Мезоскопическая физика

Теория Друде появилась в 1900 году, но основные выражения для некоторых физических величин (для эффекта Холла, высокочастотной проводимости) используют и сейчас, хотя смысл некоторых параметров поменялся из-за современного знания кинетических явлений в металлах и полупроводниках. Уровень Ферми в металлах находится в зоне проводимости — таким образом приложенное электрическое поле ускоряет электроны пока они не испытывают рассеяние из-за дефектов. Теория Друде, в современной трактовке, учитывает усреднение по рассеивателям, вызывающие неупругие столкновения и представляет собой одноэлектронную модель. Для удельной проводимости металла используется следующее выражение[10]

${\displaystyle \sigma ={\frac {ne_{0}^{2}\tau }{m^{*}}}}$

где

• ${\displaystyle \sigma }$ — удельная электрическая проводимость;
• ${\displaystyle n}$ — концентрация электронов;
• ${\displaystyle e_{0}}$ — элементарный заряд;
• ${\displaystyle \tau }$ — время релаксации по импульсам (время, за которое электрон «забывает» о том, в какую сторону двигался);
• ${\displaystyle m^{*}}$ — эффективная масса электрона.

Эта формула описывает все размерности, поскольку её размерность изменяется для концентрации. Время релаксании описывает рассеяние на большие углы — в таком случае электрон не движется в направлении приложенного электрического поля. Формула имеет смысл только для классического (или квазиклассического) транспорта, где несущественен вклад квантовых явлений. Согласие с экспериментом удельных проводимостей в квазиклассическом подходе, где электронные транспортные свойства хорошо описываются усреднением по беспорядку. Но в 80-х годах XX века оказалось, что в мезоскопических образцах это не так[11].

Многие квантовые явления, например связанные с интерференцией, в мезоскопике рассматривают как поправки к удельной проводимости заданной формулой Друде.

Эффект Ааронова — Бома проявляется в том, что при движении в магнитном поле волновая функция электрона приобретает дополнительный сдвиг фазы равный[12]

${\displaystyle \delta \phi =-{\frac {e}{\hbar }}\int _{L}{\textbf {A}}\cdot d{\textbf {L}}\,,}$

где L — обозначает траекторию электрона, dL — элемент длины этой траектории, A — векторный потенциал связанный с магнитным полем, e — элементарный заряд. Если рассмотреть какую-нибудь замкнутую траекторию, эта дополнительная фаза должна повлиять на интерференционную картину. Например, если электрон двигается в проводящем золотом кольце, соединённым с двумя контактами, а магнитное поле B направлено перпендикулярно плоскости кольца, то данная фаза повлияет на интерференцию между путями расположенными в разных каналах кольцевого интерферометра[13]. При достаточно низких температурах будут наблюдаться осцилляции проводимости этой мезоскопической системы при изменении магнитного поля[14]

${\displaystyle G(B)=G(0)+\delta G_{0}\cos \left(\delta _{0}+2\pi {\frac {BS}{h/e}}\right)\,,}$

где S — площадь кольца, h/e — квант магнитного потока.

Слабая локализация возникает благодаря возможности движения электронов по замкнутой траектории рассеяния во взаимно противоположных направлениях

При сильном беспорядке нарушения периодической структуры кристалла настолько велики, что радиус локализации сравним с расстоянием между атомами. Такая система испытывает андерсоновскую локализацию или сильную локализацию и становится непроводящей. При этом произведение длины свободного пробега электрона l_e и фермиевского импульса становится меньше постоянной Планка (это условие называется критерием Иоффе — Регеля)[15]

${\displaystyle p_{F}l_{e}\leq \hbar \,.}$

В другом пределе электроны делокализованы[16]

${\displaystyle p_{F}l_{e}\gg \hbar }$

волновые функции электрона приобретают вид блоховских волн. Если информация о фазе волновой функции сохраняется порядка времени фазовой когерентности, то все процессы рассеяния сохраняющие фазы приводят к интерференции. В этом длина свободного пробега много меньше длины фазовой когерентности и процесс рассеяния можно отобразить как показано на рисунке. Интерференция возникает для двух возможных путей обходов вдоль траектории[17]. Конструктивная интерференция приводит к увеличению вероятности обнаружить частицу в начале пути — что соответствует увеличению рассеяния или уменьшению проводимости или наоборот деструктивная интерференция соответствует невозможности обнаружить частицы в начале пути, увеличению проводимости. Начальная точка определяется из соотношения неопределённости[18]. Поправка к проводимости для d-мерного случая описывается интегралом[19]

${\displaystyle {\frac {\Delta \sigma _{3}}{\sigma }}=-\int \limits _{\tau }^{\tau _{\varphi }}{v_{F}\lambda ^{d-1}dt \over {\bigl (}Dt{\bigr )}^{d/2}}\,,}$.

где τ — время релаксации по импульсам, τ_φ — время фазовой когерентности, D — коэффициент диффузии, λ — де Бройлевская длина волны электрона. Время фазовой когерентности определяется неупругими процессами, то есть меняющими энергию электрона. Рассеяние на электронах и фононах — основные процессы влияющие на τ_φ. При температурах менее и порядка 1К на время фазовой когерентности влияет электронное рассеяние на электронах, а при больших вклад вносят фононы[20]. Для двумерной системы поправку к проводимости из-за слабой локализации модно записать в виде

${\displaystyle \Delta \sigma _{2}\approx -{\frac {e^{2}}{\hbar }}\ln {\frac {\tau _{\phi }}{\tau }}\approx -2{\frac {e^{2}}{\hbar }}\ln {\frac {L_{\phi }}{l_{e}}}}$

Экспериментально для тонких плёнок, любой механизм неупругого рассеяния для времени фазовой когерентности имеет степенную зависимость, поэтому температурная зависимость поправки имеет также логарифмический вид[21].

Кондактанс полупроводниковой наноленты в зависимости от химического потенциала при различных температурах.

Как показано выше для одномерных проводящих каналов проводимость квантуется. Такая ситуация возникает во многих системах в мезоскопической физике. Нанопроволока или графеновые наноленты, углеродные нанотрубки — это типичные примеры одномерных систем. Существуют также системы, которые формально не являются одномерными, но ведут себя в соответствии с формулой Ландауэра — это система с двумерным электронным газом (ДЭГ) в квантующем магнитном поле и квантовый точечный контакт. Квантовый точечный контакт представляет собой микросужение в ДЭГ сформированное посредством нанолитографии. Его формируют с помощью мезы — полностью удаляют ДЭГ, но это увеличивает количество дефектов по краям проводящего канала или формируют локальные затворы, которые обедняют часть ДЭГ с помощью эффекта поля. Сужение имеет размер сопоставимый с длиной волны электрона, которая определяется законом дисперсии и уровнем Ферми и быть много меньше, чем длина свободного пробега электронов — что приводит к возникновению баллистического транспорта носителей тока в системе. Размер сужения настолько мал, что формирует барьер для электронов, в котором существует несколько квантованных уровней энергии — определяемый квантованием при поперечном движении, зависящем от размера и эффективной массы электронов, но в то же время при движении вдоль канала волновые функции электронов представимы в виде плоских волн. Если уровень Ферми в системе превышает основной уровень квантования в микросужении, то возникает ток в системе. Микросужение характерно тем, что канал сформированный электростатически меняется плавно в зависимости от расстояния до самого узкого места. Это приводит к адиабатическому транспорту — то есть если электрон попадает в область микросужения с достаточной энергией, то он проходит его, тем самым формируя идеальный коэффициент пропускания T=1 для всех мод[28]. Ступеньки в кондактансе полученные из выражение приведено выше принимают вид[29]

${\displaystyle G_{qpc}=N{\frac {e^{2}}{\pi \hbar ^{2}}}\,,}$

где N — это число поперечных мод в микросужении. При повышении температуры наблюдается размытие ступеней в связи с уширением распределения Ферми — Дирака.