Электромагнитные колебания

Электромагнитные волны как универсальное явление были предсказаны классическими законами электричества и магнетизма, известными как уравнения Максвелла. Если вы внимательно посмотрите на уравнения Максвелла в отсутствие источников (зарядов или токов), то обнаружите, что помимо тривиального решения, когда напряжённости электрического и магнитного поля равны нулю в каждой точке пространства и ничего не меняется, существуют нетривиальные решения, представляющие собой изменения обеих напряжённостей в пространстве и времени. Начнём с уравнений Максвелла для вакуума:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0,\qquad (1)}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} ,\qquad (2)}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,\qquad (3)}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {E} ,\qquad (4)}$

где

${\displaystyle \nabla }$ — векторный дифференциальный оператор набла.

Система уравнений (1)—(4) имеет тривиальное решение

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {B} =\mathbf {0} .}$

Чтобы найти нетривиальное решение, мы воспользуемся векторным тождеством, которое справедливо для любого вектора, в виде:

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {A} .}$

Чтобы посмотреть как мы можем использовать его, возьмём операцию вихря от выражения (2):

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right).\quad (5)}$

Левая часть (5) эквивалентна:

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {E} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} ,\qquad (6)}$

где мы упрощаем, используя уравнение (1).

Правая часть эквивалентна:

${\displaystyle \nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} .\qquad (7)}$

Уравнения (6) и (7) равны, таким образом эти результаты в дифференциальном уравнении для электрического поля, а именно

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} ,}$

Применяя аналогичные исходные результаты в аналогичном дифференциальном уравнении для магнитного поля:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {B} .}$

Эти дифференциальные уравнения эквивалентны волновому уравнению:

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}},}$

где ${\displaystyle c_{0}}$ — скорость волны в вакууме, ${\displaystyle f}$ — описывает смещение.

Или

${\displaystyle \Box f=0,}$

где ${\displaystyle \Box }$ — оператор Д’Аламбера:

${\displaystyle \Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.}$

Заметьте, что в случае электрического и магнитного полей скорость[2].:

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}},}$

которая есть скорость света в вакууме. Уравнения Максвелла объединили диэлектрическую проницаемость вакуума ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$, магнитную проницаемость вакуума ${\displaystyle \mu _{0}}$  и непосредственно скорость света ${\displaystyle c_{0}}$. До этого вывода не было известно, что была такая строгая связь между светом, электричеством и магнетизмом.

Но имеются только два уравнения, а мы начали с четырёх, поэтому имеется ещё больше информации относительно волн, спрятанных в уравнениях Максвелла. Давайте рассмотрим типичную векторную волну для электрического поля.

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}|\mathbf {k} |t\right).}$

Здесь ${\displaystyle \mathbf {E} _{0}}$ — постоянная амплитуда колебаний, ${\displaystyle f}$ — любая мгновенная дифференцируемая функция, ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$ — единичный вектор в направлении распространения, а ${\displaystyle {\mathbf {x} }}$ - радиус-вектор. Мы замечаем, что ${\displaystyle f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}|\mathbf {k} |t\right)}$ — общее решение волнового уравнения. Другими словами

${\displaystyle \nabla ^{2}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}|\mathbf {k} |t\right)={\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}t}}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}|\mathbf {k} |t\right),}$

для типичной волны, распространяющейся в ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$ направлении.

Эта форма будет удовлетворять волновому уравнению, но будет ли она удовлетворять всем уравнениям Максвелла, и с чем соответствуется магнитное поле?

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {E} _{0}f'\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}|\mathbf {k} |t\right)=0,}$

${\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\hat {\mathbf {k} }}=0.}$

Первое уравнение Максвелла подразумевает, что электрическое поле ортогонально (перпендикулярно) направлению распространению волны.

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} ={\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E} _{0}f'\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}|\mathbf {k} |t\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} ,}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{c_{0}}}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E} .}$

Второе уравнение Максвелла порождает магнитное поле. Оставшиеся уравнения будут удовлетворяться выбором ${\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {B} }$.

Мало того, что волны электрического и магнитного полей распространяются со скоростью света, но они имеют ограниченную ориентацию и пропорциональную величину, ${\displaystyle E_{0}=c_{0}B_{0}}$, которую можно сразу же заметить из вектора Пойнтинга. Электрическое поле, магнитное поле и направление распространения волны все являются ортогональными, и распространение волны в том же направлении как вектор ${\displaystyle \mathbf {E} \times \mathbf {B} }$.

С точки зрения электромагнитной волны, перемещающейся прямолинейно, электрическое поле может колебаться вверх и вниз, в то время как магнитное поле может колебаться вправо и влево, но эта картина может чередоваться с электрическим полем, колеблющемся вправо и влево, и магнитным полем, колеблющимся вверх и вниз. Эта произвольность в ориентации с предпочтением к направлению распространения известна как поляризация.

• Электромагнитное излучение
• Уравнения Максвелла
• Вибратор Герца
• Колебательный контур

• Баумгарт К. К.,. Электрические колебания // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.