Экзотическая сфера

Для ${\displaystyle n\neq 4}$ известно, что моноид экзотических сфер является абелевой группой, называемой группой экзотических сфер.

Эта группа тривиальна для ${\displaystyle n=1,2,3,5,6}$. То есть в этих размерностях существование гомеоморфизма на стандартную сферу ${\displaystyle S^{n}}$ влечёт существование диффеоморфизма на ${\displaystyle S^{n}}$. При ${\displaystyle n=7}$ она изоморфна циклической группе порядка 28. То есть существует семимерная экзотическая сфера ${\displaystyle \Sigma ^{7}}$, такая, что любая 7-мерная экзотическая сфера диффеоморфна связной сумме нескольких копий ${\displaystyle \Sigma ^{7}}$; при этом связная сумма 28 копий ${\displaystyle \Sigma ^{7}}$ диффеоморфна стандартной сфере ${\displaystyle S^{7}}$.

Группа экзотических сфер изоморфна группе Θ_n классов ориентированных h-кобордизмов гомотопической n-сферы. Эта группа конечна и абелева.

Группа ${\displaystyle \Theta _{n}}$ имеет циклическую подгруппу

${\displaystyle bP_{n+1}}$,

соответствующую ${\displaystyle n}$-сферам, которые ограничивают параллелизуемые многообразия.

• Если n чётное, то группа ${\displaystyle bP_{n+1}}$ тривиальна,
• Если ${\displaystyle n\equiv 1{\pmod {4}}}$, то группа ${\displaystyle bP_{n+1}}$ имеет порядок 1 или 2
  • Она имеет порядок 1 при n = 1, 5, 13, 29 или 61.
  • Она имеет порядок 2 при ${\displaystyle n\equiv 1{\pmod {4}}}$, если при этом ${\displaystyle n\neq 2^{k}-3}$
• Если ${\displaystyle n\equiv 3{\pmod {4}}}$, то есть ${\displaystyle n+1=4m}$, то при ${\displaystyle m\geq 2}$ порядок равен

  • ${\displaystyle |bP_{4m}|=2^{2m-2}(2^{2m-1}-1)B}$,

где ${\displaystyle B}$ — это числитель дроби ${\displaystyle |4B_{2m}/m|}$, ${\displaystyle B_{2m}}$ — числа Бернулли. (Иногда формула несколько отличается из-за разных определений чисел Бернулли.)

Факторгруппы ${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$ описываются через стабильные гомотопические группы сфер по модулю образа J-гомоморфизма). Точнее, существует инъективный гомоморфизм

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J}$,

где ${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$ — n-я стабильная гомотопическая группа сфер, и ${\displaystyle J}$ — образ J-гомоморфизма. Этот гомоморфизм либо является изоморфизмом, либо имеет образ индекса 2. Последнее случается тогда и только тогда, когда существует n-мерное параллелизуемое многообразие с инвариантом Кервера 1.

Вопрос о существовании такого многообразия называется задачей Кервера. По состоянию на 2012 год она не решена только для случая ${\displaystyle n=126}$. Многообразия с инвариантом Кервера 1 были построены в размерностях 2, 6, 14, 30 и 62.

Размерность n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Порядок Θn	1	1	1	1	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16	523264	24
Порядок bPn+1	1	1	1	1	1	1	28	1	2	1	992	1	1	1	8128	1	2	1	261632	1
Порядок Θn/bPn+1	1	1	1	1	1	1	1	2	2×2	6	1	1	3	2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
Порядок πnS/J	1	2	1	1	1	2	1	2	2×2	6	1	1	3	2×2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
Индекс	-	2	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-

Дальнейшие значения в этой таблице могут быть вычислены из информации выше вместе с таблицей стабильных гомотопических группы сфер.

В нечётных размерностях, сферы ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1},\mathbb {S} ^{3},\mathbb {S} ^{5},\mathbb {S} ^{61}}$ и только они имеют единственную гладкую структуру.Wang & Xu (2017)

В размерности ${\displaystyle n=4}$ практически ничего не известно о моноиде гладких сфер, кроме того, что он является конечным или счётно-бесконечным и абелевым. Неизвестно, существуют ли экзотические гладкие структуры на 4-мерной сфере. Утверждение, что их нет, известно как «гладкая гипотеза Пуанкаре».

Так называемое скручивание Глака состоит в вырезании трубчатой окрестности 2-сферы S² в S⁴ и вклеивании его обратно с помощью диффеоморфизма его границы ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$. Результат всегда гомеоморфен S⁴, но в большинстве случаев неизвестно, диффеоморфен ли он S⁴.