$ и её характеры в ${\displaystyle U(1)}$ всегда отображаются во множество ${\displaystyle \left\lbrace {e^{2\pi {\frac {k}{h}}i}:\ k=0,\dots ,h-1}\right\rbrace }$, то для группы, представленной прямым произведением ${\displaystyle G=G_{1}\otimes \dots \otimes G_{s}}$, циклических групп ${\displaystyle G_{i}=\left\lbrace {{g_{i}}^{k}\$ :\ 0\leq k<n_{i}}\right\rbrace } , можно параметризовать характер как произведение характеров циклических этих циклических групп:

${\displaystyle \chi _{k_{1},\dots ,k_{s}}(x)=e^{2\pi {\frac {k_{1}}{n_{1}}}}\cdot e^{2\pi {\frac {k_{s}}{n_{s}}}}=e^{2\pi ({\frac {k_{1}}{n_{1}}}+\dots +{\frac {k_{s}}{n_{s}}})},0\leq k_{i}<n_{i}}$

Это позволяет провести явный изоморфизм между самой группой ${\displaystyle G}$ и группой её характеров, равной ей по количеству элементов.

${\displaystyle {g_{1}}^{k_{1}}\circ \dots \circ {g_{s}}^{k_{s}}\mapsto \chi _{k_{1},\dots ,k_{s}}}$

Для ${\displaystyle g\in G}$ обозначим через ${\displaystyle \chi _{g}:G\to U(1)}$ характер, соответствующий элементу ${\displaystyle g}$ по описанной выше схеме.

Справедливы[6] следующие тождества:

${\displaystyle \sum \limits _{g\in G}{\chi (g)}=\left\lbrace {\begin{matrix}0,&\chi \not =\chi _{0}\\|G|,&\chi =\chi _{0}\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \sum \limits _{x\in G}{\chi _{g}(x)}=\left\lbrace {\begin{matrix}0,&x\not =0\\|G|,&x=0\end{matrix}}\right.}$