Слабая локализация

Возможные траектории электронов в неупорядоченных системах

Слабая локализация возникает из-за интерференции электрона самого с собой благодаря возможности его движения в одну и ту же точку по различным траекториям. До открытия эффектов слабой локализации считалось, что квантово-механические явления интерференции существуют в основном для подвижных электронов в монокристаллах. В первую очередь, это дифракция электронов.[19] Однако выяснилось, что эти явления не только существуют в неупорядоченных системах, но и могут усиливаться в таких системах.[1][11]

В отличие от кристаллов, где потенциал поля, в котором движутся электроны, меняется периодически, в средах с беспорядком потенциал меняется случайным образом. Электроны, энергия которых меньше максимальных значений потенциала, локализуются в потенциальных ямах, образованных случайным потенциалом. Если длина локализации невелика по сравнению с расстояниями между центрами локализации, электрон в потенциальной яме находится до тех пор, пока тепловые колебания атомов не перебросят его в соседнюю потенциальную яму. Такой перенос электронов называется прыжковым транспортом.[20] Примером материалов, в которых осуществляется прыжковый транспорт, являются аморфные полупроводники.[21]

Электроны с более высокими энергиями не локализуются в случайных потенциальных ямах, а рассеиваются на них. Можно предположить, что среда с беспорядком состоит из хаотично расположенных силовых центров, на каждом из которых электрон рассеивается изотропно, то есть, может с одинаковой вероятностью отклониться на любой угол от первоначальной траектории движения. Если бы электрон был классической частицей, то вероятность обнаружить электрон, рассеянный на хаотически расположенных силовых центрах, не зависела бы от угла рассеяния, однако учёт корпускулярно-волнового дуализма меняет картину.[1]

Предполагается, что за время ${\displaystyle t\ll \tau _{\varphi }}$ (${\displaystyle \tau _{\varphi }}$ — время сбоя фазы) электрон, рассеиваясь на силовых центрах, например, примесях, переходит из начальной точки 0 в точку с координатой ${\displaystyle r}$. Он может попасть в эту точку различными путями. В соответствии с общими принципами квантовой механики вероятность этого процесса:[22]

${\displaystyle p{\bigl (}r,t{\bigr )}=\left|\sum A_{i}\right|^{2}=\sum _{i}|A_{i}|^{2}+\sum _{i\neq j}A_{i}A_{j}^{*}\,.}$

В этой формуле ${\displaystyle A_{i}}$ — амплитуда вероятности (комплексная величина) движения электрона по ${\displaystyle i}$-той траектории.

Слабая локализация возникает благодаря возможности движения электронов по замкнутой траектории рассеяния во взаимно противоположных направлениях

Первая сумма в выражении для ${\displaystyle p{\bigl (}r,t{\bigr )}}$ является суммой вероятностей прохождения электроном каждой траектории, вторая описывает интерференцию амплитуд. Интерференция большинства амплитуд не даёт вклада в ${\displaystyle p{\bigl (}r,t{\bigr )}}$, поскольку их фазы пропорциональны длинам траекторий и из-за разницы этих длин взаимно гасятся. Исключением является только замкнутые траектории. Рассматриваются замкнутые траектории, то есть траектории, по которым электрон возвращается в начальную точку. Разобьём такие траектории на пары с одинаковым набором рассеивающих центров, но с противоположными направлениями движения. Вероятность того, что электрон, рассеявшись на наборе силовых центров, вернётся в исходную точку:

${\displaystyle p{\bigl (}0,t{\bigr )}=|A_{1}+A_{2}|^{2}=\ |A_{1}|^{2}+|A_{2}|^{2}+2\,|A_{1}A_{2}|\,,}$

где ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$ — амплитуды вероятностей движения электронов по замкнутой траектории в противоположных направлениях обхода контура.

Поскольку фазы этих электронных волн при встрече в точке 0 будут одинаковыми, то с учётом того, что ${\displaystyle A_{1}=A_{2}=A}$, получается ${\displaystyle p{\bigl (}0,t{\bigr )}=|A_{1}+A_{2}|^{2}=4A^{2}}$ вместо ${\displaystyle 2A^{2}}$, что было бы без учёта интерференции. Увеличение вероятности для электрона через время ${\displaystyle t}$ быть обнаруженным в точке 0 (по сути, остаться там, откуда началось движение) и называется слабой локализацией.[23]

Физическую сущность процессов, которые лежат в основе слабой локализации, можно объяснить с помощью гидродинамической аналогии. Пусть кольцеобразный водный канал в одном месте соединён с большим водоёмом. Волна, которая приходит из водоёма, разветвляясь, попадает в оба рукава канала. После разветвления волны в обоих рукавах когерентны. Если затухания волн в канале нет, то обе локальные волны, двигаясь в противоположных направлениях по каналу, обойдут его и встретятся на входе, интерферируя друг с другом.[23]

Увеличение вероятности возврата электронов при диффузии в начальную точку не означает, что диффузия вообще невозможна. Слабая локализация приводит к снижению подвижности частиц, а следовательно к повышению сопротивления.[12]

Значение квантовой поправки ${\displaystyle \delta \sigma }$ к проводимости ${\displaystyle \sigma }$, обусловленное эффектом слабой локализации, существенно зависит от размерности ${\displaystyle d}$ системы.

Объём, в любой точке которого может находиться электрон в момент времени ${\displaystyle t}$, составляет ${\displaystyle {\bigl (}Dt{\bigr )}^{d/2}}$, где ${\displaystyle D}$ — коэффициент диффузии. Объём, из которого электрон за время ${\displaystyle dt}$ может попасть в исходную точку, составляет ${\displaystyle \lambda ^{d-1}v_{F}dt}$ (${\displaystyle \lambda =1/k_{F}}$ — де-бройлевская длина волны (${\displaystyle v_{F}}$ — скорость Ферми). Отношение этих объёмов определяет относительное количество электронов, которые побывали в начальной точке за время ${\displaystyle dt}$. Минимальное время, через которое электрон может вернуться в начальную точку — время упругого рассеяния ${\displaystyle \tau }$. Максимальное время, через которое он сможет участвовать в интерференции — время сбоя фазы ${\displaystyle \tau _{\varphi }}$. Таким образом:[24]

${\displaystyle {\frac {\delta \sigma }{\sigma }}=-\int \limits _{\tau }^{\tau _{\varphi }}{v_{F}\lambda ^{d-1}dt \over {\bigl (}Dt{\bigr )}^{d/2}}}$.

Для ${\displaystyle d=3}$ (трёхмерный случай):

${\displaystyle {\frac {\delta \sigma }{\sigma }}=-(k_{F}^{2}l{\bigr )}^{-1}{\bigl (}1/l-1/L_{\varphi }{\bigr )}}$,

где ${\displaystyle k_{F}}$ — радиус сферы Ферми; ${\displaystyle l}$ — средняя длина свободного пробега электрона.

Величина ${\displaystyle L_{\varphi }\approx {\sqrt {D\cdot \tau _{\varphi }}}\approx l\cdot {\sqrt {\tau _{\varphi }/\tau }}\gg l}$ называется диффузионной длиной сбоя фазы.

${\displaystyle L_{\varphi }}$ является характерным размером, по сравнению с которым определяется размерность ${\displaystyle d}$ системы. Плёнка толщины ${\displaystyle b}$ и металлическая нить диаметра ${\displaystyle b}$ при условии ${\displaystyle b\ll L_{\varphi }}$ являются примерами систем пониженной размерности (двух- и одномерный случай соответственно).[24]

Для ${\displaystyle d=2}$:

${\displaystyle {\frac {\delta \sigma }{\sigma }}=2(k_{F}l{\bigr )}^{-1}(k_{F}b{\bigr )}^{-1}\ln {\ l \over \ L_{\varphi }}}$.

Для ${\displaystyle d=1}$:

${\displaystyle {\frac {\delta \sigma }{\sigma }}=(k_{F}b)^{-2}\left({l-L_{\varphi } \over l}\right)}$.

Анализ поправок гласит, что эффект интерференции тем сильнее, чем ниже размерность системы. ${\displaystyle L_{\varphi }}$ является функцией температуры, поэтому именно через этот параметр квантовые поправки к проводимости зависят от температуры. Поскольку при ${\displaystyle T\rightarrow 0}$ ${\displaystyle L_{\varphi }\rightarrow \infty }$,[25] то в трёхмерном случае проводимость с понижением температуры стремится к некоторому постоянному значению. Для систем пониженной размерности при приближении температуры к абсолютному нулю квантовые поправки, оставаясь отрицательными, неограниченно растут. Так как проводимость не может быть отрицательной, должно существовать условие применимости приведённых формул для квантовых поправок к проводимости. Таким условием является относительная малость поправок.

Если квантовые поправки к проводимости представить в абсолютной форме, то они будут иметь вид:[26]

${\displaystyle d=3}$: ${\displaystyle \Delta \sigma _{3}\approx -const+{\frac {e^{2}}{\hbar }}L_{\varphi }^{-1}}$,

${\displaystyle d=2}$: ${\displaystyle \Delta \sigma _{2}\approx -2{\frac {e^{2}}{\hbar }}\ln {\frac {L_{\varphi }}{l}}}$,

${\displaystyle d=1}$: ${\displaystyle \Delta \sigma _{1}\approx -{\frac {e^{2}}{\hbar }}L_{\varphi }}$.

Все они имеют одинаковый масштаб ${\displaystyle e^{2}/\hbar }$. Эта комбинация атомных констант имеет размерность обратного сопротивления и встречается во всех задачах, связанных со слабой локализацией.

Магнитное поле «закручивает» траекторию электрона, поэтому с точки зрения классической физики электрическое сопротивление в магнитном поле растёт, то есть наблюдается положительное магнетосопротивление. Однако для материалов, в которых проявляются эффекты слабой локализации, наблюдается отрицательное магнетосопротивление — в магнитном поле их электрическое сопротивление уменьшается.[27]

Эффект отрицательного магнетосопротивления обусловлен разрушением магнитным полем слабой локализации. При прохождении электроном замкнутого контура при наличии магнитного поля перпендикулярного контуру в его волновой функции ${\displaystyle \Psi }$ появляется дополнительный фазовый множитель:[12]

${\displaystyle \Psi \longrightarrow \Psi \cdot \exp \left(\pm {\frac {i\pi BS}{\Phi _{0}}}\right)}$,

где ${\displaystyle \Phi _{0}}$ — квант магнитного потока;

${\displaystyle BS=\Phi }$ — магнитный поток через замкнутый контур электронной траектории площадью ${\displaystyle S}$.

Знак ${\displaystyle +}$ или ${\displaystyle -}$ в показателе экспоненты зависит от направления обхода контура электроном: по или против часовой стрелки. Поскольку электрон может двигаться по замкнутой траектории в противоположных направлениях, после возвращения его в начальную точку возникнет сдвиг фаз ${\displaystyle \varphi =2\pi \cdot {\bigl (}\operatorname {\Phi } /\operatorname {\Phi } _{0})}$.

Наличие разности фаз означает, что вероятность ${\displaystyle p{\bigl (}0,t{\bigr )}}$ примет вид:[28]

${\displaystyle p{\bigl (}0,t{\bigr )}=|A_{1}+A_{2}|^{2}=\ |A_{1}|^{2}+|A_{2}|^{2}+2\,|A_{1}A_{2}|\cos \varphi }$.

При усреднении по разным замкнутым траекториям среднее значение ${\displaystyle \cos \varphi }$ равно нулю, так что интерференционный вклад исчезает, что, собственно, и приводит к снижению сопротивления в магнитных полях.[29] Например, для двухмерного случая при условии ${\displaystyle r_{B}\leq L_{\phi }}$, где магнитная длина или магнитный радиус равен ${\displaystyle r_{B}={\sqrt {\hbar /(2eB)}}}$[30]

${\displaystyle \delta \sigma (B)-\delta \sigma (0)\approx {\frac {e^{2}}{\hbar }}\ln {\frac {L_{\phi }}{r_{B}}}\,.}$

Для трёхмерного случая соответствующее выражение принимает вид:[31]

${\displaystyle \delta \sigma (B)-\delta \sigma (0)\approx 2{\frac {e^{2}}{\hbar }}\left({\frac {1}{r_{B}}}-{\frac {1}{L_{\phi }}}\right)\,.}$

Интерференционная картина в магнитном поле разрушается благодаря разбросу площадей различных замкнутых траекторий. Если все замкнутые траектории имеют одну и ту же площадь проекции на плоскость, перпендикулярную вектору напряжённости магнитного поля, то интерференционный вклад не исчезнет, а будет осциллировать при изменении напряжённости магнитного поля с периодом ${\displaystyle \Delta B=\operatorname {\Phi } _{0}/\operatorname {S} }$.[32]

Такую конфигурацию можно реализовать, если, например, на кварцевую нить диаметром ${\displaystyle d=}$1 ÷ 2 мкм напылить слой металла значительно меньшей толщины, получив тонкостенный цилиндр. Все замкнутые диффузные траектории будут иметь площадь проекции на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра, 0 или ${\displaystyle \operatorname {\pi } d^{2}/\operatorname {4} }$. Магнитное поле, направленное вдоль оси такого цилиндра, на интерференцию траекторий с нулевой площадью проекций влияния не оказывает. В то же время вклад в проводимость вдоль оси цилиндра замкнутых траекторий с площадью проекций, отличной от нуля, осциллирует с изменением магнитного поля.[14]

Подобные осцилляции можно наблюдать не только для образцов специальной формы; они возникают в образцах произвольной формы, но достаточно малого размера. Количество замкнутых траекторий в таких образцах ограничено, поэтому после усреднения интерференционный вклад в проводимость полностью не исчезает. При изменении магнитного поля в таких образцах возникают, так называемые, универсальные флуктуации проводимости (кондактанса).[33][13]

В двух измерениях изменение проводимости при приложении магнитного поля B перпендикулярно плоскости двумерного электронного газа, вызванное либо слабой локализацией, либо слабой антилокализацией, можно описать уравнением Хиками — Ларкина — Нагаоки:[40][41]

${\displaystyle \Delta \sigma (B)=-{\frac {e^{2}}{2\pi ^{2}\hbar }}\left[\psi \left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\tau a}}\right)-\psi \left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\tau _{1}a}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\psi \left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\tau _{2}a}}\right)-\psi \left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\tau _{3}a}}\right)\right)\right]\,,}$

где: ${\displaystyle a=4DeB/\hbar }$; ${\displaystyle D}$ — коэффициент диффузии; ${\displaystyle \psi }$ — дигамма функция; а времена ${\displaystyle \tau _{1},\tau _{2},\tau _{3}}$ определяются следующими выражениями:

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{1}}}={\frac {2}{\tau _{so}^{z}}}+{\frac {2}{\tau _{so}^{x}}}+{\frac {2}{\tau _{s}^{x}}}+{\frac {1}{\tau _{in}}}\,,}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{2}}}={\frac {2}{\tau _{s}^{z}}}+{\frac {4}{\tau _{s}^{x}}}+{\frac {1}{\tau _{in}}}\,,}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{3}}}={\frac {2}{\tau _{s}^{z}}}+{\frac {4}{\tau _{so}^{x}}}+{\frac {1}{\tau _{in}}}\,,}$

где: ${\displaystyle \tau _{s}}$ — время рассеяние на парамагнитной примеси; ${\displaystyle \tau _{so}}$ — время спин-орбитального рассеяния; верхние индексы ${\displaystyle ^{x}}$ и ${\displaystyle ^{z}}$ относятся соответственно к движению параллельно плоскости ДЭГ и перпендикулярно к ней; ${\displaystyle \tau _{in}}$ — время сбоя фазы. Экспериментально слабая локализация и слабая антилокализация наблюдались в двумерном электронном газе в InP; также наблюдался переход от слабой локализации к слабой антилокализации в магнитном поле.[41]

Вместо времён можно перейти эффективным длинам или эффективным магнитным полям, тогда ${\displaystyle B_{in}}$ — эффективное поле фазовой когерентности, которое приблизительно равно магнитному полю, необходимому для разрушения фазовой когерентности, ${\displaystyle B_{\text{SO}}}$ — спин-орбитальное эффективное поле, которое можно считать мерой силы спин-орбитального взаимодействия.[40] В пределе сильного спин-орбитального взаимодействия ${\displaystyle B_{\text{SO}}\gg B_{in}}$, вышеприведённое уравнение упрощается:

${\displaystyle \sigma (B)-\sigma (0)=\alpha {e^{2} \over 2\pi ^{2}\hbar }\left[\ln \left({B_{in} \over B}\right)-\psi \left({1 \over 2}+{B_{in} \over B}\right)\right]}$

Множитель ${\displaystyle \alpha }$ равен −1 для слабой локализации и +1/2 для слабой антилокализации.[40]

В графене динамика носителей тока описывается уравнением Дирака с коническим законом дисперсии и частицы обладают киральностью, когда импульс частицы связан с её псевдоспином (характеристика относящаяся к симметрии решётки). Рассеяние на всяком гладком потенциале не изменяет киральности, то есть нормальное падение частицы на потенциальный барьер проходит без рассеяния, то есть отсутствует рассеяние назад — в отличие от обычных металлов. В таком случае в графене должна наблюдаться слабая антилокализация.[42] С другой стороны, атомарные дефекты должны вызывать сильное рассеяние носителей и разрушать фазовую когерентность. В теории слабой локализации в графене учитывается (приблизительная) киральная природа носителей и рассеяние на короткодействующем потенциале.[43] В результате, чтобы учесть изменения фазы волновой функции, вводятся новые характеристические времена: ${\displaystyle \tau _{i}}$ — время рассеяния между различными долинами (в графене их две), характеризующее наличие короткодействующего потенциала в системе, например точечных дефектов; ${\displaystyle \tau _{s}}$ — время рассеяния в одной долине на длиннодействующем потенциале, например, дислокации и кулоновском потенциале от заряженных примесей; ${\displaystyle \tau _{w}}$ — время, связанное с рассеянием в одной долине из-за отличия закона дисперсии носителей от линейного — так называемое тригональное искажение (англ. trigonal warping), которое нарушает симметрию относительно обращения квазиимпульса (${\displaystyle \varepsilon ({\textbf {p}})\neq \varepsilon (-{\textbf {p}})}$). Теория предсказывает поправку для проводимости в графене:[43]

${\displaystyle \Delta \sigma (B)={\frac {e^{2}}{2\pi ^{2}\hbar }}\left[F\left({\frac {\tau _{B}^{-1}}{\tau _{\phi }^{-1}}}\right)-F\left({\frac {\tau _{B}^{-1}}{\tau _{\phi }^{-1}+2\tau _{i}^{-1}}}\right)-2F\left({\frac {\tau _{B}^{-1}}{\tau _{\phi }^{-1}+\tau _{i}^{-1}+\tau _{s}^{-1}+\tau _{w}^{-1}}}\right)\right]\,,}$

где: функция ${\displaystyle F(x)=\ln(x)+\psi (1/2+1/x)}$; ${\displaystyle \psi }$ — дигамма функция; ${\displaystyle \tau _{B}^{-1}=4eDB/\hbar }$; ${\displaystyle D}$ — коэффициент диффузии носителей тока. Экспериментально слабая локализация в графене была продемонстрирована в 2008 году.[44][42] Наличие слабой антилокализации или слабой локализации в графене зависит от относительной силы рассеивающих потенциалов, характерных времён, связанных с магнитным полем, и времени фазовой когерентности.[42]